中德兩國小學(xué)數(shù)學(xué)試卷對比與啟示
——以小學(xué)四年級為例

劉勝峰

（福建省廈門實驗小學(xué)）

數(shù)學(xué)命題是教育質(zhì)量監(jiān)測中的核心工作，在課程改革中起著導(dǎo)向和促進的重要作用。為了對比中德兩國同齡學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平的差異，特選取北京、上海、廈門等五個城市和德國柏林、慕尼黑等四個地區(qū)的小學(xué)四年級數(shù)學(xué)綜合測試卷，對36份試卷的結(jié)構(gòu)、特點、試題維度及其命題技術(shù)進行比照。在此基礎(chǔ)上，思考如何確定試卷命題立意，如何提高數(shù)學(xué)解答說理題型比例，如何高觀點選擇試題素材、考查數(shù)學(xué)應(yīng)用等問題，為我國新時代小學(xué)數(shù)學(xué)教育國際化做出判斷，獲得可以推廣應(yīng)用的經(jīng)驗。

一、試卷結(jié)構(gòu)與編寫特點比較

（一）試卷的立意與結(jié)構(gòu)比例

試卷的立意是命題的開始，也是決定試題價值的根本因素與關(guān)鍵所在。立意就是確定一份試卷要評價什么的意圖。受我國中考、高考的選拔性影響，我國小學(xué)數(shù)學(xué)試卷特別注意區(qū)分度，出活題、考能力是其典型的特點。

德國小學(xué)數(shù)學(xué)試卷被賦予了“診斷測試和調(diào)查研究”的功能，目的是要了解學(xué)生學(xué)習(xí)的真實情況，不需要排序、選拔和淘汰，不需要考查達標不達標，只是調(diào)查統(tǒng)計有多少人會多少人不會，哪方面有欠缺，有多少人會到什么程度，等等。

不同的立意起著不一樣的價值引導(dǎo)作用，也決定著試卷的結(jié)構(gòu)，同時引導(dǎo)著數(shù)學(xué)教師的日常教學(xué)行為——是要重視提高中低檔題的正確率，還是要重視對試卷結(jié)果暴露出來的問題與漏洞進行查缺補漏。長期以來，我國的教學(xué)和學(xué)業(yè)評價存在偏重純學(xué)術(shù)性的傾向，我們也應(yīng)該重視小學(xué)數(shù)學(xué)試卷的立意導(dǎo)向，使其更科學(xué)地促進學(xué)生素質(zhì)的全面發(fā)展。

德國小學(xué)四年級數(shù)學(xué)測試卷分為一卷和二卷，合起來組成一份完整的測試卷，每卷30分，兩份試卷滿分為60分。試卷在22～25題之間，包含計算題、填空題和解答題，其中解答題約占三分之二。雖然試卷的題量不多，但是內(nèi)容面廣，同類知識一般就測試一題，各個試題的相近程度很低。把德國小學(xué)四年級數(shù)學(xué)測試卷按“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“概率與統(tǒng)計”“綜合與實踐”進行劃分，四個領(lǐng)域內(nèi)容所占的比例與份量分布如表1。

表1 四個領(lǐng)域內(nèi)容所占的比例與份量分布表

兩國試卷除了題型、分值存在較大差異外，在內(nèi)容比例方面區(qū)別不大。另外，在我國五個城市的四年級數(shù)學(xué)試卷中都出現(xiàn)了單純的計算測試題，分值都在20分左右，有些試卷專設(shè)學(xué)生完成試卷的“書寫評價分”，一般為3分。德國試卷里也有單純的計算測試題，但是一般就安排兩題，分值為3分左右，他們沒有評價學(xué)生的書寫分。

（二）試卷編排特點與解答要求

德國試卷為學(xué)生留有很大的答題寫作空間，學(xué)生可以直接在試卷上進行“草稿”。還會在試題里提供方格圖、數(shù)軸等“提示語”，這對學(xué)生尋找到解題思路能起到很好的啟發(fā)與幫助的作用。

用圍欄把這個院子圍起來并留了4米的通道，需要幾米的欄桿？（如圖1、圖2）

圖1

圖2

此題“求周長”，考查的是學(xué)生觀察圖形、計算周長的能力。德國試卷提供了方格圖輔助學(xué)生思考，學(xué)生既可以通過數(shù)方格邊長得到結(jié)果，也可以通過把該圖形轉(zhuǎn)化成長方形，求出長方形的周長后再減去4米的通道長度。

