“乘”的想法始于哪兒

□郜舒竹

小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中，“乘”作為一種運(yùn)算，其初步認(rèn)識(shí)通常安排在二年級(jí)，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了“加”的運(yùn)算后。把“乘”視為“相同加數(shù)求和”，也就是“重復(fù)加（Repeated Addition）”的過程，目的是使加的過程簡化。比如對(duì)于“2+2+2”，寫為乘的算式就是“2×3”或“3×2”。在小學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中，普遍認(rèn)識(shí)為：

●乘的初步認(rèn)識(shí)是以加為基礎(chǔ)的；

●乘的本質(zhì)是加；

●乘是加的簡便運(yùn)算。

事實(shí)上，“乘”與“加”這兩種運(yùn)算存在很大差異?！俺恕钡南敕ú⒎窃从凇凹印?，更不僅僅是加的簡便運(yùn)算。“乘”的想法在“數(shù)數(shù)（音：shǔshù）”的過程中就已經(jīng)出現(xiàn)了，而且這樣的想法是先于“加”的。

一、“重復(fù)加”的窘境

美國哈佛大學(xué)數(shù)學(xué)教授吉斯·德芙林（Keith Devlin）于2008年在社交網(wǎng)站發(fā)文，強(qiáng)烈反對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中將“乘”定義為重復(fù)加，呼吁“停止重復(fù)加的說法”[1]。德芙林作為數(shù)學(xué)研究者，當(dāng)然深知“乘”在數(shù)學(xué)中的意義。數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中，這樣的意義是一個(gè)不斷進(jìn)化和演變的過程。

即便是低齡兒童，對(duì)于乘法的初步認(rèn)識(shí)，“乘”與“加”的想法也是存在很大差異的。這里所說的“想法（Idea）”不同于通常所說的“算法”和“算理”，算法強(qiáng)調(diào)的是“操作（Manipulation）”和“程序（Pro?cedure）”，學(xué)習(xí)方式是“模仿+練習(xí)”，追求熟練，進(jìn)而達(dá)到“又對(duì)又快”?！八憷怼笔撬惴ㄕ_可行的理由或依據(jù)，這樣的理由或依據(jù)追求的是邏輯上的正確，而不是學(xué)生認(rèn)知過程中的意義生成。想法強(qiáng)調(diào)“意義生成（Sense Making）”，追求的是“理解（Un?derstanding）”。

“乘”作為運(yùn)算，其意義在小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中，呈現(xiàn)出不斷“進(jìn)化（Evolution）”的動(dòng)態(tài)特征。如果在小學(xué)中、低年級(jí)對(duì)乘運(yùn)算形成的認(rèn)識(shí)是“重復(fù)加”，那么到高年級(jí)學(xué)習(xí)諸如“0.2×0.3”或“小數(shù)和分?jǐn)?shù)的運(yùn)算，就會(huì)出現(xiàn)認(rèn)知困難，這時(shí)的“乘”，已經(jīng)失去了“加”的意義。

數(shù)學(xué)課程與教學(xué)的一個(gè)基本原理是“系統(tǒng)性（Coherence）”，類似于數(shù)學(xué)理論發(fā)展的“繼承性（Permanence）”[2]。在課程或理論體系中，同一內(nèi)容的意義可以在原有基礎(chǔ)上“拓展（Extend）”，但不應(yīng)“自相矛盾（Self Contradiction）”。對(duì)“乘”的認(rèn)識(shí)，起初為“是加法”，而后又成為“非加法”，這樣的是非混淆自然違背了課程與教學(xué)的系統(tǒng)性原理。

因此需要研究并挖掘“乘”這一運(yùn)算相對(duì)穩(wěn)定和一致的意義究竟是什么，這樣的意義應(yīng)當(dāng)能夠貫穿數(shù)學(xué)課程與內(nèi)容的始終。在此基礎(chǔ)上，就可以知道“乘”的認(rèn)知起點(diǎn)究竟在哪兒。為此，先來探討“乘”與“加”，在想法上的差異。

