利用“萬有引力場的環(huán)路定理”推算太陽內(nèi)部溫度

廖偲含， 楊 興， 魯同所，2， 胡 婧

(1. 西藏大學 理學院，西藏 拉薩 850000；2.中國科學院 上海應用物理研究所，上海 嘉定 201800)

靜電環(huán)路定理作為電磁學中的關(guān)鍵內(nèi)容，在靜電場中具有非常重要的作用和地位，解決了許多具有對稱分布性質(zhì)的靜電學問題.歷史上許多例子證明類比推理是科學上行之有效的方法，通過類比方法將靜電場環(huán)路定理推廣引入到經(jīng)典萬有引力場中，對于球?qū)ΨQ性的天體，能大大簡化積分運算過程，加深對天體內(nèi)部性質(zhì)的理解.眾所周知，太陽是離地球最近目前唯一可以詳細研究的恒星，也是太陽系內(nèi)最大的天體.太陽是一個“火球”，不斷進行著熱核聚變反應，堪稱是一座無與倫比的巨型物理實驗室，熱核聚變反應與溫度息息相關(guān)，核反應區(qū)作為太陽內(nèi)部熱核聚變的場所，幾乎產(chǎn)生了所有的太陽能量，是地球能量的主要來源，其重要性不言而喻，不僅帶來物理知識，還影響科技和生活，其中心是一個高溫、高密、高壓的區(qū)域.但由于太陽內(nèi)部的物理量無法進行直接觀測，近年來不斷有學者利用太陽表面觀測值[1]和有限的物理知識[2]建立太陽模型，但由于密度函數(shù)建立和計算方法等原因的不同，各種太陽模型也存在較大差異，其中Bahcall根據(jù)最新研究不斷發(fā)表各種改正后的標準太陽模型[3].但較為直觀的推算太陽內(nèi)部溫度的研究鮮有，在中國知網(wǎng)數(shù)據(jù)庫中檢索關(guān)鍵詞“太陽內(nèi)部溫度”，發(fā)現(xiàn)相關(guān)中文文獻不超過3篇.因此，筆者利用萬有引力場的“環(huán)路定理”引入引力勢能，根據(jù)分段密度分布函數(shù)，建立太陽內(nèi)部粒子和引力勢能函數(shù)，參照太陽數(shù)值解模型[4-5]，借助Mathematica數(shù)學軟件，推算太陽中心溫度，得到一種較為合理的太陽內(nèi)部溫度分布結(jié)構(gòu).

1 引力場的環(huán)路定理

根據(jù)靜電場和萬有引力場的相似性，將靜電場的電場強度概念引入萬有引力場中，推導得到萬有引力場強度和萬有引力場的“環(huán)路定理”，如表1所示.

表1 靜電場與萬有引力場的對比

比例常數(shù)G=6.67×1011N·m2·kg-2為引力常數(shù).

2 非均勻球?qū)ΨQ性天體萬有引力勢能和溫度

由靜電場的電勢能之差類比得到萬有引力場的引力勢能之差的表達式，如見表2所示.

表2 靜電場與萬有引力場的對比

圖1 球?qū)ΨQ性天體示意圖

(1)

在r至R之間任意取一段微元dr，則對r至R之間的球殼(r

(2)

然后把整個球體劃分成無數(shù)個上述球殼，則整個球體的引力勢能看做這無數(shù)個球殼的引力勢能的疊加

(3)

由維里定理[8]，質(zhì)點的平均平動能為

(4)

(5)

則對整個球體，核心溫度為

(6)

其中，Nc為整個球體內(nèi)部粒子數(shù).由式(5)和(6)可知，溫度與內(nèi)部粒子數(shù)、引力勢能密切相關(guān).由式(2)、(3)和(4)可知引力勢能、內(nèi)部粒子數(shù)又都和密度分布密切相關(guān)，事實上太陽并不是密度均勻分布的，所以引入ρ-r函數(shù)關(guān)系.

3 太陽的分層結(jié)構(gòu)

太陽是一個熾熱的氣體球，質(zhì)量為1.989×1030kg，是地球質(zhì)量的33萬倍，半徑為6.962 65×108m[1]，其密度并不均勻，越靠近中心，密度越大.從太陽中心到邊緣可分為核反應區(qū)、輻射區(qū)、對流區(qū)和太陽大氣4層，如圖2所示.核反應區(qū)集中了太陽質(zhì)量的一半，太陽能量的99%是在這里產(chǎn)生的；輻射區(qū)在核反應區(qū)外，其密度和溫度都很快向外減少，核反應區(qū)產(chǎn)生的能量經(jīng)此區(qū)以輻射轉(zhuǎn)移的方式向外傳播；對流區(qū)密度和溫度進一步向外減少，主要以對流方式向外傳播能量；太陽大氣大致可以分為光球、色球、日冕3個層次，各層的物理性質(zhì)具有顯著差別.