數(shù)學(xué)材料通常使用圖表、符號和文字三類語言，有時單獨使用，有時綜合使用。如果能熟練、準確地進行三種數(shù)學(xué)語言的相互轉(zhuǎn)換，學(xué)生就能理解和掌握所面對的數(shù)學(xué)材料，從而實現(xiàn)高水平的數(shù)學(xué)問題解決；反之，就會造成數(shù)學(xué)理解、接受和處理障礙或困難，影響學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。德國試卷不僅有許多圖、表格，還不吝使用大量的文字語言，讓每道試題都有一個很具體的生活情境，考查學(xué)生對符號語言、文字語言、圖表語言的理解及相互轉(zhuǎn)換能力。

自動喂食器用于喂魚缸里的魚，假設(shè)每條魚需要相同數(shù)量的食物。因此，該機器被設(shè)置成喂養(yǎng)三種魚，每天提供9克食物。

（1）帶有此設(shè)置的寵物喂食器裝滿500g食物的時候可否喂食60天？說明理由。

（2）到目前為止，水族館里有三條魚，現(xiàn)在增加5條。因此，喂食器被重置，機器每天提供多少克飼料才足夠？說明你的解決方案。

語言豐富的試題可以有效地檢測出哪些學(xué)生無法正確提取數(shù)學(xué)圖形所表示的量，或是無法正確解讀數(shù)學(xué)符號所表示的關(guān)系，或是無法把數(shù)學(xué)圖例內(nèi)容轉(zhuǎn)為數(shù)量內(nèi)容。如果試題只局限于一種數(shù)學(xué)語言，學(xué)生的思維就會停留在所讀材料的一個側(cè)面，有時可能會有一種“山窮水盡”的感覺。像這樣，通過豐富試題語言設(shè)計具有一定復(fù)雜性的問題情境，測評學(xué)生能否靈活應(yīng)用所學(xué)知識與解決變式問題，或者設(shè)計少量結(jié)構(gòu)不良問題測評學(xué)生是否能夠調(diào)用認知經(jīng)驗以及相關(guān)概念，形成解決問題的策略，是德國試卷編排的典型特點。

兩國試卷對學(xué)生的解答要求也存在一定的區(qū)別。德國考試以回答為主，考試要寫的，不是學(xué)生求得的答案，而是對這個數(shù)學(xué)問題的意見，包括怎么看、如何分析、決定用什么方式處理，如果過程中遇到需要運算的環(huán)節(jié)，就用手上的計算器計算，等等。德國試卷有許多要求學(xué)生“說理”的試題，每個大題拆分成兩個或三個小題之后，最后的那個小題幾乎都是要求學(xué)生“說理”的，要求學(xué)生“說說這樣選的理由”“說說你是怎么想的”“你為什么這樣想”。

德國學(xué)生在用算式呈現(xiàn)解答思路之后，還需要用文字表達自己的解答步驟，對于數(shù)學(xué)試卷的解答形式學(xué)生可以不拘一格，可以進行純文字的推理論證，也可以用列式計算的方法予以解決，還可以通過畫圖等方法進行直觀闡釋。

二、試題維度比較

（一）內(nèi)容維度對比

試題分析，傳統(tǒng)的視角是將其區(qū)分為“知識點與水平層次”兩個維度?，F(xiàn)代的新視角認為，試題質(zhì)量分析應(yīng)該是“三維論”，我國一般區(qū)別分數(shù)學(xué)知識與技能、方法與思想、數(shù)學(xué)能力，德國則是區(qū)分為數(shù)學(xué)內(nèi)容、數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素質(zhì)。無論是傳統(tǒng)還是現(xiàn)代，我國還是德國，都是以數(shù)學(xué)內(nèi)容作為分析的基礎(chǔ)。

中德兩國在四年級都學(xué)習(xí)了“認識大數(shù)”，我國側(cè)重于認識大數(shù)的讀寫法和求近似數(shù)，不要求進行大數(shù)計算，德國要求學(xué)生能夠計算五位數(shù)甚至六位數(shù)的混合運算。德國試卷的第一題都是兩道要求豎式計算題，我國試卷也會有安排計算題，但是題量較多，內(nèi)容包含加減乘除、運算定律，形式有口算、估算、列豎式計算、簡算,等等。

德國試題里的數(shù)據(jù)很多都是“現(xiàn)實版”的，和生活原型非常接近，如果學(xué)生采取心算或是筆算，很難快速獲得結(jié)果。但是德國試題要求學(xué)生熟練使用計算器，學(xué)生被允許在解題時可以使用電子計算器輔助完成，因此試題里繁瑣而真實的數(shù)據(jù)對他們沒有任何挑戰(zhàn)。另外，德國試題沒有考查學(xué)生口算、估算或是根據(jù)不同的情境進行不同估算的要求，但要求學(xué)生必須清楚了解數(shù)學(xué)運算的原理。