二、“增加”的兩種眼光

人在日?；顒?dòng)中會(huì)無意識(shí)地使用加或乘的運(yùn)算，自然數(shù)范圍內(nèi)二者都有“增加”的意義，比如：

●一瓶礦泉水2元，買3瓶，自然而然地使用乘法運(yùn)算“二三得六”，使2元增加為6元，即“2元×3=6元”。

●如果今天是星期四，無須思索就會(huì)使用加法運(yùn)算，想到再過兩天即后天就是星期六，在星期四基礎(chǔ)上增加2天，成為星期六，即“4＋2＝6”。

也有一些情境，如果看待“增加”的眼光不同，就會(huì)使用不同的運(yùn)算，進(jìn)而得到不同的結(jié)論。比如：假定有A、B兩種植物，A植物2米高，B植物4米高。若干年后，二者都增高4米，A植物高度變?yōu)?米，B植物高度變?yōu)?米。

圖1 植物生長示意圖

如果把“生長”看作一個(gè)過程，這個(gè)過程應(yīng)當(dāng)包括三個(gè)要素：原有高度、增加高度和當(dāng)前高度。三者的關(guān)系是“原有高度+增加高度=當(dāng)前高度”。

從“增加高度”看，兩種植物是相同的，都是在原有基礎(chǔ)上增加了4米，從而使得A植物高度變?yōu)?米，B植物高度變?yōu)?米。用算式表達(dá)為：

A植物：2米+4米=6米

B植物：4米+4米=8米

如果此時(shí)關(guān)注兩種植物生長的快慢，也就是對(duì)“生長速度”進(jìn)行比較，用不同的眼光，就會(huì)出現(xiàn)不同的答案。

用“加”的眼光看，增長后當(dāng)前高度是“原有”和“增加”高度的和。對(duì)于增長速度，如果只考慮“增加”的“米”數(shù)，不考慮原有高度，那么在相同時(shí)間內(nèi)，兩種植物“增加”的“米”數(shù)相同，可以說兩種植物，在這段時(shí)間內(nèi)增長的快慢是一樣的，也就是增長速度是相同的。

另外一種是用“乘”的眼光，對(duì)于增長速度是看“相對(duì)于原有高度，增加的幅度”，將增加高度和當(dāng)前高度的參照標(biāo)準(zhǔn)定位于原有高度，也就是將“單位一”視為“原有高度”，這個(gè)“單位一”對(duì)于A植物來說是2米，對(duì)于B植物來說是4米，二者是不同的。

A植物原有高度是2米，增長了4米，相當(dāng)于原有高度又重復(fù)出現(xiàn)了“2次”，使得增長后的總高度6米包含了“3次”原有高度，或者說增長后的總高度包含了“3個(gè)”原有高度。這里出現(xiàn)的“次”和“個(gè)”，指向的單位不再是“1米”，而是“原有高度”。

所謂“乘”的眼光，首先是如何看待“1”，也就是“單位”。前面所說的“3次”或“3個(gè)”，可以統(tǒng)稱為“3倍”。A植物增加了原有高度的2倍，增長后的高度是原有高度的3倍。B植物同樣增長了4米，用原有高度4米作為單位一衡量，增長后高度8米是原有高度4米的2倍，都是將“原有高度”視為“單位”，兩種植物的“單位”是不相同的。

在相同時(shí)間內(nèi)，A植物高度增長為原來的3倍，即“原有高度×3”，也可以寫為“3原有高度”。B植物高度增長為原來的2倍，即“原有高度×2”，寫為“2原有高度”。因此用乘的眼光看，可以認(rèn)為A植物相對(duì)于原有高度，比B植物相對(duì)于原有高度，增加的幅度更大，因此A植物比B植物增長速度快。

兩種眼光，得到生長速度“既相同又不同”的判斷。從形式邏輯的視角看，如果“相同”為真，那么“不同”為假；如果“不同”為真，那么“相同”為假?！跋嗤迸c“不同”作為相互對(duì)立的兩個(gè)判斷，不可能同真，也即不可能同時(shí)正確。為什么會(huì)出現(xiàn)這樣違背邏輯的悖論？

原因就在于推理的大前提不同，由于看待“單位”的眼光不同，比較的對(duì)象發(fā)生了變化。如果說兩種植物增長的高度相同，都是4米，前提是將“1米”視為單位，比較的對(duì)象是“增加的米數(shù)”，兩種植物增加的米數(shù)都是4米，自然相同。

