彭羅斯 ：數(shù)學(xué)家得了物理學(xué)獎(jiǎng)

南方周末特約撰稿　盧昌海

廣義相對(duì)論是一個(gè)高度幾何化的理論，因此彭羅斯大量采用了拓?fù)鋷缀蔚氖侄蝸磉M(jìn)行研究。

★天文研究獲得諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)早已屢見不鮮，而彭羅斯憑借幾乎純粹的數(shù)學(xué)研究獲得了物理學(xué)獎(jiǎng)，則是沒有先例的。

2020年10月6日，瑞典皇家科學(xué)院宣布了2020年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)的得主。英國數(shù)學(xué)物理學(xué)家羅杰·彭羅斯由于“發(fā)現(xiàn)黑洞的形成是廣義相對(duì)論的堅(jiān)實(shí)預(yù)言”獲得了一半獎(jiǎng)金；德國天體物理學(xué)家賴因哈德·根策爾和美國天文學(xué)家安德烈婭·蓋茲則由于“在我們星系中心發(fā)現(xiàn)超大質(zhì)量致密天體”分享了另一半獎(jiǎng)金。

這兩項(xiàng)獲獎(jiǎng)研究都是關(guān)于黑洞的，前者是純理論研究，后者是觀測，可謂相得益彰。在本文中，我們將對(duì)前者作一個(gè)簡短介紹。

黑洞概念

作為背景，我們先介紹一下“黑洞”這個(gè)概念。這個(gè)概念的起源常被回溯到英國地質(zhì)學(xué)家約翰·米歇爾。1783年，米歇爾在牛頓萬有引力定律的基礎(chǔ)上得到了一個(gè)如今中學(xué)生也能推導(dǎo)得出的結(jié)果，即一個(gè)密度跟太陽一樣的星球若直徑比太陽大幾百倍，引力就會(huì)強(qiáng)大到連光也無法從它的表面逃逸（從而看上去將是“黑”的）。1796年，法國數(shù)學(xué)家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯也得到了同樣結(jié)果。這些結(jié)果通常被視為黑洞概念的萌芽。

不過，米歇爾和拉普拉斯的黑洞跟我們?nèi)缃袼f的廣義相對(duì)論中的黑洞除在“半徑”這一參數(shù)上恰好相同外，其實(shí)鮮有共同之處。比方說，前者的“黑”只是光無法逃逸到遠(yuǎn)處，但在近處仍可看到，后者則不然；甚至就連所謂“恰好相同”的“半徑”這一參數(shù)，彼此的含義也完全不同，前者是從黑洞中心到表面的距離，后者則不具有這樣的意義，而只是視界（下文將會(huì)介紹這一概念）周長除以2π的簡稱（這在廣義相對(duì)論中跟前者不是一回事）。至于各種微妙得多的其他特性，則更是廣義相對(duì)論中的黑洞（以下將簡稱為“黑洞”）所獨(dú)有的。因此，彭羅斯就曾說過，“黑洞的概念實(shí)際上只能從廣義相對(duì)論的特殊性質(zhì)里得出，而并不出現(xiàn)在牛頓理論中。”

施瓦西解

那么，黑洞的概念是如何“從廣義相對(duì)論的特殊性質(zhì)里得出”的呢？這得回溯到1916年1月。那時(shí)距愛因斯坦提出廣義相對(duì)論雖才不到兩個(gè)月，一位名叫卡爾·施瓦西的德國物理學(xué)家就得到了廣義相對(duì)論的一個(gè)嚴(yán)格解——如今被稱為施瓦西解。

施瓦西解描述的是一種球?qū)ΨQ的時(shí)空，它有兩個(gè)非常引人注目的特點(diǎn)——都表現(xiàn)為“0”出現(xiàn)在分母上，從而使數(shù)學(xué)表達(dá)式失去意義：其中一個(gè)出現(xiàn)在球?qū)ΨQ的中心處，另一個(gè)則出現(xiàn)在一個(gè)球面上，這個(gè)球面的半徑被稱為“施瓦西半徑”。在經(jīng)過很長時(shí)間的研究后，物理學(xué)家們才逐漸理解了這兩個(gè)特點(diǎn)的真正含義：其中前者被稱為“奇點(diǎn)”，具有諸如時(shí)空無限彎曲之類的“病態(tài)”性質(zhì)，并且會(huì)讓物理定律失效；后者則被稱為“事件視界”，簡稱“視界”，它雖然一度也被視為奇點(diǎn)，實(shí)際上卻只是施瓦西所用的特定坐標(biāo)的缺陷。

