解析函數(shù)展為泰勒級數(shù)與洛朗級數(shù)的區(qū)別

【摘要】泰勒級數(shù)和洛朗級數(shù)是研究解析函數(shù)的重要工具，它們都是借助于簡單的冪函數(shù)去研究一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)，因此把一個(gè)解析函數(shù)展為泰勒級數(shù)和洛朗級數(shù)就顯得特別重要，但一些初學(xué)者容易把兩種方法搞混淆，筆者就兩種展開的方法的區(qū)別作了一個(gè)詳細(xì)的總結(jié)。

【關(guān)鍵詞】泰勒級數(shù)? 洛朗級數(shù)? 區(qū)別

前言：泰勒級數(shù)和洛朗級數(shù)是研究解析函數(shù)的重要工具，它們都是借助于簡單的冪函數(shù)去研究一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)，因此把一個(gè)解析函數(shù)展為泰勒級數(shù)和洛朗級數(shù)就顯得特別重要，但一些初學(xué)者容易把兩種方法搞混淆，下面就兩種展開的方法的區(qū)別作了一個(gè)詳細(xì)的總結(jié)。

一、兩種展開的方法的區(qū)別

解析函數(shù)展開為泰勒級數(shù)是根據(jù)泰勒展開定理來展開的：設(shè)f（z）在區(qū)域D內(nèi)解析，z0為D內(nèi)的一點(diǎn)，d為z0 到D的邊界上各點(diǎn)的最短距離，那么當(dāng)|z-z0|

f（z）=cn（z-z0）n （1）成立，其中cn=，n=0，1，2，3，…

（1）式稱為f（z）在z0的泰勒展開式，（1）式右端的級數(shù)稱為f（z）在z0的泰勒級數(shù)，泰勒展開定理告訴我們：在一個(gè)圓域內(nèi)解析的函數(shù)可展為泰勒級數(shù)，泰勒級數(shù)是在圓域內(nèi)展開的。但在實(shí)際展開中這個(gè)圓域往往要我們自己去找，其找的方法是這樣的：設(shè)f（z）在z0處解析，且有若干奇點(diǎn)，比如z1，z2，z3等，則f（z）在z0處的泰勒展開式成立的圓域半徑R=z0到最近奇點(diǎn)的距離，即f（z）在圓域|z-z0|

解析函數(shù)展開為洛朗級數(shù)是根據(jù)洛朗展開定理來展開的：設(shè)f（z）在圓環(huán)域R1<|z-z0|

f（z）=cn（z-z0）n （2）成立，其中cn=dζ，n=0，±1，±2，±3，…，C為在圓環(huán)域R1<|z-z0|

（2）式稱為f（z）在圓環(huán)域R1<|z-z0|

例1：把函數(shù)chz展開成z的冪級數(shù)，并指出它的收斂半徑。

解：∵chz=（ez+e-z）/2，而由（4）式ez=，|z|<+∞，再將（4）式兩端的z換成-z得e-z=（-1）n，|z|<+∞，故chz=1+++…，|z|<+∞，收斂半徑R=+∞.

例2：求函數(shù)1/z2在z0=-1處的泰勒展開式，并指出它們的收斂半徑。

解：1/z2=-（1/z）'，而1/z=- ，將（3）式兩端的z換成z+1得1/z=-=-（z+1）n，1/z2=-（1/z）'= n（z+

1）n-1=（n+1）（z+1）n，|z+1|<1，收斂半徑R=1.

例3：求對數(shù)函數(shù)的主值ln（1+z）在z=0處的泰勒展開式。

解：因?yàn)閘n（1+z）在從-1向左沿負(fù)實(shí)軸剪開的平面內(nèi)是解析的，而-1是它的一個(gè)奇點(diǎn)，所以它在|z|<1內(nèi)可以展開成z的冪級數(shù)，因?yàn)閇ln（1+z）]'=1/（1+z），將（3）式兩端的z換成-z得=（-1）nzn，|z|<1，（6），在（6）式的收斂圓|z|<1內(nèi)，任取一條從0到z的積分路線C，把（6）式兩端沿C逐項(xiàng)積分，得dz=dz-zdz+…+（-1）nzndz+…，即ln（1+z）=z-z2/2+z3/3-z4

/4+…+（-1）nzn+1/（n+1）+…，|z|<1.

二、結(jié)束語

從以上的分析和4個(gè)例子大家可以看出函數(shù)展開為洛朗級數(shù)與泰勒級數(shù)的區(qū)別。

參考文獻(xiàn)：

[1]西安交通大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室.復(fù)變函數(shù)（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]馬柏林.復(fù)變函數(shù)與積分變換[M].北京：北京大學(xué)出版社， 2019.

[3]鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)（第一版）[M].北京：高等教育出版社，2004.

[4]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2002.

作者簡介：李明泉（1964-），男，重慶人，大學(xué)本科學(xué)歷，講師職稱，現(xiàn)任教于三峽大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系，從事《運(yùn)籌學(xué)》的研究。