解題教學(xué)中落實(shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的實(shí)踐與思考

鄭榮坤

[摘? 要] 文章針對(duì)當(dāng)前高中學(xué)生普遍存在“一看就懂，一聽就會(huì)，一算就錯(cuò)”的問題，依據(jù)章建躍主任的觀點(diǎn)，結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，探討如何在解題教學(xué)中落實(shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 運(yùn)算對(duì)象;運(yùn)算法則;運(yùn)算思路;運(yùn)算方法

筆者從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)十?dāng)?shù)載，有如下教學(xué)經(jīng)驗(yàn)：學(xué)生搞明白了如何應(yīng)用分類討論的數(shù)學(xué)思想方法解選做題中的不等式，但是去括號(hào)沒變號(hào)、并集算錯(cuò)的現(xiàn)象屢見不鮮;學(xué)生弄清楚了解析幾何解答題的解題過程，但大多數(shù)學(xué)生都選擇中途放棄;學(xué)生掌握了錯(cuò)位相減求數(shù)列之和的方法，算出正確答案的卻不在多數(shù). 人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室章建躍主任提出：“可以通過落實(shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)來改變高中生運(yùn)算能力差的現(xiàn)狀，要注重?cái)?shù)學(xué)運(yùn)算的基本技能，要從‘?dāng)?shù)系擴(kuò)充的背景、內(nèi)容、方法及其數(shù)學(xué)思想處提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).”

數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)是指在明晣運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，根據(jù)運(yùn)算法則來解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng). 具體包括：理解運(yùn)算對(duì)象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算思路、選擇運(yùn)算方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序、求得運(yùn)算結(jié)果等. 雖然落實(shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)關(guān)鍵在于以下四個(gè)方面：理解運(yùn)算對(duì)象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算思路、選擇運(yùn)算方法，但是由于大多數(shù)教師缺乏相關(guān)的經(jīng)驗(yàn)與理論，故在實(shí)際教學(xué)中很多教師常常困惑：如何在解題教學(xué)中落實(shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)呢？因而研究和開發(fā)出一些教學(xué)途徑與方法是十分必要的. 下面就以筆者在解題教學(xué)中的一些教學(xué)片段為例，談?wù)劼鋵?shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的策略和方法.

■關(guān)注為什么這么做，透徹理解運(yùn)算對(duì)象

理解運(yùn)算對(duì)象就是要明確對(duì)誰進(jìn)行運(yùn)算，即了解運(yùn)算對(duì)象的背景，理解運(yùn)算對(duì)象的本質(zhì)、幾何意義、相關(guān)數(shù)學(xué)思想以及相關(guān)聯(lián)的概念等. 理解運(yùn)算對(duì)象是正確進(jìn)行運(yùn)算的基本要求，然而高中數(shù)學(xué)的運(yùn)算對(duì)象不僅類型多，而且難理解，導(dǎo)致部分學(xué)生對(duì)其產(chǎn)生了畏懼心理.因此，教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)側(cè)重加強(qiáng)學(xué)生對(duì)運(yùn)算對(duì)象的理解.

在當(dāng)前的解題教學(xué)中，教師關(guān)注怎么做的多，一味強(qiáng)調(diào)解題訓(xùn)練的重要性，其結(jié)果是學(xué)生常常搞錯(cuò)運(yùn)算對(duì)象. 其實(shí)，讓學(xué)生透徹理解運(yùn)算對(duì)象并應(yīng)用自如，僅靠學(xué)生機(jī)械化的解題訓(xùn)練是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，讓學(xué)生搞清楚為什么這么做才有意義.

案例1：筆者在上《導(dǎo)數(shù)的計(jì)算》解題課時(shí)，讓學(xué)生解答以下試題：

已知曲線y=x3-2x+4，則在點(diǎn)（1，3）處的切線的傾斜角為（? ）

A. 30° B. 45° C. 60° D. 120°

學(xué)生很快就得出以下的解答過程：由于y′=3x2-2，y′x=1=1，故傾斜角為45°. 但當(dāng)筆者提出了以下問題，卻沒有學(xué)生能回答.