奇點(diǎn)和視界是黑洞的兩個(gè)主要特征，因此施瓦西解的問世在一定意義上可視為廣義相對(duì)論對(duì)黑洞的最早預(yù)言。但這種預(yù)言只說明了廣義相對(duì)論原則上可以描述黑洞的主要特征，可以允許奇點(diǎn)和視界那樣的東西，卻并不能告訴我們實(shí)際上是否會(huì)有任何物理過程真正產(chǎn)生出那樣的東西。如果沒有，則所謂“原則上可以”依然不過是鏡花水月。

那么，實(shí)際上到底有沒有什么物理過程能產(chǎn)生黑洞呢？1939年，美國物理學(xué)家羅伯特·奧本海默及其學(xué)生哈特蘭·辛德的一項(xiàng)研究向著回答這一問題邁出了重要一步。

奧本海默和辛德研究了恒星在耗盡核燃料（從而不再有輻射壓來抗衡引力）之后的坍塌過程，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，對(duì)遠(yuǎn)方的觀測者來說，當(dāng)恒星坍塌到接近視界時(shí)，從恒星表面發(fā)出的光的波長會(huì)變得越來越長，坍塌過程會(huì)顯得越來越慢，直至“凍結(jié)”。由于這個(gè)奇異的效應(yīng)，黑洞有一個(gè)早期的名字叫作“凍結(jié)星”。但這個(gè)效應(yīng)并不說明黑洞無法形成，而只是如同一盒放了一半就慢慢停下的錄像帶，使人無法看到結(jié)局，卻并不意味著結(jié)局沒有發(fā)生。更何況，奧本海默和辛德同時(shí)還發(fā)現(xiàn)，對(duì)跟隨恒星一同坍塌的觀測者來說，坍塌會(huì)毫不停滯地穿越視界，并且在有限時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生奇點(diǎn)，從而顯示出黑洞是可以形成的。

有了這些研究，是不是可以認(rèn)為黑洞的形成已經(jīng)是廣義相對(duì)論的預(yù)言了呢？　還不能。因?yàn)闊o論施瓦西解還是奧本海默和辛德的研究，都依賴于一個(gè)在現(xiàn)實(shí)世界里無法嚴(yán)格實(shí)現(xiàn)的對(duì)稱性——球?qū)ΨQ性。

更糟糕的是，由于廣義相對(duì)論是一個(gè)非常復(fù)雜的理論，對(duì)稱性對(duì)當(dāng)時(shí)幾乎所有的同類研究都是必不可少的。比如新西蘭數(shù)學(xué)家羅伊·克爾于1963年得到了廣義相對(duì)論的一個(gè)描述旋轉(zhuǎn)黑洞的解——被稱為克爾解，這個(gè)解比施瓦西解普遍得多，卻也依賴于一種對(duì)稱性——軸對(duì)稱性。雖然恒星大都接近軸對(duì)稱甚至球?qū)ΨQ，卻絕不可能是嚴(yán)格軸對(duì)稱或球?qū)ΨQ的。類似地，廣義相對(duì)論的很多宇宙學(xué)解也依賴于對(duì)稱性——比如均勻及各向同性。這些對(duì)稱性在現(xiàn)實(shí)世界里都是無法嚴(yán)格實(shí)現(xiàn)的。

蘇聯(lián)學(xué)派

通常來說，物理學(xué)家們是不會(huì)在對(duì)稱性無法嚴(yán)格實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)上吹毛求疵的，因?yàn)閷?duì)稱性是他們研究現(xiàn)實(shí)世界最有力的工具，說是朋友亦不為過。但黑洞的形成是一個(gè)例外，因?yàn)槿缜八?，黑洞的主要特征之一乃是奇點(diǎn)，而奇點(diǎn)會(huì)讓物理定律失效。由于物理定律是物理學(xué)家們的“吃飯家什”，面對(duì)物理定律失效那樣的嚴(yán)重后果，就連對(duì)稱性這位朋友也變得可以舍棄了。

