大型雙反射面天線指向誤差評估算法*

魏善祥，王啟明，孔德慶，趙保慶，朱 明，王清梅

(1.中國科學(xué)院國家天文臺，北京 100101；2.中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049；3.中國科學(xué)院 FAST重點實驗室，北京 100101；4.中國科學(xué)院月球與深空探測重點實驗室，北京 100101)

指向精度是反射面天線最重要的性能指標(biāo)之一，為保證天線的接收效率，要求指向誤差小于波束寬度的1/10，指向精度與天線口徑及頻率成反比，大口徑高頻率天線對指向精度的最高要求達到角秒級[1-2]。目前世界上最大的全可動天線是美國100 m綠岸射電望遠鏡，頻率范圍從300 MHz到115 GHz，高頻(100 GHz以上)觀測時，要求跟蹤誤差小于1.5″[3]。我國在建的天津武清70 m天線Ku頻段的指向精度要求為13″，后續(xù)擴展為Ka頻段的指向精度要求為3.5″。計劃建設(shè)的新疆奇臺超大型全可動天線，口徑達到110 m，頻率達到115 GHz，預(yù)期最高指向精度優(yōu)于2.5″[4]。天線結(jié)構(gòu)變形是影響指向精度的主要因素，天線最佳吻合面與副反射面橫向偏移或轉(zhuǎn)動、饋源橫向偏移等均影響天線的指向精度[5-7]。天線初始指向不能滿足精度要求，需準(zhǔn)確評估天線的指向誤差并通過軟件進行校準(zhǔn)[8]，準(zhǔn)確評估天線的指向誤差非常重要。

使用基于高頻方法和數(shù)值方法的電磁仿真算法能準(zhǔn)確快速地評估電小尺寸天線的電性能，但分析電大尺寸天線時耗時較長，僅局限于天線的設(shè)計階段。文[9]提出基于波束偏移因子(Beam Deviation Factor, BDF)評估天線指向誤差的算法，該算法具有評估實時性，在國內(nèi)外廣泛使用。文[10]提出基于奇異值分解法確定饋源偏移量的算法，用于補償反射面變形對電性能的影響。兩種算法具有相似性，都是針對前饋式天線進行討論。針對雙反射面天線的指向誤差評估，目前普遍采用的算法是將天線的耦合變形分解為天線主面變形、副面橫向偏移或轉(zhuǎn)動以及饋源橫向偏移等單一變形，然后將各變形工況下的指向誤差疊加，未考慮變形耦合特性對指向評估精度的影響[11]。文[12]應(yīng)用虛焦點等效變換方法，將天線副面及饋源的橫向偏移或轉(zhuǎn)動等效為主焦點的橫向偏移，考慮了天線的變形耦合特性，但未給出具體分析和驗證。文[13]針對天線的副面校準(zhǔn)，提出對復(fù)雜幾何/物理光學(xué)分析的簡化算法。文[14]提出應(yīng)用焦散線分析波束偏移因子的算法。受此啟發(fā)，本文針對大型天線變形具有耦合性的特點，提出基于幾何光學(xué)(Geometric Optics, GO)的指向誤差評估算法。首先建立天線的最佳吻合面、偏移副面以及饋源的數(shù)學(xué)模型并求解反射面輻射區(qū)間，然后確定指向誤差權(quán)重因子和指向誤差評估模型，最后進行算例分析和驗證。

1 反射面天線數(shù)學(xué)模型及反射面輻射區(qū)間

卡塞格林天線的幾何圖形如圖1，天線主面口徑、主焦長、副面口徑、饋源輻射半角等4個參數(shù)分別用符號D，f，Ds，φs表示。以拋物面頂點為原點建立基坐標(biāo)系，拋物面開口方向為z軸正向，y軸向右。

圖1 卡塞格林天線幾何平面圖

1.1 卡塞格林天線數(shù)學(xué)模型

天線變形前，拋物面方程Fp為

(1)

雙曲面方程Fs為

(2)

(φ-φs)]；φ=2arctan(0.25D/f)，饋源坐標(biāo)(xk,yk,zk)為(0, 0,f-fs)。

天線發(fā)生微小變形后，忽略三角函數(shù)誤差，最佳吻合拋物面方程Fp為

(3)

其中，Δx，Δy，Δz分別為最佳吻合拋物面頂點相對設(shè)計拋物面頂點在x，y，z軸方向的位移偏差；φx，φy分別為兩拋物面繞x，y軸的角位移偏差；Δf為焦距偏差。偏移雙曲面方程Fs為：

(4)

