小學數學“解決問題”能力測評實證研究

浙江杭州市江干區(qū)教育發(fā)展研究院 潘紅娟

解決問題究竟需要哪些能力？如何通過評價，使解決問題能力結構清晰化，是當前小學數學“解決問題”教學研究中亟待破解的重要命題。

前期，筆者團隊以“解決問題能力測評與教學”為主題展開實證研究，試圖通過對教材各年級“解決問題”的例題分析，對各年級理應達成的能力水平進行細化分解。從中觀層面，對各年級學生解決問題能力水平進行測評，并借助測評為教學提供導向與參考。

一、命題設計與測評實施

1.測評框架與指標設計

依據解決問題的一般過程，我們可以理解為完整的解決問題是一個信息梳理、問題識別、關系表征、擬定計劃、策略運用、方法確定和回顧反思的過程。既然學生需要經歷這些步驟，那么，相應的能力便成為問題是否順利解決的關鍵，也便成為“解決問題”測量與評價的重要指標。

我們參照人教版數學教材解決問題例題編寫的三個模塊，即“閱讀與理解” “分析與解答”和“回顧與反思”，將這種過程性的能力轉化為更具體的15個二級能力指標，然后對每一個指標的能力水平要求進行詳細描述。這樣的指標細化，不僅為能力測評提供較為明確的依據，也為能力培養(yǎng)提供了明確的方向。

2.試題編制與說明

依據下表中的能力要素進行試題編制，具體試題將在文中結合測試結果加以闡述。值得說明的是，在編擬試題時，考慮到“解決問題”內容所具有的綜合性特征，每一個測評試題與能力指標間并不存在一一對應的關系，一般會有這樣幾種情況：①一個測試材料指向多個能力指標；②一個測試材料重點指向一個能力要點；③部分能力指標用多個材料測試；④測試材料并不覆蓋解決問題能力體系的全部指標。

解決問題能力結構分解及其具體能力描述

3.測評樣本與實施辦法

本次測試對象為五年級學生，樣本來自杭州市某區(qū)27所學校，樣本類型涵蓋農村學校、民工子弟學校和城鎮(zhèn)學校，樣本總量為6521人。

“解決問題”能力測評以人教版數學五年級上冊教學內容為知識技能基礎，主要內容包括：小數乘法、小數除法、簡易方程、多邊形面積、植樹問題等。測試與閱卷由區(qū)教育發(fā)展研究院統(tǒng)一組織，測試組織嚴密，網絡多輪閱卷，數據真實有效。

二、試題例舉與情況分析

1.“閱讀理解”能力情況分析

（1）信息解析與篩選整合

“信息解析與篩選整合”能力具體是指在閱讀過程中能對文字、符號和圖表等信息進行正確理解；能發(fā)掘隱蔽信息；能從眾多信息中選擇對解決問題有效的信息；能抓住解決問題的關鍵信息。

【測試材料1】據媒體報道：

2019年9月，各省豬肉價格大致相同，約為28元/千克。至2019年12月，我國豬肉價格持續(xù)上漲，華東地區(qū)大部分省份豬肉價格比9月上漲了6元/千克。其中浙江的漲幅更是逼近7元/千克，北方地區(qū)的陜西省漲幅為5元/千克。

杭州某小學食堂12月要購進豬肉40千克，如果按9月的豬肉價格，不改變預算，這筆錢能購進豬肉多少千克？

【測試材料2】下面是某專車的收費標準：

舒適型價格：14元（起步費）+2.6元/千米（里程費）+0.5元/分鐘（時長費）

商務型價格：20元（起步費）+3.5元/千米（里程費）+0.8元/分鐘（時長費）

李老師要坐該專車去某地，百度地圖搜索信息如下：

如果按最省時的方案，李老師到達目的地至少需要付費多少元？

【分析】試題均給出信息多元、呈現(xiàn)方式多樣的真實情境，考查學生能否獲取有效信息，進行數學運算與問題解決。題1正確率為78%，區(qū)分度為0.54，題2正確率為68%，區(qū)分度為0.53。從結果可見，①學生具有較好的信息篩選意識；②與純文本信息相比，對于用圖、表、文字等綜合文本呈現(xiàn)的真實情境，學生的解讀與篩選能力較弱。

（2）語言互譯與關系表征

問題表征是指問題解決者在閱讀過程中將外部信息轉化為內部信息，明確問題給定的條件、目標和允許的操作，是對具體的問題信息進行感知提取、理解內化、轉換表達的認知過程。具體表現(xiàn)為能用線段圖、幾何直觀圖、象形圖、關系表達式、符號、算式等方式將數量關系正確、清晰地表達出來。

【測試材料3】奇奇和格格玩游戲，奇奇在A處，格格在B處。游戲開始，他們分別從相距20米的A、B兩地同時沿直線向同一個方向的終點跑去，20秒后奇奇追上格格，已知奇奇跑的速度是6米/秒，格格跑的速度是每秒多少米？（請用線段圖表示題目的意思，并解答）