核反應區(qū)產(chǎn)生幾乎太陽所有的能量，而核反應區(qū)以外的區(qū)域主要負責將核反應區(qū)產(chǎn)生的能量傳遞出去[2].核反應區(qū)能夠進行核聚變，非核反應區(qū)不能進行核聚變，由此將太陽分為核反應區(qū)和非核反應區(qū)進行分層計算，如圖3所示.

對流層輻射層日珥色球?qū)庸馇驅(qū)犹柡谧尤喝彰岷诵姆呛朔磻獏^(qū)核反應區(qū)圖2 太陽內(nèi)部結(jié)構(gòu)示意圖圖3 太陽內(nèi)部劃分示意圖

4 太陽的密度分布函數(shù)

顯然，在太陽中心處，太陽表面的密度相比太陽中心的密度可以忽略，通常假定其為0，所以存在以下邊界條件

ρ(0)=ρc，

ρ(R)=0.

太陽劃分為2個區(qū)域，核反應區(qū)和非核反應區(qū)，如圖3所示，設核反應區(qū)與非核反應區(qū)的分界面半徑為a，太陽中心密度ρc和分界面密度ρa定義為

(7)

核反應區(qū)(0≤r

ρ1=ρ1(r).

在太陽中心附近按照泰勒級數(shù)展開

取前3項，為保證密度函數(shù)在同一區(qū)域光滑，要求ρ1′(0)=0,所以

所以

(8)

非核反應區(qū)(a≤r≤R)，

ρ2=ρ2(r)，

在分界面附近按照泰勒級數(shù)展開

取前2項，代入邊界條件ρ(R)=0=ρ2(a)+ρ2′(a)(R-a)和分界處ρ2(a)=ρa得到

所以

(9)

設

(10)

則邊界條件變?yōu)?/p>

σ(0)=1，

σ(1)=0，

密度函數(shù)變?yōu)椋?/p>

核反應區(qū)(0≤x<α)

(11)

非核反應區(qū)(α≤x≤1)

(12)

5 太陽內(nèi)部溫度

5.1 非核反應區(qū)的太陽內(nèi)部引力勢能和粒子數(shù)對于非核反應區(qū)(a≤r≤R)，將密度函數(shù)ρ1，ρ2代入式(2)，得

則在非核反應區(qū)引力勢能隨半徑分布函數(shù)為

(13)

設

(14)

將式(10)、(12)和(14)代入式(13)，則對于非核反應區(qū)(a≤x≤1)分布函數(shù)變?yōu)?/p>

(15)

設

(16)

則

(17)

(18)

(19)

把式(17)、(18)和(19)代入式(15)得

(20)

對于非核反應區(qū)(α≤x≤1)，將σ2代入式(20)并積分，在x～1個太陽半徑范圍包含的引力勢能與整個太陽引力勢能比值為

(21)

α～1個太陽半徑范圍包含的引力勢能與整個太陽引力勢能比值為

(22)

設

(23)

則將式(10)和(23)代入式(4)，粒子分布方程變?yōu)?/p>

(24)

設

(25)

則

(26)

對于非核反應區(qū)(α≤x≤1)，將σ2(x)代入式(26)并積分，在x～1個太陽半徑范圍包含的粒子數(shù)與整個太陽粒子數(shù)比值為

(27)

α～1個太陽半徑范圍包含的粒子數(shù)與整個太陽粒子數(shù)比值為

(28)

5.2 核反應區(qū)的太陽內(nèi)部引力勢能和粒子數(shù)對于核反應區(qū)(0≤r≤a)，將密度函數(shù)ρ1代入式(2)

則在核反應區(qū)引力勢能隨半徑分布函數(shù)為

(29)

將式(10)、(11)和(14)式代入式(29)，則對于核反應區(qū)(0≤x≤α)分布函數(shù)變?yōu)?/p>

(30)

設

(31)

把式(16)和(31)代入式(30)得

(32)

對于核反應區(qū)(0≤x≤α)，將σ1(x)代入式(32)并積分，在x～1個半徑范圍包含的引力勢能與整個太陽引力勢能比值為

(33)

對整個太陽來說，在0～1個太陽半徑范圍包含的引力勢能與整個太陽引力勢能比值為1，

(34)

則

(35)

把式(16)、(17)、(18)、(19)和(31)代入式(34)得

(36)