其中，Δx1，Δy1分別為變形雙曲面焦點相對設(shè)計雙曲面焦點在x，y軸方向的位移；φx1，φy1分別為繞x，y軸的角位移。饋源偏移坐標(biāo)(xk,yk,zk)變?yōu)?xk+ Δxk,yk+ Δyk,f-fs)，其中，Δxk，Δyk為饋源分別在x，y軸方向的橫向偏移量。

1.2 反射面輻射區(qū)間

天線在口徑面上的指向誤差可分解為沿俯仰方向的指向誤差和垂直于俯仰方向的指向誤差。為便于描述，將天線投影到俯仰平面(yoz面)上，以下均只考慮天線在俯仰方向的指向誤差，垂直俯仰方向的指向誤差分析算法與之相似。如圖2，天線結(jié)構(gòu)變形后，主反射面的邊緣區(qū)域[ypb,ypl]接收不到由副面反射的散射光線，同時，由副面的邊緣區(qū)域[ysr,ysf]反射的散射光線也不能被主反射面反射到空間。

圖2 反射面輻射區(qū)間

對主面輻射區(qū)間，根據(jù)反射定理和副面左端點(ysb,zsb)建立方程組：

(5)

其中，ypl，zpl，knsb，k1，k2未知，其余參數(shù)均已知。knsb為副面在左端點(ysb,zsb)的法線斜率；k1為饋源(yk+ Δyk,f-fs)到副面邊界點(ysb,zsb)的散射光線斜率；k2為副面邊界點(ysb,zsb)到主面輻射點(ypl,zpl)的散射光線斜率。用牛頓法求解(5)式可確定ypl值，當(dāng)ypl>ypb時，主面輻射左邊界為ypl，反之則為ypb；同理可根據(jù)副面右端點(ysf,zsf)確定主面輻射右邊界。

對副面輻射區(qū)間，根據(jù)反射定理和主面右端點(ypf,zpf)建立非線性方程組：

(6)

其中，ysr，zsr，kns，k1，k2未知，其余參數(shù)均已知。kns為副面在反射點(ysr,zsr)的法線斜率；k1為饋源(yk+ Δyk,f-fs)到副面反射點(ysr,zsr)的散射光線斜率；k2為副面反射點(ysr,zsr)到主面右端點(ypr,zpr)的散射光線斜率。求解(6)式可確定ysr值，當(dāng)ysr

此外，正焦型反射面天線由于副面的遮擋，反射面的反射區(qū)間不連續(xù)。如圖2，主反射面的遮擋區(qū)間為[yp1,yp2]，副反射面的遮擋區(qū)間為[ys1,ys2]。根據(jù)反射定理和副面左端點(ysb,zsb)建立非線性方程組：

(7)

其中，ys1，zs1，yp1，zp1，kns1，knp1，k1，k2，1/k3未知，其余參數(shù)均已知。kns1為副面在反射點(ys1,zs1)的法線斜率；knp1為主面在反射點(yp1,zp1)的法線斜率；k1為饋源(yk+ Δyk,f-fs)到副面反射點(ys1,zs1)的散射光線斜率；k2為副面反射點(ys1,zs1)到主面反射點(yp1,zp1)的散射光線斜率；k3為剛好過主面反射點(yp1,zp1)與副面左端點(ysb,zsb)的散射光線斜率。

求解(7)式可確定yp1和ys1值，yp1即為主面輻射遮擋區(qū)間的左邊界，ys1即為副面輻射遮擋區(qū)間的左邊界；同理，也可根據(jù)副面右端點(ysf,zsf)確定主、副反射面輻射遮擋區(qū)間的右邊界。

綜上所述，卡塞格林天線輻射區(qū)間為

(8)

2 指向誤差權(quán)重因子及指向誤差評估模型

天線變形會導(dǎo)致反射面散焦，拋物面上不同散射光線互不平行。根據(jù)錐銷電平Te，對符合高斯分布的波束照明函數(shù)F(r)進行調(diào)整，取函數(shù)曲線的部分離散點作為指向誤差權(quán)重因子di作用到從主面到空間的散射光線對應(yīng)的指向誤差δyi上，多條散射光線對應(yīng)指向誤差的加權(quán)組合即為天線在yoz面的耦合指向誤差δy。

2.1 指向誤差權(quán)重因子

符合高斯分布的波束照明函數(shù)F(r)為

F(r)=exp{-αr2}，

(9)