問題1：函數(shù)y=x3-2x+4，為什么y′=3x2-2？

問題2：為什么曲線y=x3-2x+4在點(diǎn)（1，3）處的切線斜率等于y′x=1=1呢？

為了幫助學(xué)生解決問題1，筆者先向?qū)W生介紹了平均變化率：■=■，然后讓學(xué)生知道，在x=x0處的瞬時(shí)變化率為：■■=■■，最后讓學(xué)生自行求y′x=1的值.為了幫助學(xué)生解決問題2，筆者讓學(xué)生思考以下問題.

問題3：■=■的幾何意義是什么？

問題4：如果點(diǎn)A（x0，f（x0）），B（x0+Δx，f（x0+Δx））是曲線y=x3-2x+4上的兩點(diǎn)（如圖1所示），那么當(dāng)Δx趨近于0時(shí)，直線AB與曲線是什么位置關(guān)系？

■

圖1

在學(xué)生解決了上述問題之后，筆者繼續(xù)讓學(xué)生自主完成以下問題.

問題5：已知曲線y=x3-2x+4，則在點(diǎn)（1，3）處的切線方程為__________;

問題6：已知曲線y=x3-2x+4，則過點(diǎn)（1，3）的切線方程為__________.

在這個(gè)教學(xué)案例中，原本只是一節(jié)比較簡(jiǎn)單的解題課，讓學(xué)生計(jì)算函數(shù)在某一點(diǎn)處的切線方程，但由于關(guān)注了為什么這么做，設(shè)計(jì)了問題串，擴(kuò)大了探索的空間，使得一節(jié)平淡的課在不斷追問“為什么”的過程中激起了層層浪花，自然讓學(xué)生對(duì)運(yùn)算對(duì)象的理解更加深入.

■關(guān)注失敗經(jīng)歷，熟悉掌握運(yùn)算法則

掌握運(yùn)算法則就是在理解運(yùn)算對(duì)象的前提下，明晰本運(yùn)算所涉及的運(yùn)算法則. 不同的運(yùn)算有著不同的運(yùn)算法則，只有掌握運(yùn)算法則，才能保障運(yùn)算過程和結(jié)果的準(zhǔn)確性. 數(shù)學(xué)運(yùn)算法則不具備規(guī)則性，無法生搬硬套，而應(yīng)當(dāng)是在學(xué)生充分理解和掌握的基礎(chǔ)上去靈活運(yùn)用.？搖

在當(dāng)前的解題教學(xué)中，教師關(guān)注成功經(jīng)驗(yàn)的多，總是害怕學(xué)生未能掌握運(yùn)算法則而算錯(cuò). 其實(shí)，為了讓學(xué)生深入理解和熟悉掌握運(yùn)算法則，教師應(yīng)當(dāng)關(guān)注失敗經(jīng)歷，正如同當(dāng)代著名的美國心理學(xué)家羅杰斯所說：“我們期望學(xué)生犯錯(cuò)誤，因?yàn)閺腻e(cuò)誤中吸取教訓(xùn)，便可爭(zhēng)取明天的成功.”教師可以在解題教學(xué)中設(shè)計(jì)一些學(xué)生容易解答錯(cuò)誤的題目，先創(chuàng)設(shè)條件與機(jī)會(huì)讓學(xué)生在運(yùn)算中犯錯(cuò)誤，然后讓學(xué)生自主或合作診斷錯(cuò)誤，吸取教訓(xùn)，從而獲得對(duì)運(yùn)算法則的深入理解和熟悉掌握.

案例2：筆者在上《數(shù)列求和》解題課時(shí)，讓學(xué)生自主解答以下試題：

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，Sn=2an+1，則Sn的值為（? ）

A. 2n-1？搖 B. ■■？搖？搖？搖？搖？搖

C. ■■？搖？搖？搖？搖？搖 D. ■

大多數(shù)學(xué)生做出了以下的錯(cuò)誤解答：①當(dāng)n=1時(shí)，S1=2a2，則a2=■a1=■;

②當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2an+1-2an，則an+1=■an.