如果把“原有高度”視為“單位”，比較的對(duì)象是“相對(duì)于原有高度增加的幅度”，兩種植物就不同了。A植物原有高度是2米，增長高度為4米，這時(shí)增加的幅度就成為“2個(gè)原有高度”，即“2個(gè)2米”。B植物原有高度是4米，增長高度也是4米，增加幅度就成為“1個(gè)原有高度”，也就是“1個(gè)4米”。正是因?yàn)榭创龁挝坏难酃庾兞?，也就使得比較對(duì)象改變了，因而就出現(xiàn)了相悖的兩個(gè)結(jié)論。因此可以說，“乘”的想法始于看待“單位”的眼光的改變。

三、“乘”與單位轉(zhuǎn)換

綜上可以歸納出“加”與“乘”意義上的差異?！凹印笔潜３謫挝徊蛔兊倪\(yùn)算，而“乘”是使得單位改變的運(yùn)算。以A植物為例，用“加”的眼光看，其生長過程為：

●原有高度（2米）+增加高度（4米）=當(dāng)前高度（6米）

算式中兩個(gè)加數(shù)以及運(yùn)算結(jié)果對(duì)應(yīng)的單位都是“米”。原有高度和增加高度兩個(gè)加數(shù)可以分別看待，是一種互不影響的并列關(guān)系，也可以看作是相互分離的兩個(gè)局部構(gòu)成一個(gè)整體的關(guān)系，通常用連接詞“和”表達(dá)二者的關(guān)系。

如果用“乘”的眼光看，A植物生長過程可以用算式表示為：

●原有高度（2米）×3=當(dāng)前高度（6米）

這個(gè)算式中的因數(shù)“3”的單位不是“米”，而且是不能獨(dú)立存在的，與另外一個(gè)因數(shù)“原有高度”不是并列的關(guān)系，而是用“個(gè)”表達(dá)的包含關(guān)系，或用“的”表達(dá)的修飾或從屬關(guān)系。比如“3個(gè)2米”，其中的“3個(gè)”是修飾“2米”的，也可以說“2米的3倍”，其中的“2米”從屬于“3倍”。

因此乘法算式中參與運(yùn)算的兩個(gè)因數(shù)，是相互依賴與制約的關(guān)系。如果把“乘”運(yùn)算看作“操作（Operation）”，那么兩個(gè)因數(shù)各自的角色就分別是“被操作者”和“操作者”，也叫作“被動(dòng)者（Oper?ant）”和“動(dòng)者（Operator）”。歷史上，為了區(qū)分乘法運(yùn)算中的兩個(gè)因數(shù)角色的不同，分別稱它們?yōu)椤氨怀藬?shù)（Multiplicand）”和“乘數(shù)（Multiplier）”。

“原有高度（2米）×3=當(dāng)前高度（6米）”中的因數(shù)“3”，對(duì)應(yīng)的“1”是前面的因數(shù)“2米”，脫離開前面的因數(shù)，這個(gè)“3”就沒有意義，相當(dāng)于“用3作用于2米”，因此“2米”是被乘數(shù)，“3”是作用于2米的乘數(shù)。乘的運(yùn)算，就是將原有高度2米這個(gè)單位，改變成為6米。這里的6米，既可以看作“6個(gè)1米”，也可以看作“1個(gè)6米”，但無論如何已經(jīng)失去了“3個(gè)2米”的意義。因此，乘在我國歷史上被認(rèn)為是“以數(shù)生數(shù)”的運(yùn)算[3]，可以理解為將“2個(gè)3米”改變?yōu)椤?個(gè)1米”或“1個(gè)6米”。

歐洲算術(shù)歷史中，像“2米”這樣表達(dá)具體量的數(shù)，也叫作“具體數(shù)（Concrete Number）”，如果把“2米”視為“單位一”，那么“3個(gè)2米”中的“3”就叫作“抽象數(shù)（Abstract Number）”。把具體數(shù)對(duì)應(yīng)的單位叫作“原始單位（Primary Unit）”，抽象數(shù)對(duì)應(yīng)的單位叫作“衍生單位（Derived Unit）”[4]。按照這樣的說法，“乘”運(yùn)算，其實(shí)就是將衍生單位改變?yōu)樵紗挝坏倪^程。

