銅箔一體機(jī)張力的模型預(yù)測(cè)控制

王 同，夏 春

（安徽銅冠銅箔有限公司，安徽池州 247100）

0 引言

隨著5G時(shí)代的來(lái)臨，市場(chǎng)對(duì)高端電子銅箔的需求日益增加，提高6μm及以下等超薄電子銅箔的產(chǎn)量和質(zhì)量是銅箔企業(yè)在當(dāng)今時(shí)代面臨的機(jī)遇和挑戰(zhàn)。張力是影響電子銅箔產(chǎn)量和質(zhì)量的關(guān)鍵因素之一[1]。張力過(guò)大導(dǎo)致電子銅箔緊繃，難以抵御非水平輥產(chǎn)生的徑向剪切力，容易發(fā)生撕邊現(xiàn)象；張力過(guò)小導(dǎo)致箔面松弛，容易受到機(jī)械抖動(dòng)影響而發(fā)生起褶現(xiàn)象。張力控制分為恒張力控制和變張力控制[2]，收放卷張力控制受到卷徑變化影響都是變張力控制。因此，需要合適的張力控制方法同時(shí)具備穩(wěn)態(tài)波動(dòng)小和動(dòng)態(tài)響應(yīng)好的特點(diǎn)。

現(xiàn)有的生箔一體機(jī)設(shè)備有很大一部分來(lái)自于國(guó)外進(jìn)口，難以進(jìn)行結(jié)構(gòu)和功能上的改造，如何在維持現(xiàn)有結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上選擇合適的控制方法達(dá)到預(yù)期的張力控制效果是一個(gè)值得研究的問(wèn)題。由于生箔機(jī)張力模型描述的是具有復(fù)雜非線性強(qiáng)耦合時(shí)變特點(diǎn)的系統(tǒng)[2]，因此相應(yīng)的控制方法必須具備較強(qiáng)的魯棒性和擾動(dòng)抑制能力。常見(jiàn)的張力控制方法包括PID、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[3]、模糊控制[2-4]和模型預(yù)測(cè)控制[1]等。其中神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和模糊控制實(shí)現(xiàn)復(fù)雜，難以移植到現(xiàn)有的結(jié)構(gòu)上。傳統(tǒng)的PID方法結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、實(shí)現(xiàn)容易，但是由于銅箔彈性模量大、外環(huán)控制周期長(zhǎng)、控制器性能受限，導(dǎo)致動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度慢且超調(diào)大。而模型預(yù)測(cè)控制不受外環(huán)控制周期限制，且具有響應(yīng)速度快、超調(diào)小的特點(diǎn)，因此選擇設(shè)計(jì)基于模型預(yù)測(cè)控制的控制器。

1 銅箔一體機(jī)張力模型建立

張力是由于彈性物體發(fā)生彈性形變而產(chǎn)生的。由于銅箔的彈性模量較大，根據(jù)凱爾文-沃伊特模型，可以忽略微分項(xiàng)。簡(jiǎn)化后的銅箔張力表達(dá)式為：

T=εEA（1）式中：ε為單位長(zhǎng)度物體拉伸部分的形變量；A為物體的橫截面積；E為材料的彈性模量；T為銅箔張力。

銅箔一體機(jī)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。該系統(tǒng)呈現(xiàn)出多輸入多輸出的特性。電機(jī)1由變頻器單獨(dú)控制，用于設(shè)置機(jī)列線速度參考。通過(guò)控制電機(jī)2和電機(jī)3的轉(zhuǎn)速可以分別控制剝離和收卷張力。對(duì)應(yīng)于剝離、加工處理和收卷的不同功能需求，將系統(tǒng)張力分為Ⅰ段、Ⅲ段和Ⅱ段。因此，整個(gè)系統(tǒng)的張力模型分為3段，首先對(duì)剝離段（Ⅰ段）張力建模，如圖2所示[2-3,5-9]。

圖1 生箔機(jī)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖

根據(jù)物體拉伸前后質(zhì)量守恒，可以得到關(guān)于拉伸前后橫截面積A和拉伸長(zhǎng)度dx的表達(dá)式：

式中： ρ為物體的密度；n為處于未拉伸狀態(tài)。由于：

圖2 剝離段張力模型

所以，根據(jù)式（2）～（3）可以得到拉伸后橫截面積和拉伸前橫截面積及形變量的關(guān)系：

根據(jù)質(zhì)量守恒定律，Ⅰ段的質(zhì)量變化量等于單位時(shí)間內(nèi)進(jìn)入該段的質(zhì)量減去離開(kāi)該段的質(zhì)量，即：

式中：i為進(jìn)入；o為離開(kāi)；L為Ⅰ段的長(zhǎng)度；v為銅箔的線速度；A為Ⅰ段的橫截面積；Ai為進(jìn)入Ⅰ段前的橫截面積；Ao為離開(kāi)Ⅰ段后的橫截面積。根據(jù)拉伸前后銅箔密度不變，得到ρ=ρi=ρo，將式(4)代入式(5)并作相應(yīng)變換得到：

為了和Ⅱ段、Ⅲ段加以區(qū)分，令V為進(jìn)入Ⅰ段的銅箔線速度，也即鈦輥的線速度；V1為離開(kāi)Ⅰ段的銅箔線速度，由電機(jī)2控制。銅箔從鈦輥上析出后進(jìn)入Ⅰ段，由于銅箔均勻析出，可以認(rèn)為進(jìn)入Ⅰ段前銅箔拉伸形變量ε0=0。因?yàn)?/p>

