基于防治策略的毒品濫用流行病學(xué)模型

劉 風(fēng)

（1.中央司法警官學(xué)院信息管理系，河北保定 071000；2.中央司法警官學(xué)院戒毒康復(fù)研究中心，河北保定 071000）

0 引言

數(shù)學(xué)流行病學(xué)模型對(duì)于預(yù)測(cè)和控制傳染病的流行具有重要實(shí)用價(jià)值。自從SIR（Susceptible-Infected-Removed）流行病模型出現(xiàn)以來(lái)，針對(duì)某些流行病患者康復(fù)一定時(shí)期后免疫力喪失，可能再次被感染的現(xiàn)象，相關(guān)學(xué)者又先后提出了SIS（Susceptible-Infected-Susceptible）和SIRS（Susceptible-Infected-Recovered-Susceptible）等模型［1-2］。

控制疾病傳播的一種常規(guī)措施是對(duì)患者進(jìn)行隔離治療。文獻(xiàn)［3-5］考慮隔離治療措施分別建立了SIQR（Susceptible-Infected-Quarantined-Recovered）和SIQRS（Susceptible-Infected-Quarantined-Recovered-Susceptible）模型，并針對(duì)相應(yīng)的閾值參數(shù)討論了模型的平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性以及一定約束條件下模型的動(dòng)力學(xué)性態(tài)。除此以外，通過(guò)接種疫苗（vaccination）使易感個(gè)體獲得免疫力，是防止疾病流行的另外一種有效方式。Parsamanesh等［6］分析了帶有疫苗接種措施的SIS模型的全局穩(wěn)定性；Arino 等［7］針對(duì)SIRS 模型研究了疫苗接種措施對(duì)模型穩(wěn)定性的影響，當(dāng)疫苗并非完全有效時(shí)，模型將會(huì)出現(xiàn)后向分支。

考慮到毒品濫用與傳染病的擴(kuò)散原理高度相似。White等［8］針對(duì)海洛因的流行構(gòu)建了一個(gè)SIR模型，分析了模型平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性，并給出了后向分支存在的必要條件。Mulone等［9］對(duì)文獻(xiàn)［8］進(jìn)行了補(bǔ)充，證明了其平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性。通過(guò)對(duì)藥物使用者依賴(lài)程度的劃分文獻(xiàn)［10］提出了一個(gè)雙藥物使用人群的流行病模型，并對(duì)模型進(jìn)行了定性分析。以上研究成果均假設(shè)治愈后的吸毒者具有永久的毒品“免疫力”，針對(duì)此問(wèn)題，文獻(xiàn)［11］提出了一個(gè)具有暫時(shí)“免疫力”的毒品濫用流行病學(xué)模型，并分析和證明了模型平衡點(diǎn)的存在性和穩(wěn)定性。

現(xiàn)實(shí)中，由于各種原因，只有有限的吸毒人員能夠接受治療，所以，單純地依靠治療手段難以從根本上消除毒品濫用現(xiàn)象的發(fā)生。為了更有效地防止毒品濫用的蔓延，針對(duì)毒品易感人群加強(qiáng)宣傳教育（類(lèi)似于接種疫苗），提高其自身“免疫力”不失為一種合理的預(yù)防措施。雖然上述毒品濫用流行病學(xué)模型刻畫(huà)了事后的治療手段，但是作為影響毒品濫用關(guān)鍵因素的事前預(yù)防措施，卻沒(méi)有被引入到模型當(dāng)中。而現(xiàn)有帶接種疫苗預(yù)防措施的流行病學(xué)模型均假設(shè)患者在接受治療期間除發(fā)生死亡情況外將全部治愈，這又與戒毒人群并非全部能夠戒斷“毒癮”，其中一部分戒毒人員結(jié)束治療后仍然未能康復(fù)的特點(diǎn)不相符合。因此，以各種傳染病為背景的流行病學(xué)模型無(wú)法直接用于分析研究毒品濫用的傳播規(guī)律。

鑒于上述原因，本文在文獻(xiàn)［11］的基礎(chǔ)上，針對(duì)其僅考慮了單一治療措施的不足，引入預(yù)防機(jī)制，提出了基于防治策略的毒品濫用流行病學(xué)模型，定性分析了模型的動(dòng)力學(xué)性態(tài)，將模型的基本再生數(shù)與文獻(xiàn)［11］中單純依靠治療措施的基本再生數(shù)進(jìn)行了比較，并經(jīng)過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證，研究結(jié)果表明，若非預(yù)防措施完全無(wú)效，此模型比文獻(xiàn)［11］中的模型能夠獲得更小的基本再生數(shù)，采取綜合防治策略，通過(guò)提高預(yù)防措施的效果，可以避免產(chǎn)生后向分支現(xiàn)象，更有效地防止毒品濫用的滋生。