【測試材料4】微信朋友圈中有一個“一元錢去哪了”的小故事：

小明向爸爸媽媽各借錢50元，買書用了97元，剩下的錢，各還父母一元，還欠父母各49元，自己還剩下1元。他算了一下：49元+49元=98元，98元+1元=99元。小明覺得很奇怪，還有一元去哪了？

你覺得小明錯哪了？根據這個故事情境，請你寫出兩個正確的等量關系：

向父親借的錢+向母親借的錢=買書的錢○ （ ）

欠父親49元+欠母親49元=（ ）○（ ）

【分析】試題3，給出教材不曾出現(xiàn)的行程問題類型，重點考查學生利用線段圖進行關系表征的能力；試題4利用微信故事作為背景，考查學生用關系式進行問題表征的能力。“線段圖表征”題得分率為62%，“關系式表征”題得分率為67%。從測試結果分析，在未曾見過的新問題解決中，學生無論是用直觀圖，還是用關系式表征題意的能力均有待加強。

（3）空間想象與信息推理

【測試材料5】右圖四邊形ABDE是一個直角梯形。

如果AE=x，DE=5，∠ABE=45°，CD=3，那么梯形ABDE的面積是（ ）。（用含有字母的式子表示）

【分析】本題考查信息篩選與信息推理的特征十分鮮明。難點一，“ED=5”是多余信息需要排除，難點二，高的長度需根據45°直角三角形推理獲得。此題得分率僅為 56%，區(qū)分度為0.52。通過對學生的訪談我們發(fā)現(xiàn)，在圖形問題的解決過程中，學生具有信息篩選的意識，但信息推理的能力相對較弱，學生對于高的信息的推理存在困難。

（4）算式理解與問題識別

“算式理解與問題識別”是指理解解決問題的思路和算式的意義，根據方案、算式等找到相應的具體問題。

【測試材料6】下面問題中，不能用算式“400-75×5”解決的問題是（ ）。

A．奇奇家和格格家相距400米，奇奇的速度是75米/分，格格的速度是65米/分，兩人同時從自己家向對方家出發(fā)，5分鐘后，奇奇離格格家還有多少米？

B．帶400元錢去買球，足球單價75元。買了5個足球后，還剩多少元？

C．小明參加跳繩比賽，6次的總成績是400個，其中前5次的平均成績是75個。小明第6次跳了多少個？

D．要生產400個奧運會吉祥物，5天生產了75個。還剩多少個沒有完成？

【分析】此題編擬了行程問題、購物問題、工作問題、平均數問題四個不同的情境材料，意在根據運算意義，找到與算式相符的應用情境。此題得分率僅為48%，區(qū)分度為0.59。A、B、C、D各選項比例分別為31.6%、2.66%、18.07%、47.67%，其中錯誤選項A的選中率高達31.6%，由此可見，學生算式理解與問題識別的能力有待提高。

2. “分析解答”能力情況分析

（1）策略意識與策略應用

問題解決的程序固然重要，但起關鍵作用的還是解決問題的策略。學生能否主動選擇畫圖、方程、分類、化歸、例舉、逆推、列表等策略和方法，是解決問題能力高低的重要標志。

【測試材料7】爸爸皮夾里有一些100元和50元的人民幣紙幣，可可幫爸爸數了一下，發(fā)現(xiàn)皮夾里共有2000元，而且100元紙幣的張數正好是50元紙幣的2倍，爸爸皮夾里共有幾張紙幣？

【測試材料8】周長為300米的圓形池塘邊均勻地栽了10棵柳樹，在每兩棵柳樹之間均勻地栽了5棵桃樹，每兩棵桃樹之間的距離是多少米？（建議畫圖）

【分析】材料7，重點考查學生在沒有提示的前提下，能否自主運用方程來解決問題。此題得分率為65%，區(qū)分度為0.72，學校之間差異大，學校得分率最低的僅為51%。此題等量關系清晰，如若用方程解決，將會大大提高問題解決的成功率，而正確率不高的原因，主要是學生方程策略意識的薄弱所致。

材料8，“植樹問題”的教學意義，不是一類問題的解決方法，而是幾何直觀的策略應用與模型思想。本題的核心宗旨正是考查學生能否運用“畫圖”分析問題，得分率僅為49%，區(qū)分度為0.59。說明教師在本內容的教學中，過于重視基本模型的獲得與運用，忽略了“思想方法與策略應用”的目標定位與能力要求。

（2）方法靈活與獨特創(chuàng)新

【測試材料9】2019年12月16日24時，油價調整最新消息。

浙江油價表如下：

89號汽油 92號汽油 95號汽油 0號柴油價格（元/升） 6.59 7.1 7.56 6.74

李師傅的車只能加92號汽油或95號汽油，如果李師傅加了36升汽油，付300元夠嗎？付250元夠嗎？

【分析】“油價問題”的正確率為93%，從學生答題情況分析，正確率高的同時，也反映出學生解決方法的多樣性。

“方法靈活與獨特創(chuàng)新”這一能力指標，并不依賴一個試題獲得結果。上文材料7“皮夾中的紙幣問題”中，解答情況也極好地彰顯了學生個性化的思維與多樣化的解決策略。