式中：T為Ⅰ段的張力。至此，得到Ⅰ段的張力模型。同理可以得到Ⅱ段，即收卷段的張力模型為：

式中：V1為進(jìn)入Ⅱ段的線速度；V2為離開(kāi)Ⅱ段的線速度，也即收卷輥的線速度。

III段的張力模型為：

式中表明穩(wěn)態(tài)時(shí)，III段的張力和Ⅰ段的張力相等，原因在于兩個(gè)壓輥由同一個(gè)電機(jī)控制，線速度相等。

收卷段張力模型如圖3所示。

系統(tǒng)的連續(xù)狀態(tài)空間方程為：

其中，狀態(tài)變量為：

圖3 收卷段張力模型

2 模型預(yù)測(cè)控制

模型預(yù)測(cè)控制把控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)優(yōu)化問(wèn)題，根據(jù)評(píng)價(jià)函數(shù)選擇激勵(lì)動(dòng)作。模型預(yù)測(cè)控制的思路是采樣當(dāng)前時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)，根據(jù)系統(tǒng)模型，預(yù)測(cè)未來(lái)一段時(shí)間內(nèi)的輸入增量引起的系統(tǒng)狀態(tài)變化，將預(yù)測(cè)得到的未來(lái)系統(tǒng)狀態(tài)代入到評(píng)價(jià)函數(shù)中，選擇評(píng)價(jià)最高的輸入增量作為當(dāng)前時(shí)刻的激勵(lì)。預(yù)測(cè)的時(shí)間步數(shù)為NP，施加控制的時(shí)間步數(shù)為Nc，超出預(yù)測(cè)步數(shù)的控制沒(méi)有意義，因此，Np≥Nc。根據(jù)預(yù)測(cè)時(shí)間步數(shù)是否為1，可以分為單步預(yù)測(cè)和多步預(yù)測(cè)。單步預(yù)測(cè)僅考慮下一個(gè)時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)，多步預(yù)測(cè)考慮未來(lái)多個(gè)時(shí)刻系統(tǒng)狀態(tài)的綜合評(píng)價(jià)，因此，多步預(yù)測(cè)在動(dòng)態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)定性上通常優(yōu)于單步預(yù)測(cè)。這里采用多步預(yù)測(cè)的方法，并且使用滾動(dòng)時(shí)域控制，每次僅采用增量控制序列的第一個(gè)，可以提高控制器的魯棒性和抗擾動(dòng)能力。

為了得到增量控制序列，將離散后的狀態(tài)空間模型表示為增強(qiáng)模型[9]。其中，Δu(k)=u(k)-u(k-1)為輸入的

式中：y( ki+N| ki)T為基于當(dāng)前ki時(shí)刻、N(N∈{1 , …,Np})時(shí)刻后期望輸出的列向量。增量控制序列為：

評(píng)價(jià)函數(shù)選擇為預(yù)測(cè)時(shí)間步數(shù)內(nèi)期望輸出和實(shí)際輸出的誤差平方和，如下式所示：

由于評(píng)價(jià)函數(shù)是一個(gè)凸函數(shù)，因此可以用解析的方法得到全局最小值，使得評(píng)價(jià)函數(shù)最小的解如下式所示：

根據(jù)滾動(dòng)時(shí)域控制，對(duì)于整個(gè)輸入增量序列，僅僅取第一個(gè)作為下一時(shí)刻的控制輸入增量。

3 仿真驗(yàn)證

為了觀察對(duì)比PID控制和模型預(yù)測(cè)控制的效果，在Matlab中，分別搭建了用PID和用模型預(yù)測(cè)控制的仿真實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。控制框圖如圖4所示。

圖4 控制框圖

根據(jù)實(shí)際生產(chǎn)的情況，假設(shè)鈦輥的線速度為機(jī)列參考線速度，且鈦輥的線速度V由變頻器單獨(dú)控制成S曲線。仿真參數(shù)如表1所示。

表1 仿真參數(shù)設(shè)置

仿真從t=0時(shí)刻，鈦輥速度從V=0開(kāi)始按照S曲線上升，給定放卷張力為Tref=400 N，收卷張力為T2ref=600 N。系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)對(duì)比如圖5所示，可以看到模型預(yù)測(cè)控制比PID控制有更快的動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度，并且超調(diào)更小。

圖5 PID和模型預(yù)測(cè)控制控制效果對(duì)比

4 結(jié)束語(yǔ)

本文介紹了銅箔一體機(jī)的張力模型，該模型能較為精確地描述系統(tǒng)行為，并且具有較好的控制效果。張力外環(huán)的時(shí)間常數(shù)較大，且銅箔的彈性模量較大，傳統(tǒng)PID控制動(dòng)態(tài)響應(yīng)較慢且超調(diào)較大。采用模型預(yù)測(cè)控制，在低頻的情況下能保證計(jì)算時(shí)間，同時(shí)比傳統(tǒng)PID控制有更好的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。在生箔機(jī)等對(duì)張力控制性能要求較高的領(lǐng)域可以使用模型預(yù)測(cè)控制。