用這樣單位轉(zhuǎn)換的眼光看，任何一個(gè)具體數(shù)，也就是以原始單位為單位的數(shù)，都可以用多種眼光看待。比如12個(gè)蘋果，如果以“蘋果”為單位是12，表示其中蘊(yùn)含著12次“1個(gè)蘋果”；如果以“12個(gè)蘋果”為衍生單位，就是1，表示含有1次“12個(gè)蘋果”。如果以“2個(gè)蘋果”為衍生單位，12個(gè)蘋果就是6，表示含有6次“2個(gè)蘋果”。這樣的關(guān)系都可以用乘法算式表達(dá)：

●1蘋果×12=12蘋果

●12蘋果×1=12蘋果

●2蘋果×6=12蘋果

單位轉(zhuǎn)換的想法，在認(rèn)知科學(xué)中叫作“意象圖式轉(zhuǎn)換（Image Schema Transformation）”，具體說就是“一”與“多”的相互轉(zhuǎn)換，可以簡稱為“一多轉(zhuǎn)換（Multiplex-Mass）”[5]。人類活動(dòng)中，這樣的思維方式十分普遍。比如12個(gè)蘋果放滿紙箱，這時(shí)眼中的“12個(gè)蘋果”就轉(zhuǎn)換為“1箱蘋果”。再比如，遠(yuǎn)看很多頭牛，視覺中的“多”在頭腦中自然會(huì)成為“一”，也就是頭腦中出現(xiàn)“一群?！钡囊庀蟆?/p>

圖2 “一群?！笔疽鈭D

這樣“一多轉(zhuǎn)換”的思維方式其實(shí)是人的一種“認(rèn)知能力（Cognitive Capacity）”，叫作“單位化（Unitizing）”。這種能力在數(shù)學(xué)認(rèn)知過程中廣泛應(yīng)用。比如時(shí)間單位中的“2時(shí)等于120分”，同樣的時(shí)間段，用“分”做單位，對(duì)應(yīng)的數(shù)是120。用“時(shí)”做單位，就轉(zhuǎn)變?yōu)椤?”，其原因就在于將“60分”看作“單位”，命名為“1時(shí)”。“時(shí)”是從“分”這個(gè)原始單位衍生而來的衍生單位。同樣道理，長度單位中將“100厘米”視為“單位”，命名為“1米”，“米”就成為相對(duì)于原始單位“厘米”的衍生單位。“乘”作為運(yùn)算的一個(gè)重要意義，就是實(shí)現(xiàn)這樣的單位轉(zhuǎn)換。

四、“乘”的想法先于“加”

如果把“單位化”以及“單位轉(zhuǎn)換”視為“乘”最初的想法，這樣的想法并非始于加法運(yùn)算，在“數(shù)數(shù)（Count）”和“記數(shù)（Numerals）”過程中已經(jīng)出現(xiàn)。低齡兒童最初接觸的運(yùn)算就是“數(shù)數(shù)（Count）”。以數(shù)蘋果為例：

圖3 數(shù)蘋果示意圖

如果從左向右看，數(shù)數(shù)的過程實(shí)際是給每個(gè)蘋果依次命名的過程：第一、第二、第三……每一個(gè)名稱對(duì)應(yīng)1個(gè)蘋果。到最后數(shù)到“第六”，對(duì)應(yīng)的是最右側(cè)的1個(gè)蘋果。

這時(shí)如果需要知道共有多少個(gè)蘋果，思維中就需要把“第六個(gè)蘋果”的“序數(shù)（Ordinal Number）”表達(dá)，轉(zhuǎn)變?yōu)椤肮灿?個(gè)蘋果”的“基數(shù)（Cardinal Num?ber）”表達(dá)。這樣的轉(zhuǎn)變，不僅是語言的轉(zhuǎn)變，實(shí)質(zhì)是思維的轉(zhuǎn)變。數(shù)到最后的“第六”，指向的對(duì)象是“1個(gè)蘋果”，相應(yīng)的“單位一”自然也是“1個(gè)蘋果”。如果要想知道“共有多少個(gè)蘋果”，就需要另外一個(gè)表達(dá)時(shí)間先后的概念，即一共數(shù)了6“次（Time）”，也就是“1個(gè)蘋果的6倍”。用乘法算式表達(dá)，就是“1蘋果×6=6蘋果”。

