“利用導數(shù)求含參不等式恒成立問題中參數(shù)取值范圍”的重要方法

沈再琳

摘 要：隨著高考改革的不斷深入，各學科應根據(jù)考試大綱要求對教學方法進行相應的優(yōu)化改進。對于數(shù)學學科而言，利用導數(shù)求含參不等式恒成立問題是近年來的熱門考點，該考點充分考查了函數(shù)求導、三角函數(shù)、不等式等知識點內(nèi)容，知識內(nèi)容涉及廣且靈活，使得學生在應付該類試題上往往難以下手。因此本文通過從分析該類問題的方法和思路入手，總結(jié)恒等式問題中求參數(shù)取值范圍方法，為高中數(shù)學教學的優(yōu)化提供參考。

關(guān)鍵詞：導數(shù);不等式恒成立;方法

前言

含參不等式恒成立中參數(shù)取值范圍問題一直是高中數(shù)學考試中的熱門考點，這類數(shù)學問題充分考查了學生對數(shù)學知識的理解和綜合運用，通常而言求解該類題目主要運用函數(shù)求導的基本方法。所有的不等式恒成立求參數(shù)取值范圍問題，采用新建函數(shù)并求導能夠達到一定的化簡作用，但所有的不等式求取值范圍問題并不是僅通過函數(shù)求導就能解答，而是需要學生具有“變式求解”的數(shù)學思維，基于函數(shù)求導進行深入的數(shù)學分析才能得出準確的數(shù)學結(jié)果。

一、分離參數(shù)法

分離參數(shù)法是求參數(shù)取值范圍的一種重要方法，是利用導數(shù)求含參不等式恒成立參數(shù)取值中的基本解題方法。分離參數(shù)法的重點在于將不等式中的參數(shù)分離出后能否從新式中求解最值、值域、單調(diào)性等，大多數(shù)學生無法熟練掌握分離參數(shù)法的原因，主要是由于將分離參數(shù)法與分離常數(shù)法混淆，在高中數(shù)學的不等式問題中僅通過常數(shù)是無法判斷參數(shù)的取值范圍。例1：設(shè)函數(shù)f（x）=x3+2x 2+ax，x在[1，2]時f（x）不是單調(diào)函數(shù)，求解實數(shù)a的取值范圍.這是一道典型的利用分離參數(shù)法求解不等式恒成立參數(shù)取值范圍的問題，此題的分析過程應當是從函數(shù)f（x）觀察入手，函數(shù)為三次冪函數(shù)并且當x在[1，2]中不是單調(diào)函數(shù)因此在此區(qū)間內(nèi)函數(shù)具有多個單調(diào)性，函數(shù)中含有三項其中一次項含有a和x兩個變量，所以說a的取值與函數(shù)的單調(diào)性有著一定的聯(lián)系，如果在求解過程中如果不對函數(shù)進行處理而采用帶入求解法則需要進行多次討論，此題的最優(yōu)解法是通過對函數(shù)f（x）直接求導，得出f'（x）=3x 2+4x+a的二次函數(shù)，進而利用對稱軸公式求解出二次函數(shù)對稱軸，因為f'（x）開口朝上，所以在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，所以求得a的取值為（-16，-7）。

二、特值求解法

特值求解法在數(shù)學問題中運用的核心思想在于選擇正確的特定值，減少函數(shù)式中未知量個數(shù)或化簡函數(shù)式，而在含參不等式問題中特值求解法更多的是為了便于對參數(shù)取值范圍的討論。例2：已知函數(shù)f（x）=ax+sinx，x∈[0，π]，若f（x） 1+cosx求a的取值范圍。面對例題應首先分析已知量的構(gòu)成，函數(shù)是由一次函數(shù)與三角函數(shù)組成，問題需求解不大于1+cosx時參數(shù)a的取值，由于sinx與cosx函數(shù)在題目要求區(qū)間內(nèi)所反映的單調(diào)性不同并且f（x）是一次函數(shù)與三角函數(shù)的組合函數(shù)具有多重性質(zhì)，因此在求解時可以通過構(gòu)造新函數(shù)g（x）=1+sinx-cosx-ax，進行求導并化簡后得到g'（x）= sin（x+ π /4）-a，對于g'（x）而言函數(shù)的值域為[-1， ]，因為導數(shù)值正負關(guān)系反映原函數(shù)的單調(diào)性，所以得出a -1時g（x）單調(diào)遞增且a取-1時等號成立，而當 -1

三、放縮法

放縮法是在求解不等式成立問題中如遇到不等式兩邊數(shù)量關(guān)系無法比較時而采取尋找一個中間量進行比較的一種方法，中間量的尋找過程往往需要將原式放大或縮小，但處理后的結(jié)果可以更為準確地對不等量進行比較。放縮法應用在利用導數(shù)求解含參不等式恒成立中參數(shù)取值范圍的問題時對于高中學生而言往往具有一定的難度，問題的考查點并不是讓學生去尋找變式關(guān)系構(gòu)造出中間變量，其重點應強調(diào)對函數(shù)的求導后變量取值范圍的分析，找到不等式兩邊趨同點進而構(gòu)造出中間量。放縮法需要學生具備一定的數(shù)學核心素養(yǎng)，依靠全面的數(shù)學分析和準確的中間量構(gòu)造來實現(xiàn)解體目的。不言而喻，放縮法凝聚了多種數(shù)學思維和方法是數(shù)學知識綜合應用的體現(xiàn)，學生對放縮法的掌握和應用，應從平時不斷的練習中進行總結(jié)歸納。

總結(jié)

綜上所述，利用導數(shù)求含參不等式恒成立問題中參數(shù)取值范圍的數(shù)學方法，主要包括分離參數(shù)法、特值求解法和放縮法三種，但并不是說所有不等式恒成立問題都應圍繞著這三種方法來思考求解。高中數(shù)學的學習更多的是講求融會貫通性，只有讓學生清晰掌握各知識內(nèi)容間的聯(lián)系及數(shù)學方法的運用技巧，并通過學生的親身實踐動手求解后，才能促使學生對該類數(shù)學問題靈活作答。

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