因此，很多物理學(xué)家將問題歸因于對(duì)稱性，認(rèn)為奇點(diǎn)是不存在的，所有貌似能產(chǎn)生奇點(diǎn)和黑洞的過程都是因?yàn)橐M(jìn)了對(duì)稱性，只要舍棄對(duì)稱性，奇點(diǎn)和黑洞就能被“消滅”——即不會(huì)形成。持這種觀點(diǎn)的代表人物是蘇聯(lián)物理學(xué)家E. M.栗弗席茲和I. M.卡拉特尼科夫等人——姑且稱之為“蘇聯(lián)學(xué)派”。

20世紀(jì)60年代初，“蘇聯(lián)學(xué)派”在舍棄對(duì)稱性的情形下對(duì)廣義相對(duì)論進(jìn)行了深入研究，試圖證明奇點(diǎn)不會(huì)形成。他們甚至一度以為自己完成了證明，將之寫入了列夫·朗道與栗弗席茲合撰的名著《理論物理教程》中。而自施瓦西解問世以來，出于其他種種考慮，對(duì)奇點(diǎn)和黑洞的存在持懷疑態(tài)度的物理學(xué)家則為數(shù)更多，其中包括了愛因斯坦本人。

學(xué)數(shù)學(xué)的彭羅斯

正是在這種背景下，彭羅斯——據(jù)他自己回憶——于1964年秋天（時(shí)年33歲）實(shí)質(zhì)性地介入了黑洞研究。

美國物理學(xué)家基普·索恩曾經(jīng)講述過一些彭羅斯年輕時(shí)的趣事，我們分享一則作為對(duì)其人的介紹。彭羅斯父母的職業(yè)領(lǐng)域都跟醫(yī)學(xué)有關(guān)（父親是人類遺傳學(xué)教授，母親是醫(yī)生），也因此，他們希望自己的四個(gè)孩子中起碼有一人能以醫(yī)學(xué)為職業(yè)。但是等到彭羅斯選擇專業(yè)時(shí)，他的兩個(gè)兄弟一個(gè)已選了物理（后來成為了知名的統(tǒng)計(jì)物理學(xué)家），一個(gè)已選了國際象棋（后來獲得過十次英國冠軍），他妹妹還太小，他自己想選的則是數(shù)學(xué)。眼看著“起碼有一人能以醫(yī)學(xué)為職業(yè)”的希望就要落空，彭羅斯父母對(duì)他的專業(yè)選擇進(jìn)行了干預(yù)。在彭羅斯父親的要求下，他所報(bào)考的大學(xué)對(duì)他進(jìn)行了一次特殊的數(shù)學(xué)能力測試。測試總計(jì)有12道題，普通學(xué)生能做出一兩道就算不錯(cuò)，而彭羅斯12道全做對(duì)了。這樣他就從父母那里贏得了學(xué)數(shù)學(xué)的“許可證”。（順便說一下，彭羅斯那位當(dāng)時(shí)還太小的妹妹后來終于當(dāng)了醫(yī)生，圓了父母的希望。）

作為數(shù)學(xué)系學(xué)生的彭羅斯于1957年以一項(xiàng)幾何領(lǐng)域的研究獲得了數(shù)學(xué)博士學(xué)位。但早在拿到學(xué)位之前，他就因?yàn)槁犃擞祗w物理學(xué)家弗雷德·霍伊爾的廣播講座，以及與英國物理學(xué)家丹尼斯·夏馬相識(shí)，而對(duì)天文和物理也產(chǎn)生了興趣?；粢翣柺钱?dāng)時(shí)流行的宇宙模型之一“穩(wěn)恒態(tài)模型”的主要支持者，夏馬對(duì)之亦有所涉獵。受他們影響，彭羅斯對(duì)穩(wěn)恒態(tài)模型也進(jìn)行了研究。此外，跟夏馬的相識(shí)還為他后來跟斯蒂芬·霍金的合作埋下了伏筆——因?yàn)榛艚鸬牟┦可鷮?dǎo)師正是夏馬。