其中，α=(Te/20)ln10[15]。考慮波束半徑r=1時照明函數(shù)值F(1)剛好等于錐銷系數(shù)(τe=10Te/20)，使得天線輻射邊界與波束錐銷電平Te對應(yīng)，故需對天線主面輻射半?yún)^(qū)間(假定ypl>ypb且ypr>ypf)進行歸一化處理。通過構(gòu)建指向調(diào)整系數(shù)β對照明函數(shù)F(r)進行調(diào)整，所得新函數(shù)曲線上的離散點ri對應(yīng)函數(shù)值即為天線主面輻射區(qū)間上第i條散射光線對應(yīng)的指向誤差權(quán)重因子di為

(10)

其中，α=(Te/20)ln(10)；ri=yi/[ypf-(ypf-ypl)/2]；β=-(10Te/20-0.001)/(1-0.001)。

2.2 指向誤差評估模型

由主面輻射區(qū)間上的坐標(biāo)點(ypi,zpi)，可唯一確定從饋源發(fā)射并經(jīng)過主、副反射面反射到空間的一條散射光線i，根據(jù)反射定理建立方程組：

(11)

其中，ysi，zsi，knsi，knpi，k1i，k2i，1/k3i未知，其余參數(shù)均已知。(ysi,zsi)為散射光線i在副面上的反射點；knsi為副面在(ysi,zsi)點的法線斜率；knpi為主面在(ypi,zpi)點的法線斜率；k1i為饋源(yk+ Δyk,f-fs)到副面(ysi,zsi)點的散射光線斜率；k2i為副面(ysi,zsi)點到主面(ypi,zpi)點的散射光線斜率；k3i為主面(ypi,zpi)點到空間的散射光線斜率。由(11)式可得散射光線i在空間的斜率k3i，理想反射面天線輻射到空間的波束指向平行于z軸，斜率k趨于無窮，由三角公式推導(dǎo)散射光線i的指向誤差δyi為

(12)

在天線主面輻射區(qū)間上取n個均勻分布的點，將各點對應(yīng)指向誤差權(quán)重因子di作用到對應(yīng)指向誤差δyi上，可推導(dǎo)出天線在yoz面上的指向誤差評估模型：

(13)

3 算例分析及驗證

天津武清正在建設(shè)一座大型卡塞格林天線，基本參數(shù)為主面口徑D=70 m、主焦f=21 m、副面口徑Ds=6.6 m、饋源輻射半角φs=10.8°，擬定標(biāo)校頻段的波長λ=0.075 m、錐銷電平Te=-12 dB。為驗證幾何光學(xué)算法的正確性，根據(jù)上述模型用波束偏移因子算法和電磁仿真算法分別對70 m天線在yoz面任意虛擬變形工況下的指向誤差進行評估，結(jié)果基本吻合。因篇幅受限，本例僅對其中6組虛擬變形工況進行闡述，各參數(shù)如表1。在yoz面，僅主面橫向偏移Δy、轉(zhuǎn)動φx、副面橫向偏移Δy1、轉(zhuǎn)動φx1以及饋源橫向偏移Δyk等5個參量對天線俯仰指向精度有較大影響?？紤]饋源橫向偏移量Δyk很小，實際運行中很少對其進行補償，故6組變形工況對應(yīng)參數(shù)中除Δy，φx，Δy1，φx1等4個參數(shù)取值不為0外，其余參數(shù)均為0。為便于研究天線不同程度變形對指向精度的影響，使6組變形工況對應(yīng)4項變形參數(shù)Δy，φx，Δy1，φx1均呈等差增長。

表1 武清70 m天線虛擬變形工況

3.1 幾何光學(xué)算法評估指向誤差

3.2 波束偏移因子算法評估指向誤差

波束偏移因子與天線的焦徑比f/D以及錐銷電平Te有關(guān)，其表達式為[15]

[-1+16(f/D)2(-1+τ)]{-ln(f/D)2+ln[1/16+(f/D)2]}]，

(14)

其中，τ=10Te/20。波束偏移因子算法未考慮天線的變形耦合特性對指向評估精度的影響，將天線耦合變形分解為最佳吻合拋物面的橫向偏移Δy與旋轉(zhuǎn)φx、副反射面的橫向偏移Δy1以及繞焦點的旋轉(zhuǎn)φx1、饋源的橫向偏移Δyk等5種變形，各變形的分項指向誤差為

δpy=-BDFp(Δy/f), translation primary Δy

δpφ=(1+BDFp)φx, rotation primaryφx

δsy=(BDFp-BDFs/M)(Δy1/f), translation secondary Δy1

δsφ=-(BDFs/M)(2c/f)φx1, rotation secondaryφx1

δky=(BDFs/M)(Δyk/f), translation feed Δyk，

(15)

所有分項指向誤差疊加，即得到最終指向誤差：

δy=δpy+δpφ+δsy+δsφ+δky.