我國在小學(xué)四年級數(shù)學(xué)教學(xué)中安排了“認識和學(xué)會使用計算器”，但是我們的各級各類考試至今還是不允許學(xué)生使用計算器輔助解答試題，因此我們的小學(xué)數(shù)學(xué)教師依然花很大的力氣在培養(yǎng)學(xué)生的口算、心算和更快計算的能力。由于可以借助計算器這一工具輔助解答試題，因此德國的四年級教學(xué)沒有用簡便方法進行計算的內(nèi)容，其計算方面的試題也沒有要求學(xué)生運用簡便方法進行運算，而這也是導(dǎo)致德國小學(xué)生運算能力遠遠不如我國學(xué)生的原因之一。

德國數(shù)學(xué)試題包含許多動手操作內(nèi)容，而且考查要求高于我國。關(guān)于“圖形的測量”，我國試題一般讓學(xué)生觀察圖形之后，利用題目中已知的數(shù)據(jù)信息解決問題。德國試題是先讓學(xué)生實際測量，再計算幾何圖形的周長或面積，試題標準答案要求學(xué)生精確到毫米，遠遠高于我國的試題要求精確到厘米。比如，考查“軸對稱圖形”，德國試題（如圖3）要求學(xué)生在點子圖上對軸對稱圖形進行觀察、補充完整，涉及鏡面圖像。

圖3

在代數(shù)領(lǐng)域，中德兩國都設(shè)計了“能夠理解并且運用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和利用符號進行運算、推理”的試題。我國要求學(xué)生能用符號進行數(shù)學(xué)表達和思考，不僅考查四則運算，還考查等量代換、推理能力，在試題中考查符號運算時一般不包含具體的數(shù)。德國試題（如圖4）不僅要求學(xué)生用等量代換的思想進行思考，考查推理能力，還要求解答包含著符號和具體數(shù)的代數(shù)運算，一組問題里既有大數(shù)還有不同級別的運算，符號之間的關(guān)系也顯得復(fù)雜多樣。

圖4

隨著信息化社會的到來，越來越多的問題將無法用單一的數(shù)學(xué)知識來解答，需要學(xué)生綜合多個數(shù)學(xué)知識進行分析解答。像德國這樣，在一道試題中綜合考查運算、符號代數(shù)、等量代換關(guān)系等，學(xué)生需要聯(lián)系不同領(lǐng)域里的數(shù)學(xué)經(jīng)驗，反映出其運用所學(xué)知識、觀點、方法分析問題的能力，實現(xiàn)考查學(xué)生知識、能力、覺悟的統(tǒng)一。

（三）認知水平維度對比

試題的認知水平要求一般分為了解、理解、掌握、應(yīng)用四個層次。擇取兩國試卷中“數(shù)與代數(shù)”試題的認知水平進行比較，可以發(fā)現(xiàn)：兩國試卷該部分的認知水平要求多表現(xiàn)為模仿和遷移，探究類試題相對較少，難度范圍差異不大。雖然兩國都同樣重視聯(lián)系實際編制試題情境，但是我國人為虛構(gòu)情境的試題比例高于德國，德國較多使用社會科學(xué)背景作為試題情境，因此其問題的綜合難度系數(shù)會更高一些。

如“數(shù)的認識”試題（圖5），德國試題要求“在方框內(nèi)填上正確的數(shù)字”，我國試題也同樣要求在數(shù)軸上表示數(shù)。但是德國試題要求表示的是準確數(shù)、正整數(shù)，停留在認識整數(shù)部分，而我國試題則是考查近似數(shù)、小數(shù)。在解答德國試題的過程中，如果學(xué)生只是簡單“找位置”是無法得到答案的，必須根據(jù)數(shù)軸進行計算，要把一個整體平均分成幾份，再進行填數(shù)。我國試題可以通過判斷數(shù)所在的大致位置，得到答案。德國試題更能體現(xiàn)數(shù)軸作為數(shù)學(xué)工具在數(shù)學(xué)上的具體應(yīng)用，即“每個數(shù)在數(shù)軸上是怎么產(chǎn)生的？和是多少？”我國試題側(cè)重于考查小數(shù)的位置以及其在數(shù)軸中的位置。

