Rota-Baxter q-3-李代數(shù)

林 麗 鑫

(牡丹江師范學院 數(shù)學科學學院, 黑龍江 牡丹江 157011)

目前, 關(guān)于李代數(shù)、 量子群、 Hopf代數(shù)、 量子空間的微分結(jié)構(gòu)和微分算子的量子形式等研究已有許多結(jié)果[1-9]. 由于Rota-Baxter代數(shù)在概率學、 組合數(shù)學、 數(shù)論、 量子場等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛, 因此討論量子李代數(shù)的Rota-Baxter算子有一定的理論意義. 文獻[10]給出了q-3-李代數(shù)的定義, 并對其結(jié)構(gòu)進行了研究, 構(gòu)造出一系列典型的q-3-李代數(shù). 本文在文獻[10]的基礎(chǔ)上討論q-3-李代數(shù)的權(quán)為λ的Rota-Baxter算子, 并給出Rota-Baxterq-3-李代數(shù)的定義, 從一些已知的代數(shù)結(jié)構(gòu)中構(gòu)造出Rota-Baxterq-3-李代數(shù). 本文 F是特征為零的域,是整數(shù)集.

1 基本概念

定義1[10]設(shè)A是域 F上的向量空間, 如果3-元線性乘法[,,]q:A?3→A和映射Jq:A?5→F, 滿足對任意xi∈A,i=1,2,3,4,5, 有

則稱(A,[,,]q,Jq)為q-形變3-李代數(shù), 簡稱q-3-李代數(shù).

定義2[11]設(shè)λ∈F為固定的元素.

1) 若A為域 F上的向量空間, 〈,,〉:A?3→A為A的3-元線性運算, 則稱序?qū)?A,〈,,〉)為域 F上的3-元代數(shù);

2) 如果線性映射d:A→A滿足

則稱d為3-元代數(shù)的權(quán)為λ的微分算子,A稱為3-元微分代數(shù);

3) 如果(A,〈,,〉)上的線性映射P:A→A, 滿足對任意的x1,x2,x3∈A, 有

則稱P為3-元代數(shù)的權(quán)為λ的Rota-Baxter算子. 記(A,〈,,〉,P)是權(quán)為λ的3-元Rota-Baxter代數(shù).

定義3設(shè)(L,[, ,]q,Jq)為域 F上的q-3-李代數(shù), 對任意的x1,x2,x3∈L, 如果線性映射P:L→L滿足

則稱P是q-3-李代數(shù)的權(quán)為λ的Rota-Baxter算子. 記(L,[,,]q,Jq,P)為Rota-Baxterq-3-李代數(shù).

2 由Rota-Baxter李代數(shù)實現(xiàn)Rota-Baxter q-3-李代數(shù)

首先討論由Rota-Baxter李代數(shù)(L,[,],P)實現(xiàn)Rota-Baxterq-3-李代數(shù).

[xi,xj,xk]qf=q2i-j-kf(xi)[xj,xk]+q2j-k-if(xj)[xk,xi]+q2k-i-jf(xk)[xi,xj],

(5)

Jq:L?5→F,Jq(xi,xj,xs,xt,xr)=qs+t+r.

定理1設(shè)(L,[,],P)是權(quán)為λ的Rota-Baxter李代數(shù),f∈L*(L的對偶空間)滿足?xi,xj∈L,f(xi,xj)=0, 則P是q-3-李代數(shù)(L,[,,]qf,Jq)的權(quán)為λ的Rota-Baxter算子當且僅當P滿足?xi,xj,xk∈L, 有

其中IdL:L→L為恒等映射.

證明: 首先， 由引理1, 對任意的xi,xj,xk∈L, 三元運算[,,]qf滿足式(5), 下面證明式(6)成立：

由式(4), 得

證畢.

其次， 討論由Rota-Baxter李代數(shù)(A,[,]k,P)實現(xiàn)Rota-Baxterq-3-李代數(shù). 設(shè)A是域 F上的交換結(jié)合代數(shù), {Lr,Mr|r∈}是A的一組基, 且具有如下乘法法則：

LrLs=Lr+s,MrMs=Mr+s,LrMs=0, ?r,s∈.

(7)

對任意固定整數(shù)k∈, 定義A上的導(dǎo)子dk, 使得

dk(aLr+bMt)=arLk+r, ?a,b∈F,r,t∈.

(8)

在A上定義乘積：

[u,v]k=dk(u)v-udk(v), ?u,v∈A,

(9)

則(A,[,]k)是李代數(shù).

引理2[12]設(shè)(A,[,]k)是由式(10)構(gòu)成的李代數(shù),f:A→F是非零線性函數(shù), 且滿足對任意r∈,f(Lr)=0, 則(A,[,,]fk)是3-李代數(shù), 其中

[Lr,Ls,Mt]fk=f(Mt)(r-s)Lr+s+k, ?Lr,Ls,Mt∈A.

(10)

定理2設(shè)(A,[,]k,P)是權(quán)為λ的Rota-Baxter李代數(shù),dk由式(8)定義, 滿足dkP=Pdk, 則(A,[,,]fk,P)是權(quán)為λ的Rota-Baxter 3-李代數(shù)當且僅當P滿足

f(Mt)[P(Lr),P(Ls)]fk∈Ker(P+λIdA), ?Lr,Ls,Mt∈A,

(11)

其中IdA:A→A是恒等映射.

證明: (A,[,,]fk)是由引理2定義的3-李代數(shù), 則對任意Lr,Ls,Mt∈A, 有

由Rota-Baxter 3-李代數(shù)的定義, 有

證畢.