因?yàn)閿?shù)列{an}是以1為首項(xiàng)、■為公比的等比數(shù)列，所以Sn=■=2·■■-2.

為了幫助學(xué)生尋找錯(cuò)誤的原因，也讓學(xué)生在自主糾錯(cuò)的過程中理解和掌握運(yùn)算法則，筆者提出了以下問題.

問題1：當(dāng)n≥2時(shí)，an+1=■an，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列嗎？

問題2：如果條件“an+1=■an”不變，而要使得數(shù)列{an}為等比數(shù)列，那么項(xiàng)數(shù)n必須滿足什么條件？

問題3：如果條件“n≥2”不變，而要使得數(shù)列{an}為等比數(shù)列，那么該數(shù)列的遞推公式應(yīng)該是什么呢？

問題4：請(qǐng)你歸納出以上解答錯(cuò)誤的原因.

學(xué)生在解答上述問題的過程中便明確了等比數(shù)列的遞推公式. 為了讓學(xué)生更加深入地理解和掌握“已知數(shù)列前n項(xiàng)和求通項(xiàng)”的運(yùn)算法則，筆者繼續(xù)讓學(xué)生解決下列問題：

問題5：當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1，把Sn=2an+1代入可得an+1=■an，由于運(yùn)算法則?？梢哉⒛鎯捎?，如果把上述運(yùn)算稱為“正運(yùn)算”，那么“逆運(yùn)算”是什么？

問題6：如果已知數(shù)列{an}滿足a1=1，■+■+…+■=2■，那么該如何求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式？

本教學(xué)案例充分展示了如何關(guān)注學(xué)生的失敗經(jīng)歷. 當(dāng)學(xué)生的解答出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，教師設(shè)計(jì)了問題串引導(dǎo)學(xué)生自主尋找解答錯(cuò)誤的原因. 由于一次失敗經(jīng)歷，會(huì)讓人刻骨銘心，故學(xué)生經(jīng)歷了自主糾錯(cuò)的過程，自然會(huì)更加深入地理解和掌握運(yùn)算法則. 這樣的解題課教學(xué)往往能夠促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，課堂上常常會(huì)有意外生成. 例如：筆者在課堂上還發(fā)現(xiàn)了學(xué)生的特殊解法：當(dāng)n=1時(shí)，S1=a1=1，沒有辦法排除任何一個(gè)選項(xiàng);當(dāng)n=2時(shí)，S1=2a2，a2=■a1=■，S2=a1+a2=■，排除A、C、D選項(xiàng)，則B選項(xiàng)正確.

■關(guān)注解題思維的獲得過程，深入探究運(yùn)算思路

運(yùn)算思路是運(yùn)算操作的路線圖，具有內(nèi)在的邏輯性，蘊(yùn)含著豐富的推理過程.數(shù)學(xué)運(yùn)算離不開運(yùn)算思路，沒有事先確定運(yùn)算思路就猶如無木之本、無源之水，難以入手. 運(yùn)算思路是解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵，是體現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的精華.探索不同的運(yùn)算思路反映著不同的解題思維，解題思維的獲得過程就是對(duì)運(yùn)算思路的探究過程.

在當(dāng)前的解題教學(xué)中，教師關(guān)注解題方法應(yīng)用的多，教學(xué)模式單一：介紹解題方法、應(yīng)用方法解題，所培養(yǎng)出來的大多數(shù)學(xué)生都無法自主探究運(yùn)算思路. 因此，只有教師關(guān)注解題思維的獲得過程以及解題方法背后的思維邏輯，才能有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，從而不斷提升學(xué)生自主探究運(yùn)算思路的能力. 如果教師善于激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，那么培養(yǎng)出來的學(xué)生常常會(huì)探究出不一樣的運(yùn)算思路.

案例3：筆者在上《利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性》解題課時(shí)，讓學(xué)生解答以下試題：

已知函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2，討論f（x）的單調(diào)性.

該題源于2016年全國高考文科數(shù)學(xué)卷Ⅰ第21題，雖然只是第一小題，但該題對(duì)學(xué)生的解題思維要求比較高.為了讓學(xué)生獲得解答該題的思維，筆者先讓學(xué)生做一道輔助題：

已知函數(shù)f（x）=x2+（2a-1）x-alnx，討論f（x）的單調(diào)性.