圖5

德國對于立體圖形的認知水平要求也明顯高于我國，他們不僅要求學(xué)生要掌握三視圖所表達的原圖形，還對學(xué)生空間想象的精準度有較高要求，學(xué)生想象出來的圖形要接近原圖形并且能夠基于想象進行計算。

如，luukas和mattias看著圖片里的模型，是由球和等長的木棍組成的。

（1）lukas考慮從模型的組件中構(gòu)建四個小方塊，他需要多少個木棍和球？

（2）matthias想用模型的組件來構(gòu)建塔樓，從中可以看到前視圖和側(cè)視圖，勾選最合適的選項：比模型多8根木棍（ ），比模型多4根木棍（ ），比模型多2根木棍（ ），一樣多（ ）。

像這類觀察物體的試題，學(xué)生要憑借文字想象出立體圖形，還要從立體圖形中找到與棱、角相關(guān)的信息進而解決問題。我國小學(xué)四年級還沒有學(xué)習(xí)立體圖形的特征，只安排了“從不同角度觀察物體得到不同的結(jié)果”的學(xué)習(xí)。即使是考查“三視圖”的試題，最高要求也只是“描繪出從左面、正面、上面觀察到的四個同樣的小正方體所擺成的物體的面”，要求比德國低很多。

德國小學(xué)數(shù)學(xué)試卷對認知維度的設(shè)計，重視獲取數(shù)學(xué)信息能力的考核和思維能力的考核，尤其是批判性思維、創(chuàng)造性思維的考核，這些都是比知識更重要的東西。他們把試題考查指向衡量學(xué)生智慧技能和認知策略的水平，將目標指向?qū)W生在解決實際問題過程展現(xiàn)出來的邏輯推理、數(shù)學(xué)表達等綜合應(yīng)用能力，將更有助于學(xué)生適應(yīng)未來科技革命和知識經(jīng)驗的挑戰(zhàn)。

三、命題技術(shù)比較啟示

（一）比較組題特征的啟示

命題技術(shù)包括取材與組題，其中素材是基礎(chǔ)，不同類型、不同位置的題目通常需要不同的素材，只有收集、尋找到好的素材，才有可能命制出合適的題目。按回答的方式及判分手段的性質(zhì)分類，試題一般分作主觀性試題和客觀性試題兩大類，每一類試題又包括各種不同形式的題目。德國小學(xué)數(shù)學(xué)試卷的客觀題和主觀題比例相差不大，許多主觀題都是開放性的解答題。他們編制的開放型主觀題既有時代性，又從學(xué)生的現(xiàn)實生活出發(fā)，以考核能力為核心，有較強的思想性、科普性和人文性。

德國試卷上的解答題一般是在一個大前提（已知條件）下，提出若干問題，要求學(xué)生完整地寫出解題過程。它的特點是容量較大，能直接考查多個知識點，以及綜合考查多種數(shù)學(xué)思想、方法和數(shù)學(xué)能力。由于這類題目從一個基本數(shù)學(xué)事實出發(fā)，通過變形、擴張、發(fā)展形成一系列的題組，因此較之選擇題更能考查考生的解題思路和解題過程，也能更好地對不同水平的考生進行多層次的區(qū)分。

德國試卷上的解答題大體可以分成兩類。第一類：所提的若干問題是并列的，彼此獨立，互不關(guān)聯(lián)；第二類：所提的若干問題是遞進的，彼此間存在層次上的聯(lián)系，后一問的解答，依賴于前一問的結(jié)果。提問方式有單問也有分步設(shè)問，有的是證明題，也有的是探索題。題設(shè)條件有“隱”條件也有“顯”條件，有間接條件也有直接條件，所涉及的知識點、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法都較為廣泛，學(xué)生數(shù)學(xué)思維參與的強度也較大。

德國試卷的解答題很注重層次性，一般每道題都包含2～3個小題，每小題的內(nèi)容都是由淺入深，由簡單到復(fù)雜，可以讓不同層次的學(xué)生的能力和才華得以展示和發(fā)揮。如德國統(tǒng)計測試題：

