聯(lián)想類比在近世代數(shù)定理證明中的運用

尹正

[摘 要] 聯(lián)想與類比既是一種普遍的科學(xué)思維方式，也是一種有效的教學(xué)手段，它是運用已經(jīng)掌握的知識、方法及解決問題思路等來探索與之類似的問題。該文通過類比Lagrange定理和Sylow第三定理（計數(shù)定理）的證明思路，歸納總結(jié)其相同的思想方法并加以推廣，從而打開學(xué)生的解題思路、激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，提高學(xué)生學(xué)習(xí)近世代數(shù)的興趣.

[關(guān)鍵詞] 近世代數(shù);類比思維;Lagrange定理;Sylow定理

[作者簡介] 尹 正（1964—），男（白族），云南昆明人，碩士，云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院講師，主要從事代數(shù)學(xué)教學(xué)與研究。

[中圖分類號] O153-4;G65? ? [文獻標(biāo)識碼] A? ? [文章編號] 1674-9324（2020）38-0262-02? ? [收稿日期] 2020-02-14

一、前言

近世代數(shù)是把研究對象通過集合、運算等方式，組織抽象為一些代數(shù)系統(tǒng).例如：群、環(huán)、域等，然后再進一步研究每種代數(shù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、分類、性質(zhì)、規(guī)律，用以指導(dǎo)和解決生產(chǎn)和實踐中的諸多問題.因此，學(xué)生在學(xué)習(xí)近世代數(shù)時，感受最深的就是概論多，內(nèi)容抽象，難以理解和掌握其中的精髓.而且近世代數(shù)的課后習(xí)題多以證明方式出現(xiàn)，許多學(xué)生在遇到證明題時，感覺束手無策.解決問題的過程實質(zhì)上就是一個思維的過程，如何教會學(xué)生科學(xué)的思維方式是每一位任課教師不得不面對的話題.

“數(shù)學(xué)的思維方法是一種科學(xué)的思維方式，通過觀察客觀現(xiàn)象，提出要研究的問題，抓住主要特征，抽象出概念，或者建立模型;運用自覺、歸納、類比、聯(lián)想、邏輯推理等進行探索，猜測可能有的規(guī)律”[1]。因此，要加強學(xué)生解題思路訓(xùn)練，提高其解決問題的技巧和能力，就要求專業(yè)教師在教授本課程的知識系統(tǒng)時，需要注重數(shù)學(xué)的思維方式，尤其在講授定理證明時，通過類比、聯(lián)想等環(huán)節(jié)進行探索.即在研究或者解決問題時，通過類比、聯(lián)想與其相似并已經(jīng)掌握的知識、方法，用推理、論證等的相似性，去探究解決問題的方法.

實踐證明，在近世代數(shù)定理證明的教學(xué)中，多采用類比、聯(lián)想思維方式，對證明思路進行剖析，發(fā)現(xiàn)證明思路的共同特點，就可以充分開拓學(xué)生的思路.聯(lián)系已有的知識，將要證明的結(jié)論與已經(jīng)解決了的熟悉的證明方法進行類比，從而創(chuàng)造性地解決問題.

二、通過聯(lián)想、類比進行歸納和總結(jié)，剖析證明思路

定理無疑是有限群的基礎(chǔ)結(jié)論，也是最重要的結(jié)論之一，其證明思路和方法非常值得我們學(xué)習(xí)和借鑒.

（一）Lagrange定理的證明思路

Lagrange定理[2] 設(shè)G是有限群，H是G的子群，則|G|=|H|·（G：H）.

即Lagrange定理的結(jié)論.

從上面的證明思路可以看出其核心思想是：由元素之間的等價關(guān)系得到有限集合的一個分類，又由該分類得到有限集合的一個計數(shù)關(guān)系，再優(yōu)化計數(shù)關(guān)系得到有限群的階與其任意子群的階之間的一個重要關(guān)系.而著名的Sylow第三定理[2]與Lagrange定理有相似之處，我們可以用類比思維的方式，用已經(jīng)熟悉、掌握的Lagrange定理的證明思路來探究.

（二）Sylow第三定理（計數(shù)定理）的證明思路

p|（G：H）-（N（H）：H）.又因為，（G：H）=（G：N（H）·（N（H）：H）=k（N（H）：H），于是有：

素數(shù)p整除k（N（H）：H）-（N（H）：H）=（N（H）：H）（k-1）.又因為H是G的Sylow p-子群，

所以，p+（G：H），于是，p+（N（H）：H），故有：p|k-1，即，k≡1（mod p）.

近世代數(shù)不僅課程的內(nèi)容抽象，性質(zhì)、定理的證明也非常抽象，難以理解.但是，通過類比、聯(lián)想已學(xué)過的相關(guān)相似命題證明的思路，揭示出證明過程的本質(zhì)，不僅有利于學(xué)生接受，也有利于培養(yǎng)學(xué)生從現(xiàn)象到本質(zhì)、從特殊到一般、從具體到抽象的認(rèn)識事物的能力，誘導(dǎo)它們由命題的相似性，去猜想推理論證的相似性，從而發(fā)展其解決問題的能力.

三、將類比結(jié)論進行推廣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力

通過類比上述定理的證明思路，我們聯(lián)想到：如果抽象群G在集合M上有一個群作用

a？紫x∈M，a∈G，x∈M，這里的x是集合M中任意一個元素，記在該群作用下元素x的軌道（即x所在的軌道）為：Mx={a？紫x|a∈G}，那么，我們在集合M上規(guī)定一個二元關(guān)系：

這個等式稱為群的類方程，是有限群研究中重要的結(jié)論之一.

四、結(jié)束語

實踐表明，在近世代數(shù)課堂教學(xué)中，不僅可采用類比、聯(lián)想思維方式來講授概念、性質(zhì)等，對講授定理的證明思路和證明過程也可采用類比、聯(lián)想思維方式，這樣既可以有效地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和分析解決問題的能力，也可以打開學(xué)生的解題思路，激發(fā)出學(xué)生的創(chuàng)新思維，提高學(xué)生學(xué)習(xí)近世代數(shù)的興趣，起到事半功倍的神奇效果.正如康德所說：“每當(dāng)理智缺乏可靠的思路時，類比這個方法往往能指引我們前進?！?/p>

參考文獻

[1]丘維聲.數(shù)學(xué)的思維方式與創(chuàng)新[M].北京：北京大學(xué)出版社，2011.

[2]楊子胥.近世代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2000.

[3]徐明曜.有限群引導(dǎo)（上）[M].北京：科學(xué)出版社，1999，9-10.

[4]丘維聲.抽象代數(shù)基礎(chǔ)[M].北京：高等教育出版社，2008.

The Application of Association and Analogy in Proving Modern Algebra Theorems

YIN Zheng

（Yunnan Normal University，Kunming，Yunnan 650092，China）

Abstract：Association and analogy is a common way of scientific thinking.It is also a kind of effective teaching method.It uses acquired knowledge，methods and problem solving thinking to explore a similar problem.Through the analogy of the proofing ideas of the Lagrange theorem and the Third Sylow theorem （counting theorem） ，this paper summarizes the same thinking methods and promote them.This opens students' problem solving ideas，stimulates students' innovative thinking and improves the students' interest in learning modern algebra.

Key words：modern algebra;thinking by analogy;Lagrange theorem;Sylow theorem