穩(wěn)恒態(tài)模型是一個(gè)很快就失敗了的宇宙模型，于20世紀(jì)60年代被多數(shù)天文學(xué)家所放棄。在那之前，它雖然流行，卻也已面臨一些問題。由于穩(wěn)恒態(tài)模型也依賴于對(duì)稱性，因此跟奇點(diǎn)的情形相類似，穩(wěn)恒態(tài)模型的一些支持者也將問題歸因于對(duì)稱性，只不過努力的方向正好相反，是希望通過舍棄對(duì)稱性來“挽救”穩(wěn)恒態(tài)模型。受這種希望影響，彭羅斯也在舍棄對(duì)稱性的情形下對(duì)穩(wěn)恒態(tài)模型進(jìn)行了研究，結(jié)果卻并未發(fā)現(xiàn)實(shí)質(zhì)差別——也就是說穩(wěn)恒態(tài)模型的問題無論有沒有對(duì)稱性都依然存在。這段經(jīng)歷對(duì)彭羅斯后來的黑洞研究有很大的啟示，因?yàn)樗@示了舍棄對(duì)稱性未必能起到人們所希望的作用。既然如此，那么會(huì)不會(huì)無論對(duì)稱性存在與否，奇點(diǎn)都依然存在呢？這種考慮使彭羅斯后來的黑洞研究與“蘇聯(lián)學(xué)派”截然不同。

介入黑洞

1964年秋天，彭羅斯開始實(shí)質(zhì)性地介入黑洞研究。誘使他介入的是前一年——也即1963年——?jiǎng)倓偘l(fā)現(xiàn)的一種奇異天體，這種很快被稱為“類星體”的天體比星系還“亮”得多，線度卻只有星系的百萬分之一（因而看上去類似于星星——“類星體”之名由此而來），從而必然包含了高度致密的結(jié)構(gòu)。

初步的分析表明，這種“類星體”最有可能的“發(fā)光機(jī)制”是一個(gè)巨型黑洞吞噬包括恒星在內(nèi)的物質(zhì)（物質(zhì)在被吞噬之前會(huì)發(fā)射出強(qiáng)烈的輻射）。這個(gè)對(duì)黑洞存在構(gòu)成某種支持的新發(fā)現(xiàn)，以及上文提到的由研究穩(wěn)恒態(tài)模型得來的啟示，使彭羅斯從一個(gè)與“蘇聯(lián)學(xué)派”相反的目標(biāo)介入了黑洞研究——即試圖在不依賴于對(duì)稱性的情形下探究奇點(diǎn)形成的普遍性（而不是試圖證明奇點(diǎn)不會(huì)形成）。

彭羅斯的研究不僅目標(biāo)與“蘇聯(lián)學(xué)派”相反，手段也截然不同?！疤K聯(lián)學(xué)派”的研究偏于例證，致力的是在舍棄對(duì)稱性的情形下求解廣義相對(duì)論，以便尋找奇點(diǎn)不會(huì)形成的例子；而彭羅斯由于探究的是奇點(diǎn)形成的普遍性，而非具體的例子，故而并不致力于求解廣義相對(duì)論。既然不求解廣義相對(duì)論，那么諸如星球的形狀、大小等等因素也就都不重要了。

由于廣義相對(duì)論是一個(gè)高度幾何化的理論，奇點(diǎn)的形成則是時(shí)空性質(zhì)方面的一個(gè)高度幾何化的問題。熟悉數(shù)學(xué)的人都知道，在幾何問題中，如果形狀、大小等等因素都不重要，那么剩下的就是所謂拓?fù)湫再|(zhì)了。因此彭羅斯的研究大量采用了拓?fù)涫侄巍约悍Q之為“光線拓?fù)鋵W(xué)”，這恰好也是他作為數(shù)學(xué)家——而且是以幾何領(lǐng)域的研究獲得博士學(xué)位的數(shù)學(xué)家——的強(qiáng)項(xiàng)。

靈感降臨

目標(biāo)雖已確定，手段雖屬強(qiáng)項(xiàng)，對(duì)奇點(diǎn)的研究依然很是艱深，需要一定的靈感。彭羅斯后來記敘過他在這一研究中的一個(gè)重要靈感的由來。那是在1964年晚秋，他開始探究奇點(diǎn)問題之后不久的某一天，彭羅斯與數(shù)學(xué)物理學(xué)家艾弗·羅賓遜一邊走在街上，一邊討論著問題（那問題與奇點(diǎn)和黑洞并無關(guān)系）。在穿越一個(gè)路口時(shí)，他們遇到紅燈停了下來——并且也暫停了討論，就在那短短的間歇里，證明奇點(diǎn)定理的一個(gè)重要靈感出現(xiàn)了。那天晚些時(shí)候，彭羅斯在辦公室里細(xì)細(xì)回想自己的思路，終于將那個(gè)靈感清晰地“發(fā)掘”了出來。