87名兒童參加調(diào)查，每個孩子都有他最喜歡的學(xué)科，用圖表明結(jié)果。

（1）有多少孩子稱數(shù)學(xué)為他們最喜歡的科目？

（2）在圖中填寫主題HSU的缺失列。

（3）沃爾夫?qū)鶎φO羅爾說：您把圖標搞錯了，我最喜歡的科目是音樂，但它不存在，為什么誒羅爾沒有弄錯？

這和我國統(tǒng)計類試題有很大的區(qū)別。我國對統(tǒng)計類測試題的核心內(nèi)容和能力一般定于“理解統(tǒng)計的意義和應(yīng)用統(tǒng)計信息解決實際問題”，因此會融入平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)等統(tǒng)計概念，在試題內(nèi)容維度上會包括統(tǒng)計方法、統(tǒng)計圖表信息、統(tǒng)計結(jié)果應(yīng)用等等，更全面、更綜合。在題干特征方面，一般會給出具體統(tǒng)計的主題情境，以及學(xué)生利用統(tǒng)計圖數(shù)據(jù)進行分析與預(yù)測的應(yīng)用型問題，子技能包括認識統(tǒng)計項和統(tǒng)計量、能讀懂各個直條的含義、會解釋統(tǒng)計結(jié)果并根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果能夠做出簡單的判斷和預(yù)測。德國試題沒有要求學(xué)生認識統(tǒng)計量，他們注重考查學(xué)生分析統(tǒng)計圖里的信息，并據(jù)此判斷和推理，通過“把缺失的項補充完整”考查學(xué)生對統(tǒng)計信息的加工處理能力。

（二）比較試題選材的啟示

選材是根據(jù)一定的考查目的(立意)和中心進行的，立意與選材兩者之間，往往交織在一起。德國試題的選材從比較高的觀點物色數(shù)學(xué)問題，他們主要從社會現(xiàn)象、自然現(xiàn)象、生活現(xiàn)象、生產(chǎn)過程和科學(xué)實驗等實踐中尋找素材和問題，注重與社會生產(chǎn)、生活實際的結(jié)合以及與科學(xué)新成就的聯(lián)系，因而選取得到的數(shù)學(xué)試題素材，所蘊涵的數(shù)學(xué)思想方法比較深刻，試題時代感較強，學(xué)生可以在解題的同時獲取新信息、拓寬視野和知識面。現(xiàn)實生活中的數(shù)學(xué)問題涉及各方面的因素，解決這些問題需要跨學(xué)科知識和能力的考核，這對學(xué)生提出了更高的要求。

雖然我國和德國都注重數(shù)學(xué)與生活的廣泛聯(lián)系，將數(shù)學(xué)問題融于真實的情境之中，但是德國試題更加強調(diào)讓學(xué)生解決實際生活中的問題，要求學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度運用知識和方法尋找解決問題的策略，能清晰有條理地表達自己的思考過程，做到言之有理、落筆有據(jù)。我國試題往往是先定考查知識點再創(chuàng)編服務(wù)于該知識內(nèi)容的試題情境，最常見的是采用學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的典型錯誤為素材情境，通過設(shè)計層層遞進的“問題串”，讓學(xué)生在問題的解答中暴露思維過程。

德國試卷里的探索性或開放性試題，大多以社會生活中的實際問題為素材，要求學(xué)生利用已經(jīng)學(xué)習(xí)過的知識，采用各種手段或工具，提出合理的解決問題的方案。大部分試題要求學(xué)生能夠自主閱讀提取有關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)信息，然后進行解決問題。他們試題中的字符數(shù)明顯多于我國試題中的字符數(shù)，對學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀能力的要求更高一些。

ludwig畫了三個不同的圓圈，第一個圈由8個字段組成，每個圓圈分為順時針編號的全等字段。

（1）ludwig的第二個圈由16個字段組成，哪個字段與編號為5的字段直接相對？

（2）對于第三個圓圈，編號為10的字段與編號為4的字段直接相對，第三個圈多少個字段？

與一些開放性主觀題相對應(yīng)的是德國試卷的許多答案都是開放的，他們鼓勵學(xué)生構(gòu)建自己的答案，答案的形式也可以各種各樣。

在實踐中，我發(fā)現(xiàn)許多學(xué)生在材料、信息題上失分較多，不能有效獲取新信息并加以應(yīng)用是一個重要原因。在信息化社會的大背景下，對大量知識進行篩選的能力具有極為重要的意義。因此，我國小學(xué)數(shù)學(xué)試卷應(yīng)該引入更多的問答題，既體現(xiàn)基礎(chǔ)性知識，還體現(xiàn)策略性知識、實踐性知識，多提供能考查出學(xué)生對小學(xué)數(shù)學(xué)核心知識、核心技能的理解和掌握，尤其是學(xué)生收集與分析信息的能力、綜合運用所學(xué)知識解決實際問題的能力以及對數(shù)學(xué)思想方法的理解與掌握的試題素材，促使學(xué)生靈活運用課堂所學(xué)的數(shù)學(xué)知識和方法，使學(xué)生逐步成為知識的實踐者，發(fā)揮學(xué)生學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的正確導(dǎo)向作用。

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