1 模型構(gòu)建

經(jīng)過(guò)治療的戒毒人員中，只有部分個(gè)體能夠治愈，對(duì)毒品產(chǎn)生“免疫力”，而這種“免疫力”不是終生的，隨著時(shí)間的推移，可能逐漸喪失。在考慮上述特點(diǎn)的基礎(chǔ)上引入預(yù)防機(jī)制，將總體人群劃分為四類(lèi)，即易感人群、未隔離吸毒人群、隔離治療人群和免疫人群，建立了基于防治策略的SITRS（Susceptible-Infected-Treated-Recovered-Susceptible）模型。毒品濫用相關(guān)人群的狀態(tài)轉(zhuǎn)換過(guò)程如圖1所示。

圖1 毒品濫用相關(guān)人群的狀態(tài)轉(zhuǎn)換過(guò)程Fig.1 State transition process of populations correlated with drug abusers

其中：S、I、T、R、Λ分別代表易感人群、未隔離吸毒人群、隔離治療人群、免疫人群以及系統(tǒng)補(bǔ)充人群的人數(shù)在總體人群中所占的比例。θ為針對(duì)易感人群進(jìn)行毒品危害宣傳的覆蓋率，α為宣傳教育的有效率，假定0 ≤α＜1，即宣傳教育并非完全有效。u1代表自然死亡率，u2和u3分別為未隔離吸毒人群和隔離治療人群的吸毒致死率，ε是未隔離吸毒人群的社區(qū)治療康復(fù)率，η為隔離治療率，假設(shè)未隔離吸毒人群對(duì)易感人群具有傳染性，隔離治療人群不具有傳染性。β1是未隔離吸毒人群與易感人群之間的接觸傳染率，β2是解除隔離治療人員的復(fù)吸率，φ是隔離治療的康復(fù)率，免疫人群的“免疫力”將逐漸喪失，“免疫”喪失率為代表平均“免疫期”。各人群間轉(zhuǎn)換規(guī)則如下：

1）預(yù)防措施使易感人群中αθ比例獲得“免疫力”，進(jìn)入免疫人群。

2）(1-αθ)比例未獲得“免疫力”的易感者以β1I的概率被感染，成為未隔離吸毒者。

3）η比例的未隔離吸毒者會(huì)接受隔離治療，進(jìn)入隔離治療人群；社區(qū)治療使ε比例的未隔離吸毒者得以康復(fù)，獲得“免疫力”，進(jìn)入免疫人群。

4）φ比例隔離人員治療后將康復(fù)，獲得“免疫力”，進(jìn)入免疫人群；解除隔離人員以β2I的概率重新成為未隔離吸毒者。

5）免疫人群以ρ的概率重新成為易感者。

根據(jù)上述轉(zhuǎn)換規(guī)則，按照?qǐng)D1建立微分方程模型：

2 平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性分析

按照文獻(xiàn)［12］提出的基本再生數(shù)的計(jì)算方法，系統(tǒng)（5）～（7）的再生數(shù)RVT可表示為：

2.1 無(wú)毒平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性

在無(wú)毒平衡點(diǎn)E0處，其雅可比矩陣為：

2.2 地方病平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性

考慮RVT＞1時(shí)，如果地方病平衡點(diǎn)E*=(S*，I*，T*)存在，則有S*≥0，I*＞0和T*≥0使得：

因?yàn)楫?dāng)RVT＞1 時(shí)，無(wú)毒平衡點(diǎn)E0不穩(wěn)定，所以對(duì)于系統(tǒng)（5）～（7），除可行域邊界上的點(diǎn)以外，從可行域內(nèi)部出發(fā)且充分靠近E0的初值點(diǎn)的解均遠(yuǎn)離E0。若存在集合K={E0}?Γ，則K是一個(gè)緊不變集，設(shè)KS是K的穩(wěn)定集，即KS包含了所有ω極限集ω(F)?K的初始可行解F，則KS只能存在于可行域的邊界上，這意味著可行域邊界上的最大緊不變集K是孤立的，由文獻(xiàn)［14］中定理4.1可知，系統(tǒng)（5）～（7）是一致持續(xù)的。

引理1定理3.5［17］。當(dāng)單連通的可行域Γ內(nèi)存在一個(gè)緊吸引集K?Γ時(shí)，若＜0，則Γ內(nèi)的唯一平衡點(diǎn)是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的。

定理2對(duì)于系統(tǒng)（5）～（7），當(dāng)RVT＞1 時(shí)，?ξ1＞0 和ξ2＞0，若“免疫力”喪失率ρ＜min{ξ1，ξ2}，則地方病平衡點(diǎn)E*具有全局漸進(jìn)穩(wěn)定性。

證明 系統(tǒng)（5）～（7）的可行域Γ是單連通的，且由命題1、命題2 和引理1 可知，證明定理2 成立，需在賦范空間R3中選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)南蛄糠稊?shù)|?|和一個(gè)3×3 的矩陣值函數(shù)以保證＜0。

