矩陣廣義跡的計(jì)算方法

劉興祥，武真真

(延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西延安716000)

矩陣的跡是一個(gè)古老而又基礎(chǔ)的概念，長(zhǎng)時(shí)間以來(lái)，人們一直把矩陣的跡認(rèn)為是一個(gè)方陣對(duì)角線上的元素之和，然而一般矩陣也有它自身的跡，我們稱之為廣義跡。關(guān)于矩陣廣義跡的運(yùn)算與其它內(nèi)容之間的聯(lián)系有不少學(xué)者在這方面研究頗多，而關(guān)于矩陣廣義跡的計(jì)算方法前人未有研究。本文主要是結(jié)合矩陣的拉伸運(yùn)算、乘法運(yùn)算、Hardmard積以及內(nèi)積多種運(yùn)算來(lái)研究矩陣廣義跡的計(jì)算方法，并通過(guò)例題驗(yàn)證每種方法的可行性。

1 相關(guān)定義

定義2[2]設(shè)A=(aij)m×n，B=(bij)m×n，稱C=(cij)m×n為A與B的Hadamard積，其中cij=aij×bij，記作C=A°B。

2 矩陣廣義跡的計(jì)算方法

矩陣運(yùn)算之間的關(guān)系是矩陣研究中的一個(gè)重要內(nèi)容，而矩陣的跡運(yùn)算在定義推廣之后的研究顯得十分重要，下面運(yùn)用所學(xué)知識(shí)來(lái)探究求矩陣廣義跡的幾種計(jì)算方法。

定理1 (內(nèi)積法)設(shè)A=(aij)m×n，則有

trA=〈csrs(Am×n),

證明采用列順行順拉伸運(yùn)算。如果設(shè)

csrs(A)=(a11,a21,…,am1,a12,a22,…,am2，…,a1n，a2n，…，amn)T。

下面關(guān)于m,n大小分類討論：

當(dāng)m=n時(shí)，則

csrs(A)=(a11,a21,…,am1,a12,a22,…,am2，…,a1n，a2n，…，amn)T；

故得

trA=a11+a22+…+amm=

〈csrs(A),csrs(Em)〉。

當(dāng)m

csrs(Am)=(a11,a21,…,am1,a12,a22,…,am2，…,a1n，a2n，…，amn)T；

則有[Em,Om×(n-m)]=

csrsEm,Om×(n-m)=

所以有

trA=〈csrs(Am×n),csrsEm,Om×(n-m)〉。

當(dāng)m>n時(shí)，則

csrs(An)=(a11,a21,…,am1,a12,a22,…,am2，…,a1n，a2n，…，amn)T；

綜上可得：trA=〈csrs(Am×n),

定理2 (Hadamard積法)設(shè)A=(aij)m×n，則有

trA=

(其中B為1×m階1矩陣[1 1 … 1]，

下面關(guān)于m,n大小分類討論：

又因?yàn)锽(A°Em)C=a11+a22+…+amm，

所以有trA=B(A°Em)C。

則有trA=a11+a22+…+amm，

則有Am×n° [Em,On-m]=

又因?yàn)?/p>

B(Am×n°[Em,On-m])C=a11+a22+…+amm，

所以有trA=B(Am×n°[Em,On-m])C。

則有trA=a11+a22+…+ann，

又因?yàn)?/p>

綜上可得： trA=

當(dāng)i=j時(shí)，

3 舉例

解第一種：(內(nèi)積法)將矩陣A采用列順行順拉伸的形式，即

csrs(A)=(1，0，-1，-，2,1，0，-1,3,2,0,1)T。

由于矩陣A是4×3階的，

(1，0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0)T，

1+0+0+0+0+1+0+0+0+0+0+0=2。

第二種：(Hadamard積法)由于矩陣A是4×3階的，則取與A相應(yīng)同型的矩陣，

故得矩陣A跡為

第三種：(類二次型法)由于A為4×4階的矩陣，對(duì)應(yīng)的有

e44=[0 0 0 1]。

故得