基于小波多分辨分析算法下的中美股市聯(lián)動性研究?

耿艷秋 佟 良 鄒大偉

（綏化學(xué)院信息工程學(xué)院 綏化 152061）

1 引言

眾所周知，股市市場的波動變化叵測，能夠掌握國內(nèi)股市的變化規(guī)律及美國股市對中國股市的影響一直都是投資者夢寐以求的事情。目前，關(guān)于中美股票市場波動的關(guān)聯(lián)性的技術(shù)分析方法也出現(xiàn)了很多，包含有馬爾科夫分析法、時間序列分析法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法等。小波分析（Wavelets Analysis）是20世紀(jì)80年代中后期逐漸發(fā)展起來的一種新的數(shù)學(xué)分析方法，它具有豐富的數(shù)學(xué)理論意義，又具有廣泛的工程應(yīng)用價值。廣泛應(yīng)用在信號處理、圖像處理、理論數(shù)學(xué)、模式識別、語音分析以及其他非線性科學(xué)領(lǐng)域。但把小波分析應(yīng)用在股票市場的數(shù)據(jù)分析研究中的文章還不多。1995 年，Ramsey J B 等在文獻(xiàn)［1］中率先用小波分析預(yù)測了標(biāo)準(zhǔn)普爾指數(shù)（S&P 500）的未來走勢；2002年，Hahn在文獻(xiàn)［2］中用小波分析理論研究了土耳其和埃及股市受美國股市波動的影響；1999 年，王哲、王春峰等在文獻(xiàn)［3］中給出了小波變換在中國股票市場的數(shù)據(jù)分析中的應(yīng)用；2001 年，孟衛(wèi)東等在文獻(xiàn)［4］中用小波理論完成了上證指數(shù)奇異信號統(tǒng)計監(jiān)測，得到了很好的結(jié)論；2001 年，候木舟等在文獻(xiàn)［5］中研究了基于Matlab 的小波分析在股市技術(shù)分析中的應(yīng)用?；谇叭说难芯砍晒疚膶⒉捎眯〔ǘ喾直娣治龅姆椒ㄑ芯棵绹善笔袌龅牟▌訉χ袊善笔袌龅挠绊?。

2 小波分析

2.1 小波基函數(shù)

小波基函數(shù)決定了小波的效率，常用的小波基函數(shù)有Haar小波，Morlet小波，Mexico小波[6]等，本文將采用Mexico 草帽小波來分析股市價格的波動趨勢。

Mexico小波也稱為草帽小波，定義為

2.2 小波變換

對于非平穩(wěn)信號而言，我們要求在低頻部分具有較好的頻率分辨率特性，而在高頻部分具有很好的時間分辨率特性，為此，我們引入連續(xù)小波變換（CWT）公式如下：

其中，a∈R，a≠0 是尺度因子；b∈R 是時間平移因子；且函數(shù)：

是由母小波函數(shù)ψ(t)作伸縮、平移得到的。

令式（3）中a=2-m, b=n ?2-m, t=kT, m,n,k∈Z, T 為周期，則有離散小波變換（DWT）公式為

2.3 多分辨分析

Mallat 早在1988 年就提出了多分辨分析理論（MRA），并由此提出了現(xiàn)今廣泛使用的Mallat快速小波分解和重構(gòu)算法。多分辨分析就是將各種不同頻率組成的混合信號拆分成為各個不同頻的子信號，從而，更有利于信號的重構(gòu)和特征根的提取等［7］。

設(shè){Vj}j∈Z是L2(R)的一個閉子空間序列。如果滿足：

1）嵌套性：Vj?Vj+1, j∈Z;

從表13的“假設(shè)方差相等”行讀取數(shù)值，t值是8.9590，Sig.(雙側(cè))是雙尾T檢驗的顯著性概率0.0001，遠(yuǎn)小于0.05?？梢缘贸鼋Y(jié)論：高低側(cè)裂縫嚴(yán)重程度有顯著差異，表現(xiàn)為較低一側(cè)的裂縫面積大于較高一側(cè)，究其原因，主要是由于向心力，較低一側(cè)的路面所受的荷載作用力更大，路面某點(diǎn)的荷載作用持續(xù)時間相對更長(車輛通過彎道的時間一定，而較低側(cè)的路程更短)，而瀝青混合料是一種黏彈性材料，在持續(xù)荷載作用下易產(chǎn)生塑性變形，久而久之產(chǎn)生裂縫。

4）伸縮性：f(t)∈Vj?f(2t)∈Vj+1, j∈Z;

5）平移不變形：f(t)∈V0?f(t-k)∈V0, k∈Z;