算式中的因數(shù)“6”指向的單位不是“蘋果”，而是數(shù)數(shù)動(dòng)作出現(xiàn)的“次數(shù)”，是抽象的數(shù)。因此從“第六個(gè)蘋果”轉(zhuǎn)變?yōu)椤肮灿?個(gè)蘋果”，實(shí)質(zhì)是“1個(gè)蘋果”出現(xiàn)“6次”，也就是將“6次1個(gè)蘋果”，轉(zhuǎn)變?yōu)椤?次6個(gè)蘋果”的過程。這樣的過程其實(shí)已經(jīng)出現(xiàn)了“乘”的想法。

下面再來看數(shù)數(shù)過程中加的想法是如何出現(xiàn)的。圖3中，如果數(shù)到“第二”時(shí)因故中斷，然后需要重新開始，這時(shí)原來的“第三”自然成為重新開始的“第一”，依次類推。

圖4 加法示意圖

此時(shí)數(shù)數(shù)過程自然地分為兩個(gè)階段，第一階段從序數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)榛鶖?shù)的結(jié)果是“共有2個(gè)蘋果”，第二階段同樣的轉(zhuǎn)變結(jié)果是“共有4個(gè)蘋果”。

如果希望知道兩個(gè)階段的總數(shù)，又不希望重新數(shù)，就需要將兩個(gè)階段的結(jié)果“合并（Merge）”，這個(gè)合并的過程就產(chǎn)生了“加”的運(yùn)算，寫為算式就是“2蘋果+4蘋果=6蘋果”。

如果把6個(gè)蘋果看作一個(gè)整體，也就是一個(gè)集合，這時(shí)思維的提升在于出現(xiàn)了整體中的部分，也就是“子集”的概念。數(shù)數(shù)的兩個(gè)階段分別得到兩個(gè)結(jié)果“2蘋果”和“4蘋果”，成為兩個(gè)局部，兩個(gè)局部合并成為整體“6蘋果”。如果把這種合并的想法視為加的想法，自然是以序數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)榛鶖?shù)想法為基礎(chǔ)的，因此說“乘”的想法并非始于“加”，而是先于“加”的。

更進(jìn)一步，如果運(yùn)用“一多轉(zhuǎn)換”單位化的思維，數(shù)數(shù)過程中將“2個(gè)蘋果”視為“1”，這時(shí)“6次”就變?yōu)椤?次”，也就是3倍。

圖5 乘法示意圖

其中的“3次”或“3倍”，是原本蘋果數(shù)量中所沒有出現(xiàn)的數(shù)，是人將“2個(gè)蘋果”視為“單位一”后出現(xiàn)的。寫為乘法算式“2蘋果×3”，其中的“3”就是表達(dá)“2蘋果”出現(xiàn)3次，也就是“2蘋果”這個(gè)衍生單位的3倍。

“2蘋果×3”的出現(xiàn)，從想法看，并不是為了“2蘋果+2蘋果+2蘋果”計(jì)算的簡便，而是看待蘋果的眼光發(fā)生變化，這樣的變化體現(xiàn)為兩方面，第一是看待“單位一”的眼光，第二是“單位一”之間的轉(zhuǎn)化。

加的眼光是自始至終將“單位一”視為“1蘋果”，兩個(gè)加數(shù)和最后結(jié)果都是以“1蘋果”為單位。因此加的想法相對(duì)單純，并不出現(xiàn)看待“單位”的眼光變化，運(yùn)算過程也不出現(xiàn)“單位”的轉(zhuǎn)變。而“乘”的想法，既有看待單位眼光的變化，運(yùn)算中也會(huì)出現(xiàn)單位的轉(zhuǎn)化。

五、“單位化”的主觀性與多樣性

綜上，乘的想法源于“單位化”的眼光。所謂“單位化”，指的是把什么看作“1”的問題。這樣的眼光往往因人而異，具有主觀性和多樣性。古希臘時(shí)期歐幾里得所著《原本》（Elements）中，并不認(rèn)為“1”是數(shù)，而是一個(gè)“單位”，是度量數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)，把“數(shù)”定義為“比（Ratio）”[6]，也即數(shù)的存在是相對(duì)于“單位”而言的。比如，“5”這個(gè)數(shù)是“5個(gè)1”的意思，離開了“1”，“5”是沒有意義的。所以“5”實(shí)質(zhì)是“5和1的比”。