該輔助題的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=■，x>0.研究函數(shù)f（x）的單調(diào)性時(shí)，可以先按a≥0和a<0分兩類. 當(dāng)a<0時(shí)，令f′（x）=■=0（x>0），得到導(dǎo)函數(shù)f′（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，再按兩個(gè)零點(diǎn)的大小分三類：①a=-■;②a<-■;③-■

學(xué)生經(jīng)歷了解決上述輔助題的解題過程，具備了一定的思維能力，可以采用類似的解題思維來探究上述高考題的解題思路：f′（x）=（x-1）（ex+2a），由于ex>0，所以依然可以先按a≥0和a<0分兩類. 當(dāng)a<0時(shí)，令f′（x）=0，得到導(dǎo)函數(shù)f′（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，再按兩個(gè)零點(diǎn)的大小分成三類：①ln（-2a）=1;②ln（-2a）<1;③ln（-2a）>1. 但思維能力比較差的學(xué)生依然運(yùn)算不了. 為了打開學(xué)生的思維，讓學(xué)生找到便于理解、運(yùn)算的解題思路，筆者向?qū)W生提出了以下幾個(gè)問題.

問題1：既然從代數(shù)運(yùn)算研究函數(shù)的單調(diào)性比較麻煩，那么還可以從哪個(gè)方面入手？

問題2：從導(dǎo)函數(shù)的圖像，又該如何判斷原函數(shù)的單調(diào)性呢？

問題3：與導(dǎo)函數(shù)f′（x）=（x-1）（ex+2a），x∈R的兩個(gè)因式相對(duì)應(yīng)的函數(shù)是什么函數(shù)，你能否畫出它們的圖像？

問題4：當(dāng)a≥0時(shí)，你能否通過觀察圖像求出函數(shù)y=ex+2a的值域？你能否求出f′（x）>0和f′（x）<0的解集？

問題5：當(dāng)a<0時(shí)，如何由函數(shù)y=ex的圖像變換得到函數(shù)y=ex+2a的圖像？

問題6：觀察下列圖像，你能否求出函數(shù)y=ex+2a的零點(diǎn)并比較與1的大小，求出f′（x）>0和f′（x）<0的解集？

在本教學(xué)案例中，筆者讓學(xué)生挑戰(zhàn)解題思維比較高的2016年高考題.雖然如何引導(dǎo)學(xué)生探究該題的運(yùn)算思路是一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，但是筆者關(guān)注了解題思維的獲得過程，先設(shè)計(jì)了輔助題讓學(xué)生類比，再設(shè)計(jì)問題串，引導(dǎo)學(xué)生探究.這樣的解題課教學(xué)讓學(xué)生充分體驗(yàn)了數(shù)形結(jié)合的解題過程，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維也會(huì)在經(jīng)歷探究運(yùn)算思路的過程中不斷得以發(fā)展，教學(xué)難點(diǎn)也就自然得以突破.

關(guān)注主動(dòng)優(yōu)化生成，靈活選擇運(yùn)算方法

完成運(yùn)算、得出結(jié)果的方法、程序或途徑，通常叫做運(yùn)算方法或計(jì)算方法. 選擇運(yùn)算方法進(jìn)行運(yùn)算的過程是反映、揭示規(guī)律的過程，也是演繹推理的過程.而運(yùn)算過程的繁簡(jiǎn)取決于運(yùn)算方法的優(yōu)劣，因此靈活選擇運(yùn)算方法至關(guān)重要. 數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)不僅體現(xiàn)在要有很強(qiáng)大的計(jì)算能力，更是體現(xiàn)在能夠靈活選擇恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)算方法以期實(shí)現(xiàn)解題的高效性與最優(yōu)化.