(16)

根據(jù)表1中的參數(shù)，應(yīng)用波束偏移因子算法求得70 m天線虛擬變形工況下的指向誤差δy，如表2。

表2 幾何光學(xué)算法、波束偏移因子算法以及電磁仿真算法評估的指向誤差

3.3 電磁仿真算法評估指向誤差

應(yīng)用電磁仿真分析70 m天線虛擬變形工況下的指向誤差δy如表2。其中，第3組耦合變形下的指向誤差δy=32.689 089″，方向圖如圖3(a)。以該組變形工況為例，分析天線變形耦合特性對指向評估精度的影響。

首先將70 m天線的耦合變形分解為主面橫向偏移Δy=0.2λ，主面繞頂點旋轉(zhuǎn)φx=0.1°，副面橫向偏移Δy1=-0.3λ，副面繞焦點旋轉(zhuǎn)φx1=1°等4項獨立變形。然后應(yīng)用電磁仿真算法分別評估4項獨立變形下的指向誤差δpy，δ，δsy，δsφ，評估結(jié)果依次為-107.379 579″，622.532 736″，-136.180 540″，-346.139 539″，方向圖如圖3(b)。最后計算70 m天線因忽略耦合變形所導(dǎo)致的指向誤差偏差：

圖3 70m天線的第3組虛擬變形工況對應(yīng)方向圖。(a)耦合變形方向圖；(b)獨立變形方向圖

Δδy=δpy+δpφ+δsy+δsφ-δy，

(17)

計算結(jié)果為0.143 988″。

3.4 不同算法評估的指向誤差及精度比較

針對表1中的參數(shù)，應(yīng)用幾何光學(xué)算法、波束偏移因子算法、電磁仿真算法評估70 m天線在6組虛擬變形工況下的指向誤差，3類算法評估的指向誤差對比圖如圖4(a)。電磁仿真算法分析電大尺寸天線耗時長，但評估精度更高，故以電磁仿真算法的評估結(jié)果為基準(zhǔn)，比較幾何光學(xué)算法與波束偏移因子算法的指向評估精度，如圖4(b)。

圖4 不同算法評估的指向誤差及精度比較。(a)3類算法評估的指向誤差；(b)幾何光學(xué)算法和波束偏移因子算法的評估精度

根據(jù)表1提供的參數(shù)，天線變形量沿變形組號的遞增序列依次呈等差增長。由圖4(a)可以得出，隨著變形組號增加，指向誤差呈相應(yīng)增長趨勢，且?guī)缀喂鈱W(xué)算法、波束偏移因子算法以及電磁仿真算法的指向誤差評估結(jié)果一致。由圖4(b)可以得出，隨著變形組號增加，天線變形量增大，波束偏移因子算法評估的指向誤差偏差明顯增大，其最大偏差值接近0.5″，而幾何光學(xué)算法評估的指向誤差偏差則相對穩(wěn)定，始終保持在0.1″附近。

4 結(jié)束語

通過對天線的最佳吻合拋物面、偏移副反射面以及饋源在基坐標(biāo)下進行數(shù)學(xué)建模，計算反射面輻射區(qū)間并確定指向誤差權(quán)重因子，最終建立雙反射面天線的指向誤差評估模型。應(yīng)用該模型、波束偏移因子算法以及電磁仿真算法，對在建的武清70 m天線的多組虛擬變形工況進行指向誤差評估。結(jié)果表明：3種算法評估的指向誤差結(jié)果一致，且本文算法的評估精度較波束偏移因子算法的評估精度更優(yōu)。由此得出以下結(jié)論：

(1)本文提出基于幾何光學(xué)建立大型雙反射面天線指向誤差評估模型的算法正確；

(2)本文算法相對電磁仿真算法更高效，相對波束偏移因子算法更準(zhǔn)確；

(3)隨著天線變形量增大，雙反射面天線的變形耦合特性對指向評估精度的影響更顯著，不容忽視。

本文為分析天線變形耦合特性對指向評估精度的影響提供了理論依據(jù)，也為實現(xiàn)天線動態(tài)指向誤差實時評估提供了新思路。文中提出的大型雙反射面天線指向誤差評估算法，結(jié)合在建的武清70 m天線的多組虛擬變形工況進行了指向誤差評估，評估結(jié)果可信。天線建成后，可針對實際測量的天線變形工況，應(yīng)用本文算法對其進行指向誤差評估，同時應(yīng)用射電掃描法對該算法的評估精度作進一步驗證。