6）正交基存在性：存在φ∈V0，使得{φ(t-k),k∈Z}構(gòu)成V0的標(biāo)準(zhǔn)正交基，則{Vj}j∈Z稱為L2(R)的一個多分辨分析（MAR）。

多分辨分析就是用不同分辨率來逐級逼近待分析函數(shù)f(t)。由多分辨分析的性質(zhì)可得

其中，{Vj} 為尺度空間，{Wj} 為小波空間。

假設(shè)f∈L2(R)是要處理的實(shí)際信號，測得的信號fj是f 在尺度空間{Vj} 中的近似，下面可將fj多分辨表示為

其中，

設(shè)函數(shù)f(t)∈L2(R) 向不同尺度的小波空間{Wj} 投影后得到的信號是dj(t)∈Wj，則

由式（5）～（8）得

可以證明信號f(t)在分辨率2-l(1≤l≤j)分辨率下的逼近是最好的，其中，式（5）～（8）稱為離散正交小波的分解公式，式（9）為離散正交小波的重構(gòu)公式［8］。多分辨分析有效地對信號低頻部分作了分解，這一特點(diǎn)正好滿足了對中美股票市場數(shù)據(jù)間的聯(lián)動性分析的需要。

3 股市聯(lián)動性分析

3.1 樣本數(shù)據(jù)

數(shù)據(jù)來自雅虎財經(jīng)網(wǎng)，選取日期為2012年7月1 日 至2018 年3 月1 日 為 止，選 取 標(biāo) 準(zhǔn) 普 爾（S&P500）指數(shù)、香港恒生指數(shù)和上證綜指為原始數(shù)據(jù)分別代表美國和中國內(nèi)地股市的波動性，首先我們對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，取各股票的日收盤價的對數(shù)收益，即：yt=ln Pt-ln Pt-1，其中Pt是股指的日收盤價；t-1 日為美股交易日；t 日為國內(nèi)股交易日。 對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行甄選，得到標(biāo)準(zhǔn)普爾對恒生股指的序列1034 個樣本數(shù)據(jù)；對上證綜指股指的序列1104個樣本數(shù)據(jù)［9］。

3.2 樣本數(shù)據(jù)的小波多分辨分析

選用Mexico 小波函數(shù)分別對標(biāo)準(zhǔn)普爾（S&P500）指數(shù)、香港恒生指數(shù)和上證綜指的日收盤價的對數(shù)收益率的數(shù)據(jù)進(jìn)行6 層的正交小波多分辨分析。 將原始信號分解為l=a6+d6+d5+d4+d3+d2+d1。

由式（6）可得到a6的值；由式（7）、（8）可得到d1,d2,…,d6的值。其中φ(t)是Mexico 小波的尺度函數(shù)，ψ(t)是Mexico小波函數(shù)［10］。這樣我們就得到了尺度j(j=1,2,3,4)上的一系列重構(gòu)數(shù)據(jù)，如圖1～2 所示，d1,d2,…,d6分別表示尺度21,22,…,26上變化的數(shù)據(jù)。

圖1 上證-標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)

由圖1、圖2可以看出，美國股市與國內(nèi)股市的高頻d1具有很好的相似性［11］。小波多頻率分析方法可以提取原始數(shù)據(jù)中的高頻部分，從而能夠有效分析中美股市間的聯(lián)動性關(guān)系。

圖2 恒生-標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)

表1 各頻率占比（%）

表1 表明，高頻成分所占的比例遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于低頻部分，其中d1大約占比50%，因此從表中可看出：1）股市的日收益率受短期因素的影響嚴(yán)重，具有不可預(yù)測性；2）香港的股市短期波動性最大，上海股市次之，而美國股市短期波動與前兩者比較相對要?。?2～13］。

為了研究美國股市對國內(nèi)股市波動性的影響，下面對這三只股票經(jīng)多分辨分析分解后不同尺度上的聯(lián)動性進(jìn)行線性回歸分析[14]。 數(shù)據(jù)樣本量n=1034，置信水平α=0.1 時與樣本量n=1104，置信水平α=0.01時分別分析如表2。

表2 相關(guān)系數(shù)表

4 結(jié)語

隨著中國股市國際化步伐的日益加快，中國股票市場與國際股票市場日益融合；全球股市股指間的聚集效應(yīng)更為顯著，股指間差距縮小，聯(lián)動性增強(qiáng)，這就是全球經(jīng)濟(jì)“一體化”發(fā)展的必然結(jié)果［15］。本文通過小波多分辨分析法這一有效工具對上證指數(shù)、香港恒生指數(shù)和S&P500 標(biāo)準(zhǔn)普爾指數(shù)的日對數(shù)收益率時間序列進(jìn)行了多尺度的復(fù)雜性分析，證明了美國股市對香港股市波動性影響很大，而對上海股市波動性影響很小。