借助那個(gè)靈感，經(jīng)過幾個(gè)月的努力，彭羅斯證明了一個(gè)重要的結(jié)果——是如今被稱為“奇點(diǎn)定理”的一大類定理中最早的一個(gè)，以“引力坍塌和時(shí)空奇點(diǎn)”為題發(fā)表于1965年。簡單地說，彭羅斯的奇點(diǎn)定理包含這樣幾個(gè)組成部分——也是之后所有其他奇點(diǎn)定理的基本結(jié)構(gòu)：首先是假定物質(zhì)具有一定的性質(zhì)，其次是對(duì)時(shí)空本身施加一定的要求，最后是假定物質(zhì)分布滿足一定的條件；在這三類前提之下，彭羅斯證明了奇點(diǎn)的形成是普遍而必然的——尤其是，不依賴于對(duì)稱性。

彭羅斯并不是最早采用拓?fù)涫侄窝芯繒r(shí)空結(jié)構(gòu)的人。比他早十幾年，兩位蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家就在這方面展開了研究，且發(fā)展出了一套強(qiáng)大而漂亮的方法?？上У氖牵@兩位數(shù)學(xué)家后來一位職位高升（擔(dān)任了行政領(lǐng)導(dǎo)，將越來越多的時(shí)間花在了行政事務(wù)上），另一位鋃鐺入獄（被打成了“反蘇維埃集團(tuán)”的成員），最終都停止了這一方向的研究，也并未產(chǎn)生影響。彭羅斯的研究則不同，不僅得到了漂亮的結(jié)果，而且很快引起了關(guān)注。

大論戰(zhàn)

就在彭羅斯證明奇點(diǎn)定理的那一年——即1965年，“第三屆國際廣義相對(duì)論與引力大會(huì)”在英國倫敦召開。這屆會(huì)議聚集了全世界最頂尖的廣義相對(duì)論專家，就連“蘇聯(lián)學(xué)派”的栗弗席茲和卡拉特尼科夫也跨越“冷戰(zhàn)”鴻溝來到倫敦，報(bào)告了他們本質(zhì)上是否定性的奇點(diǎn)研究。這次會(huì)議也因此成為了彭羅斯的奇點(diǎn)定理與“蘇聯(lián)學(xué)派”的否定結(jié)果之間的首次“碰撞”。

“碰撞”雖未即刻分出勝負(fù)，但彭羅斯的研究吸引了幾位在幾何和拓?fù)渖嫌猩詈窆Φ椎哪贻p物理學(xué)家的興趣，其中包括夏馬的研究生霍金——他當(dāng)時(shí)也在研究奇點(diǎn)，只不過研究的是宇宙學(xué)奇點(diǎn)而非黑洞奇點(diǎn)；以及與霍金同齡的美國理論物理學(xué)家羅伯特·杰羅奇。之后的幾年間，彭羅斯、霍金、杰羅奇等人在各種不同的前提下，輪番證明了更多的奇點(diǎn)定理，使奇點(diǎn)定理及奇點(diǎn)和黑洞的存在獲得了越來越多的認(rèn)同。

這種認(rèn)同終于撼動(dòng)了“蘇聯(lián)學(xué)派”。1969年9月，美國物理學(xué)家索恩訪問了蘇聯(lián)。趁這個(gè)機(jī)會(huì)，栗弗席茲交給索恩一份手稿，讓他秘密帶到美國去發(fā)表（因?yàn)椤獡?jù)索恩記敘——當(dāng)時(shí)蘇聯(lián)的一切學(xué)術(shù)手稿被自動(dòng)視為秘密文件，非經(jīng)冗長的解密審核不能與國際同行交流）。在那份手稿里，“蘇聯(lián)學(xué)派”承認(rèn)了他們對(duì)奇點(diǎn)的否定是錯(cuò)誤的，并表示會(huì)對(duì)《理論物理教程》作出修訂。

與霍金合作

“蘇聯(lián)學(xué)派”的認(rèn)錯(cuò)掃清了對(duì)奇點(diǎn)和黑洞存在的主要懷疑。但彭羅斯的奇點(diǎn)定理本身卻仍有一些不足之處。