雖然大多數(shù)教師都認(rèn)可“授之以魚，不如授之以漁”的教學(xué)觀點(diǎn)，但是由于教師關(guān)注學(xué)生被動(dòng)接受的多，所以在解題教學(xué)中依然存在滿堂灌的現(xiàn)象. 所培養(yǎng)出來的大多數(shù)學(xué)生思維僵化，能夠靈活選擇運(yùn)算方法進(jìn)行運(yùn)算的學(xué)生不在多數(shù). 因此，筆者呼吁教師在課堂教學(xué)中多給學(xué)生留點(diǎn)時(shí)間和空間，多關(guān)注學(xué)生的主動(dòng)優(yōu)化生成.在必要的時(shí)候還可以點(diǎn)燃一把火，讓枯燥的數(shù)學(xué)課堂燃燒出激情的火花.

案例4：筆者在上《利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問題》解題課時(shí)，讓學(xué)生解答以下試題：

已知函數(shù)f（x）=ex-ax+a（其中a為參數(shù)），若函數(shù)f（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

不久，學(xué)生便探究出解決該題的方法.

解法1：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得f′（x）=ex-a，然后結(jié)合f（x）的單調(diào)性分析函數(shù)的零點(diǎn)問題.當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在R單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)f（x）沒有兩個(gè)零點(diǎn);當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f（x）在（lna，+∞）上單調(diào)遞增，在（-∞，lna）上單調(diào)遞減. 此時(shí)，要使得函數(shù)f（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則必須f（x）min=f（lna）=2a-alna<0，解得a>e2.

筆者肯定了學(xué)生的解答之后，繼續(xù)讓學(xué)生探究其他的解題方法，特別是避開分類討論思想的方法.

解法2：令函數(shù)f（x）為零并分離參數(shù)得a=■. 設(shè)函數(shù)g（x）=■，對(duì)函數(shù)g（x）進(jìn)行求導(dǎo)得g′（x）=■，很容易求出函數(shù)g（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增，在（-∞，2）上單調(diào)遞減，則g（x）min=g（2）=e2.要使得函數(shù)f（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則必須直線y=a與函數(shù)y=g（x）有兩個(gè)交點(diǎn)，求得a>e2.

顯然采用分離參數(shù)的解法2避開了分類討論，選擇此解法也簡(jiǎn)化了運(yùn)算過程，但很可惜的是學(xué)生的推理過程不夠嚴(yán)密，經(jīng)過教師的引導(dǎo)學(xué)生才發(fā)現(xiàn)了問題.盡管當(dāng)x=1時(shí)不滿足題意，但是依然要求嚴(yán)密的推理過程.原本教師打算收?qǐng)?，只是?xí)慣性地問一句：還有沒有其他解法？意外的事情果然發(fā)生了，數(shù)學(xué)科代表站了起來并向大家介紹了以下解法.

解法3：令函數(shù)f（x）為零并移項(xiàng)整理得ex=a（x-1）. 設(shè)函數(shù)g（x）=ex，函數(shù)g（x）與直線y=a（x-1）的切點(diǎn)為P（x■，ex0）. 由于g′（x）=ex，則ex0=■，解得x0=2. 所以要使得函數(shù)f（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則必須a>g′（x0），即a>e2.

雖然這節(jié)課以筆者要求學(xué)生采用不同方法運(yùn)算下列變式題而結(jié)束（變式題：已知函數(shù)f（x）=ex-ax+a（其中a為參數(shù)），若f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍），但是本教學(xué)案例讓人感觸許多，印證了：“三人行必有我?guī)煛?，也讓人更加?jiān)信：關(guān)注主動(dòng)優(yōu)化生成是至關(guān)重要的.

總之，雖然高中學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力好與差受諸多因素的影響，但是可以通過落實(shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)來改變學(xué)生運(yùn)算能力差的現(xiàn)狀. 雖然落實(shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的解題教學(xué)有諸多教學(xué)方法，但是正如同我國教育家葉圣陶所說：“嘗謂教師教各種學(xué)科，其最終目的在達(dá)到不復(fù)需教，而學(xué)生能自為研索，自求解決.”只有教師不斷反思和總結(jié)教學(xué)得失，努力改進(jìn)和創(chuàng)新教學(xué)方法，激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的熱情，才能實(shí)現(xiàn)學(xué)生自為培養(yǎng)、自求提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的目標(biāo).