(12)

(13)

引理3[10]設(shè)f:A→F是非零線性函數(shù), 滿足對任意r∈, 有f(Lr)=0, 則對任意固定的整數(shù)k, 三元有序組(A,[,,]qfk,Jq) 為q-3-李代數(shù), 其中?Xi,Xj,Xr,Xs,Xt∈A, 有

[Xr,Xs,Xt]qfk=f(Xr)[Xs,Xt]qk+f(Xs)[Xt,Xr]qk+f(Xt)[Xr,Xs]qk,

(14)

Jq:A?5→A,Jq(Xi,Xj,Xr,Xs,Xt)=qi+k+1.

根據(jù)定理2和引理3可得：

其中IdA:A→A為恒等映射.

下面討論由Rota-Baxter左對稱代數(shù)實現(xiàn)Rota-Baxterq-3-李代數(shù). 假設(shè)L是 F上的線性空間, *:L?L→L是2-元線性運算, 且對任意x,y,z∈L, 滿足

(x*y)*z-x*(y*z)=(y*x)*z-y*(x*z), ?x,y,z∈L,

(16)

則(L,*)稱為左對稱代數(shù). 顯然所有的結(jié)合代數(shù)都是左對稱代數(shù), 對任意左對稱代數(shù)L, 定義運算

[x,y]*∶=x*y-y*x,

(17)

則稱G(L)=(L,[,]*)為左對稱代數(shù)L的伴隨李代數(shù). 如果線性映射P:L→L是左對稱代數(shù)(L,*)的權(quán)為λ的Rota-Baxter算子, 即對任意x,y∈L,P滿足

P(x)*P(y)=P(P(x)*y+x*P(y)+λx*y), ?x,y∈L,

(18)

則P為其伴隨李代數(shù)G(L)=(L,[,]*)的權(quán)為λ的Rota-Baxter算子.

引理4[13]1) 設(shè)(L,*)是左對稱代數(shù),P是權(quán)為λ的Rota-Baxter算子, 則P為其伴隨李代數(shù)(L,[,]*)的權(quán)為λ的Rota-Baxter算子;

2) 設(shè)(L,*,P)是權(quán)為0的左對稱代數(shù), 則(L,·)是一個左對稱代數(shù), 其中

x·y∶=P(x)*y-y*P(x)+λx*y, ?x,y∈L,

(19)

且P是(L,·)的權(quán)為0的Rota-Baxter算子;

3) 設(shè)(A,·,P)是權(quán)為λ的Rota-Baxter交換結(jié)合代數(shù),D是(A,·)的導(dǎo)子, 且滿足DP=PD, 則(A,*,P)是權(quán)為λ的Rota-Baxter左對稱代數(shù), 其中對任意x,y∈A, 有

x*y=D(x)·y,

(20)

所以可得Rota-Baxter李代數(shù)(A,[,]*), 其中

[x,y]*=D(x)·y-D(y)·x, ?x,y∈A.

(21)

下面在線性空間A上定義3-元乘積[,,]fq*, 對任意xi,xj,xk∈A, 有

[xi,xj,xk]fq*=q2i-j-kf(xi)[xj,xk]*+q2j-k-if(xj)[xi,xk]*+q2k-i-jf(xk)[xi,xj]*,

(22)

Jq:A?5→F,Jq(xi,xj,xs,xt,xr)=qs+t+r.

顯然(A,[,,]fq*,Jq)是q-3-李代數(shù).

根據(jù)引理4和定理1可得：

定理4設(shè)(A,*,P)是權(quán)為λ的Rota-Baxter左對稱代數(shù), 對任意的xi,xj,xk∈A,i,j,k∈,f∈A*滿足f(xi*xj-xj*xi)=0, 則P是q-3-李代數(shù)(A,[,,]fq*,Jq)的權(quán)為λ的Rota-Baxter算子當且僅當

其中IdA:A→A為恒等映射.

3 由Rota-Baxter群代數(shù)實現(xiàn)Rota-Baxter q-3-李代數(shù)

引理5[10]設(shè)(G,+)是Abel群, F[G]是群代數(shù),α∈Hom(G,F+). 則(F[G],[,,]q,Jq)是q-3-李代數(shù),I0是q-3-李代數(shù)(F[G],[,,]q,Jq)的極大理想, 其中對任意fg,fh,fu∈F[G], 有

[fg,fh,fu]q=q-α(u)(α(u-h)fh+u-g+α(g-u)fg+u-h+α(h-g)fg+h-u),

(24)

Jq(fs,ft,fg,fh,fu)=qα(g)+α(h)+2α(u).

由引理4和引理5, 設(shè)(F[G],·,P)是權(quán)為λ的Rota-Baxter群代數(shù),α*: F[G]→F[G] 為(F[G],·)的導(dǎo)子, 滿足

α*P=Pα*,ωα*+α*ω=0,

則(F[G],*,P)是權(quán)為λ的Rota-Baxter左對稱代數(shù), 其中對任意fh,fu∈F[G], 滿足

fh*fu=fh·α*(fu).

(25)

因此(F[G],[,]*)為Rota-Baxter李代數(shù), 其中

(26)

從而

[P(fh),P(fu)]*=P([fh,P(fu)]*+[P(fh),fu]*+λ[fh,fu]*),

(27)

即

定理5設(shè)(F[G],[,]*,P)是權(quán)為λ的Rota-Baxter李代數(shù), 則P是q-3-李代數(shù)(F,[,,]q,Jq)的權(quán)為λ的Rota-Baxter算子當且僅當對任意的fg,fh,fu∈F[G],P滿足

(29)

其中IdF[G]: F[G]→F[G]為恒等映射.

證明: 根據(jù)引理5, 對任意fg,fh,fu∈F[G], 有

證畢.