這樣的想法，在“記數(shù)”中也有體現(xiàn)。所謂記數(shù)，指的是用符號(hào)或語言表達(dá)數(shù)。比如目前仍然經(jīng)常使用的羅馬記數(shù)，“1，2，3”分別表示為“I，II，III”，其中的“II”和“III”都是以“I”為單位。符號(hào)“V”表示“5”，實(shí)際就是將“5個(gè)I”的“IIIII”，看作一個(gè)單位，用“V”表示“1個(gè)5”，也就是把“1的5倍”變成了“5的1倍”。

如今廣泛使用的印度阿拉伯的十進(jìn)制記數(shù)，如果把“1”看作單位，那么“10”表示“10個(gè)1”；如果把“10”看作單位，那么“30”就表示“3個(gè)10”。這也是為什么通常把“十，百，千，萬，億，兆”叫作記數(shù)單位。所以“30”原本是“30個(gè)1”。把“10”看作“單位”后，“30”就成為“3個(gè)10”，用乘法算式表示為1×30=10×3。等號(hào)左側(cè)表示“1的30倍”，右側(cè)表示“10的3倍”，看待“單位”的眼光是不同的。

羅馬記數(shù)與印度阿拉伯記數(shù)方法的不同，實(shí)質(zhì)是單位化的差異。這種差異也反映在語言與文化方面。比如在英文中就沒有“萬”這個(gè)單位，“10000個(gè)1”用“10個(gè)千（Ten Thousand）”表達(dá)。凡此都說明“單位化”的眼光具有主觀性，因而也就有了多樣性。

圖5 是數(shù)蘋果過程中，將“2蘋果”視為“單位”，得到算式“2蘋果×3”。如果將“3蘋果”視為“單位”，又會(huì)得到“3蘋果×2”。

圖6 單位化眼光

還可以把“4蘋果”視為“單位”：

圖7 重復(fù)示意圖

此時(shí)如果用“4蘋果×2”，出現(xiàn)了“重復(fù)”，也就是中間2蘋果被使用2次，因此“4蘋果×2=8蘋果”就比實(shí)際蘋果數(shù)多出2蘋果，所以應(yīng)當(dāng)列出算式：4蘋果×2－2蘋果=6蘋果。

如果將蘋果的擺放方式改變?yōu)槿切涡螤?，單位化的過程也會(huì)出現(xiàn)重復(fù)的情況。

圖8 “三角形”排列示意圖

把三角形一條邊上的3蘋果視為單位，每個(gè)頂點(diǎn)處的蘋果就被重復(fù)利用，因此列出乘法算式“3蘋果×3”，計(jì)算得到的9蘋果中，有3蘋果重復(fù)，因此還需要減去，即“3蘋果×3－3=6蘋果”。

因此，單位化眼光的差異，會(huì)帶來算式和算法的差異，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)、鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用異樣和多樣的眼光去觀察。

綜上，“乘”作為數(shù)學(xué)課程中的重要內(nèi)容，其意義是動(dòng)態(tài)的、發(fā)展的。認(rèn)知起點(diǎn)并不限于“加”。乘的想法源于“單位化”的眼光，乘的運(yùn)算在于實(shí)現(xiàn)單位轉(zhuǎn)化，這樣的想法從“數(shù)數(shù)”和“記數(shù)”的活動(dòng)中就已經(jīng)出現(xiàn)了。

隨著數(shù)域的擴(kuò)充，乘作為運(yùn)算的算法和算理也會(huì)不斷進(jìn)化，但單位化的眼光和單位轉(zhuǎn)換的意義將會(huì)繼續(xù)沿用。計(jì)算教學(xué)僅關(guān)注算法和算理是不夠的，更要關(guān)注背后的想法，特別是具有普遍意義的“大想法（Big Idea）”。像文中論及的“單位化”和“單位轉(zhuǎn)化”這樣的大想法，對(duì)于學(xué)生思維發(fā)展以及今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都將起到重要作用。日復(fù)一日的日常教學(xué)，應(yīng)當(dāng)成為學(xué)生的想法逐步豐富與完善的過程。為學(xué)生設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)活動(dòng)中，努力滲透這樣的想法，應(yīng)當(dāng)成為教學(xué)研究的重要課題。