3.“回顧反思”能力測評與情況分析

（1）回顧反思意識

【測試材料10】王老師去超市買了0.84千克蘋果，蘋果單價是15.6元/千克，王老師實際付了（ ）元。

【分析】“求積的近似值”教學中，學生往往被明確指令“用四舍五入保留兩位小數”，當這一指令不明確時，學生便顯得無所適從。此題正確率為44.4%。從答題情況分析，反映出學生解決問題后“結果回顧”意識的缺失，缺少計算結果與問題解決（即實付金額）之間的轉換。

（2）結果反思評價

【測試材料11】從A站到C站全程630千米。

求這個問題，樂樂是這樣計算的：

樂樂做對了嗎？請說明理由。

【分析】試題并沒有用常規(guī)解決問題“條件—問題”的模式，而是給出解決問題的結果，讓學生進行判斷與說理。此題正確率為85%，學生能采用代入驗算、估算檢驗、正確解答檢驗、關系說理等多種方法判斷，從結果分析，學生能對情境和結果做出正確的判斷與評價。

三、結論與啟示

測評結果表明，學生解決問題能力中：1.面對有冗余信息的文本材料具有較好的篩選意識；2.在解決問題時策略的多樣性方面表現(xiàn)較好；3.能對解決問題的結果進行合理地判斷與評價。

測試也表明，學生在解決問題中表現(xiàn)出的能力弱項是：1.面對多樣文本呈現(xiàn)的復雜情境，學生理解信息、篩選信息的能力較弱；2.解決圖形問題時信息推理的能力有待加強；3.用圖、表、關系式進行問題表征的能力有待加強；4.解決問題策略儲備與經驗缺乏，面對不同情境的問題主動選擇有效策略的意識與能力較弱；5.對解決問題的結果進行回顧與反思的意識薄弱。

根據測試情況，教師有必要從以下方面予以重視與加強：

1.細化能力結構，將能力要素轉化為具體目標導引教學

由于解決問題能力構成的復雜性、內隱性、過程性、綜合性等特點，無論是教學評價還是教學本身都顯得十分困難，難以把握。因此，將能力進一步分解細化，可以為教學提供具體方向。以“數學閱讀理解能力”結構為例，可以細化為：概念理解、語言互譯、抽象概括、空間想象、閱讀推理、模式識別、閱讀遷移、閱讀元認知、信息篩選、信息整合等。只有將能力結構清晰化，才有助于目標的有效落實。數學閱讀理解能力是這樣，分析解答、回顧反思能力同樣如此。限于篇幅，待后續(xù)討論。

2.解讀教材例題，在例題教學與能力培養(yǎng)之間建立深度關聯(lián)

由于教材編寫往往呈現(xiàn)內容顯性、目標隱性的特點，導致教學中教師大多關注“短期目標”而忽視“長期目標”。從日常調研看，很多教師將會解這一類題作為最終目標，而并沒有將解決問題能力培養(yǎng)作為目標加以重視。因此，教師有必要深入發(fā)掘每個例題所承載的能力目標點，只有在日常的例題教學與能力目標之間建立深度關聯(lián)，能力培養(yǎng)才會落到實處。

3.梳理教材體系，蓄力完善解決問題能力培養(yǎng)的序列

我們發(fā)現(xiàn)，各版本教材雖已對解決問題教學十分重視，但尚無十分明確和完善的能力培養(yǎng)體系與序列。下圖是人教版數學教材解決問題82個例題的分布情況，我們有必要分析思考。這些例題前后之間有怎樣的遞進與關聯(lián)，是否存在基礎性經驗和策略性經驗的斷層，如何補上短板與斷點，教學中如何依循能力結構中的每個能力點有序列地進行培養(yǎng)。

4.突破領域界限，關注其他領域學習對解決問題能力培養(yǎng)的作用

解決問題活動雖是一個相對獨立的活動系統(tǒng)，但由于解決問題本身的開放性特點，決定了問題解決是否成功一定與問題解決者的數學基礎知識、具體經驗基礎、數學思維基礎、非認知因素基礎等其他因素高度相關。因此，學生解決問題的能力發(fā)展并不完全依賴于“解決問題”領域內容的學習。教師有必要將“問題解決”教學與概念、法則、公式、定律等其他內容的學習緊密關聯(lián)，一方面，深度理解這些知識以利于有效遷移應用；另一方面，以“問題解決”作為這些新知學習的驅動性任務和應用性任務，將解決問題能力培養(yǎng)浸潤至數學學習的全部領域與內容之中。

5.深化課程理解，“解決問題不僅是一個領域，更是課程目標與理念”

據浙江省 2018 年小學教育質量監(jiān)測數學學科能力測試的教師問卷統(tǒng)計，認為“新課程中的解決問題就是原來的應用題”，完全同意的教師比例占5.7%，比較同意的占29.6%；認為“解決問題的回顧與反思就是代入計算”，完全同意的占2.3%，比較同意的占10.6%，不確定的占8%。這些數據說明，教師對解決問題的課程理解尚待提升，教研部門、學校教研組有必要加強“解決問題”教學相關的項目研修，促進教師對這一領域課程目標的理解與教學策略研究。