2.3 后向分支

若β2η(u1+ρ)2＞(ε+η+u1+u2)Z，則a＞0，系統(tǒng)（17）～（19）可能出現(xiàn)后向分支現(xiàn)象。

后向分支現(xiàn)象的出現(xiàn)打破了傳統(tǒng)意義上將基本再生數(shù)作為控制疾病傳播的閾值理論，對(duì)于毒品濫用問(wèn)題，這意味著即便RVT＜1，除無(wú)毒平衡點(diǎn)外，同時(shí)還可能有一個(gè)穩(wěn)定的地方病平衡點(diǎn)，毒品濫用現(xiàn)象仍然不能杜絕。只有采取更有效的措施，才能充分降低基本再生數(shù)，避免后向分支的產(chǎn)生，防止毒品濫用形成地方病。

考慮基本再生數(shù)

3 數(shù)值模擬

以某市相關(guān)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)設(shè)定參數(shù)（見(jiàn)表1），其中，自然死亡率u1為2009—2018年該市常住人口的平均死亡率，吸毒致死率u3依據(jù)該市2010—2018 年接受隔離治療的戒毒人員平均死亡率以及自然死亡率u1計(jì)算，假定未隔離吸毒致死率u2與u3相同，隔離治療康復(fù)率φ為隔離治療人員的3 年操守率，“免疫”喪失率ρ根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)操守期的倒數(shù)計(jì)算，社區(qū)治療康復(fù)率ε、隔離治療率η和復(fù)吸率β2分別根據(jù)相關(guān)資料按照吸毒人員的顯性/隱性比進(jìn)行調(diào)整，宣傳覆蓋率θ根據(jù)十八大以來(lái)全國(guó)歷年在校生人數(shù)和累計(jì)接受禁毒教育學(xué)生人數(shù)估計(jì)調(diào)整。

表1 模型參數(shù)設(shè)置Tab.1 Parameter settings of model

利用MatLab軟件模擬仿真不同初始條件下易感人群、未隔離吸毒人群和隔離治療人群的演化過(guò)程，驗(yàn)證后向分支和各平衡點(diǎn)的存在性及穩(wěn)定性。

首先，考慮β1取值0.044，即當(dāng)RVT=0.982 時(shí)，如圖2 所示，由于初始值不同，導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)不同的平衡點(diǎn)，即同時(shí)存在無(wú)毒和地方病兩個(gè)均衡，可以看出，地方病平衡點(diǎn)E*是穩(wěn)定的，而無(wú)毒平衡點(diǎn)E0不穩(wěn)定，模擬結(jié)果支持了后向分支現(xiàn)象出現(xiàn)的可能性。

圖2 無(wú)毒和地方病兩個(gè)平衡點(diǎn)同時(shí)存在（RVT=0.982）Fig.2 Drug-free and endemic equilibrium points exist simultaneously（RVT=0.982）

其次，保持β1不變，假設(shè)宣傳教育完全無(wú)效，即α=0，則RVT=1.158 ＞1，如圖3 所示。對(duì)于任意的初始值，解曲線最終都匯聚到唯一的平衡點(diǎn)，仿真結(jié)果表明系統(tǒng)唯一的地方病平衡點(diǎn)E*是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的，單純依靠治療措施，難以從根本上杜絕毒品濫用的滋生，終將形成地方病。

最后，β1仍然取值0.044，維持原有的教育有效率α，將宣傳覆蓋率θ提高到50%，此時(shí)RVT=0.300 ＜1，如圖4所示。無(wú)論初始狀態(tài)如何，未隔離吸毒人群和隔離治療人群的比例最終都將趨近于0，可見(jiàn)，相對(duì)于文獻(xiàn)［11］中單純依靠治療措施，通過(guò)綜合防治，在教育有效率較高的前提下，提高宣傳覆蓋率可以避免后向分支的出現(xiàn)，更加有效地消除毒品濫用現(xiàn)象的產(chǎn)生。結(jié)合圖2 中后向分支現(xiàn)象的出現(xiàn)，模擬結(jié)果驗(yàn)證了無(wú)毒平衡點(diǎn)E0的存在性和局部漸進(jìn)穩(wěn)定性。

圖3 地方病平衡點(diǎn)模擬結(jié)果（RVT ＞1）Fig.3 Simulation results of endemic equilibrium point（RVT ＞1）

圖4 無(wú)毒平衡點(diǎn)模擬結(jié)果（RVT ＜1）Fig.4 Simulation results of drug-free equilibrium point（RVT ＜1）

4 結(jié)語(yǔ)

應(yīng)用流行病學(xué)原理研究毒品濫用問(wèn)題尚處起步階段，現(xiàn)有研究成果對(duì)毒品濫用的預(yù)防措施考慮不足，本文通過(guò)引入預(yù)防機(jī)制，構(gòu)建基于防治策略的毒品濫用流行病學(xué)模型，對(duì)模型進(jìn)行了定性分析，并計(jì)算了可能存在后向分支的必要條件，比較了單一治療和綜合防治策略下的基本再生數(shù)。模擬實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了后向分支的存在性和平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。研究結(jié)果表明單純依靠治療措施，難以從根本上消除毒品濫用現(xiàn)象，采取綜合防治策略，通過(guò)提高宣傳覆蓋率θ和教育有效率α，能夠進(jìn)一步降低文獻(xiàn)［11］中的基本再生數(shù)，更加有效地防止毒品濫用的滋生。