這不足之處體現(xiàn)在前提上。如前所述，奇點(diǎn)定理的前提共分三類，這其中物質(zhì)具有的性質(zhì)本質(zhì)上只是能量密度不能為負(fù)，這在廣義相對(duì)論所屬的經(jīng)典物理里是沒有爭議的；物質(zhì)分布滿足的條件在諸如大質(zhì)量恒星的坍塌過程中是可以實(shí)現(xiàn)的，因而也沒什么問題；但對(duì)時(shí)空本身施加的要求則顯得太強(qiáng)。事實(shí)上，這個(gè)要求——具體地說，是要求時(shí)空中存在一個(gè)所謂的柯西超曲面——是如此之強(qiáng)，不僅極不可能被觀測所證實(shí)，理論上也大有爭議，甚至彭羅斯本人在與奇點(diǎn)定理幾乎同時(shí)發(fā)表的另一篇論文中就包含了一個(gè)反例。

這個(gè)不足之處彭羅斯自己，以及步他后塵研究奇點(diǎn)定理的霍金和杰羅奇也都知道。比如霍金在自傳中就曾表示，彭羅斯以及他自己的早期奇點(diǎn)定理所證明的有可能只是柯西超曲面的不存在，而非奇點(diǎn)和黑洞的存在；彭羅斯本人也在后續(xù)研究中承認(rèn)，在廣義相對(duì)論中假定柯西超曲面的存在是缺乏理由的。奇點(diǎn)定理之所以會(huì)成為一大類定理，很大程度上正是為了消除前提上的不足之處。在1965年之后的那些奇點(diǎn)定理中，彭羅斯、霍金、杰羅奇等人嘗試變通的主要就是定理的前提。

最終，彭羅斯與霍金合作，于1970年發(fā)表了一篇題為“引力坍塌及宇宙學(xué)中的奇點(diǎn)”的論文，提出了如今被稱為“霍金-彭羅斯奇點(diǎn)定理”的新“版本”。這個(gè)“版本”用更有經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)、從而物理上更現(xiàn)實(shí)的前提表述了奇點(diǎn)定理，且同時(shí)涵蓋了黑洞奇點(diǎn)和宇宙學(xué)奇點(diǎn)。

學(xué)過邏輯的人都知道，一個(gè)邏輯推理要想確保結(jié)論正確，不僅推理必須嚴(yán)密，前提也必須成立。完全類似的，一個(gè)描述物理世界的定理的堅(jiān)實(shí)性不僅取決于推理的嚴(yán)密性，也有賴于前提的現(xiàn)實(shí)性，兩者缺一不可。從這個(gè)意義上講，“霍金-彭羅斯奇點(diǎn)定理”由于前提更現(xiàn)實(shí)，結(jié)論也就更堅(jiān)實(shí)。在所有奇點(diǎn)定理中，若問哪一個(gè)最稱得上“發(fā)現(xiàn)黑洞的形成是廣義相對(duì)論的堅(jiān)實(shí)預(yù)言”，答案非“霍金-彭羅斯奇點(diǎn)定理”莫屬。

數(shù)學(xué)定理

值得指出的是，彭羅斯的這一黑洞研究跟獲得諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)的其他研究，乃至絕大多數(shù)其他物理研究相比，有一個(gè)非常獨(dú)特的地方，那就是它遠(yuǎn)比那些其他研究更接近于純數(shù)學(xué)的定理——只不過是以廣義相對(duì)論為框架而已。

這是因?yàn)?，彭羅斯的這一黑洞研究只是替廣義相對(duì)論作出了一個(gè)“堅(jiān)實(shí)預(yù)言”——那預(yù)言無論被推翻還是證實(shí)，影響的都是廣義相對(duì)論而不是彭羅斯的研究，后者的正確性只取決于它的數(shù)學(xué)推理的正確性。2020年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)被一些人戲稱為是天文研究獲得了物理學(xué)獎(jiǎng)，但實(shí)際上，彭羅斯的這一半更可以說是數(shù)學(xué)研究獲得了物理學(xué)獎(jiǎng)。天文研究獲得物理學(xué)獎(jiǎng)早已屢見不鮮，數(shù)學(xué)研究獲得物理學(xué)獎(jiǎng)則幾乎是開先河的。