對于核反應區(qū)(0≤x≤α)，將σ1(x)代入式(26)并積分，在x～1個太陽半徑范圍包含的粒子數(shù)與整個太陽粒子數(shù)比值為

(37)

對整個太陽來說，0～1個太陽半徑范圍包含的粒子數(shù)與整個太陽粒子數(shù)比值為1，則

(38)

令

(39)

則

(40)

(41)

易得

(42)

5.3 太陽內(nèi)部的溫度由式(25)

得

(43)

由式(39)和(42)可知，將α和β的值代入，即可求得Q值，將Q代入式(43)即得太陽中心密度；

由式(16)

得

(44)

由式(36)可知，將α和β的值代入，即可求得整個太陽的引力勢能.

通過太陽光譜分析，太陽的化學元素約有60多種，其中以氫最多.太陽的成分中氫的質(zhì)量豐度約73.46%，氦約占24.85%，那么太陽內(nèi)部平均粒子質(zhì)量[8-9]為

對于整個太陽內(nèi)部粒子數(shù)

(45)

由式(6)

將式(44)和(45)代入式(6)即得太陽內(nèi)部溫度.

核反應區(qū)是太陽內(nèi)部熱核聚變的場所，其范圍大致從中心到0.20R[10]或0.25R[11]，也就是說α的大致范圍為0.2≤α≤0.25.如果假定核反應區(qū)的氫原子剛好完全電離，區(qū)域分界面處的氫原子核的距離可以近似地表示為[2]

氫原子電離的條件可以近似認為是任意2個氫原子核之間的距離剛好是玻爾半徑的2倍,即

(46)

其中，a0=5.29×10-11m是氫原子的玻爾半徑，mH=1.67×10-27kg是氫原子質(zhì)量.

將式(7)、(42)和(43)代入式(46)得

(47)

由式(39)、 (47)可知，代入α，利用Mathematica擬合即可求得β值.

如圖4所示，在α在0.25取值左右時，β取值在0.99附近.再將α和擬合得到β代入式(39)、(42)和(43)，利用Mathematica擬合可以求得太陽中心密度ρc隨α取值范圍的變化.由上知α的大致范圍為0.2≤α≤0.25，目前的研究中一般認為核心在0.25個太陽半徑左右，如圖5所示.在α在接近0.25取值時，密度在1.56×105kg·m-3左右，而在數(shù)值解模型中太陽中心密度為1.56×105kg·m-3[12-13]，本文計算與此結(jié)果高度吻合.

以ρc=1.56×105kg·m-3為中心密度代入式(43)，得到一組對應的α和β值，代入式(36)得到Y(jié)1的值，再由式(6)、(44)和(45)，利用Mathematica得到中心溫度Tc隨α和β取值范圍的變化，如圖6所示.

圖6 太陽中心溫度隨α和β取值變化

當α和β取定一對值，如α=0.239 21，β=0.989時，代入式(6)和(44)求得太陽中心溫度Tc=1.58×107K，這與數(shù)值解模型中太陽中心溫度為1.58×107K[12-13]基本一致.

6 結(jié)束語

通過靜電場與萬有引力場的相似之處，將相關(guān)概念引入到萬有引力場中，類比得到萬有引力場的“環(huán)路定理”，求解萬有引力勢能.根據(jù)分界面的性質(zhì)和太陽內(nèi)部有無熱核反應建立分層密度分布函數(shù)，擬合得到與數(shù)值模型解比較吻合的中心密度和溫度.基于此計算得到太陽中心密度ρc=1.56×105kg·m-3，中心溫度Tc=1.58×107K，與太陽內(nèi)部維持流體靜力學平衡而估算得到的1.5×107K相吻合，說明利用萬有引力來研究太陽內(nèi)部狀況具有一定的合理性，對于了解太陽內(nèi)部的物理過程起到了很大的促進作用，同時也為其他恒星的研究提供了新的思路和方法.

基于有無熱核反應對太陽內(nèi)部進行分層，計算中密度函數(shù)扮演著重要的角色，但太陽的分層結(jié)構(gòu)非常復雜，并不能進行如此簡單的定論.在假定太陽表面密度為0這一過程中，也導致了假定太陽表面溫度為0，但事實上并非如此，實際太陽表面的溫度為6 000 K[14].從太陽表面至中心的密度變化相對于溫度和引力勢能較小，因此采用這樣的密度分層函數(shù)對整個太陽進行研究仍是較為合理的.目前還沒有能夠完全得到證實的密度分布模型，太陽在不斷演化的過程中，各種性質(zhì)也仍舊是一個謎題.