錯(cuò)誤探因問題反思現(xiàn)象解剖

錢小剛

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一個(gè)重要的思維品質(zhì)就是反思。通過本章的學(xué)習(xí)，我們不僅要梳理、建構(gòu)知識(shí)體系，如這一章各知識(shí)之間的聯(lián)系，全等三角形與其他內(nèi)容的聯(lián)系，而且要學(xué)會(huì)反思，如在學(xué)習(xí)中有哪些典型錯(cuò)誤，原因何在。只有不斷總結(jié)、反思，才能完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，提升數(shù)學(xué)能力，減少甚至避免不必要的錯(cuò)誤發(fā)生。下面是對(duì)同學(xué)們學(xué)習(xí)本章時(shí)的錯(cuò)誤探因、問題反思和現(xiàn)象解剖，希望能對(duì)同學(xué)們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有所幫助。

一、在錯(cuò)誤探因中掌握基本方法

在全等三角形判定中，有同學(xué)常常因?yàn)闂l件使用不當(dāng)而導(dǎo)致出錯(cuò)。

例1 已知：如圖1，點(diǎn)A、D、C、B 在同一直線上，AD=BC，AE=BF，CE=DF。求證：DF∥CE。

【錯(cuò)解】證明：在△AEC 與△BFD 中，

【錯(cuò)誤探因】上述的證明運(yùn)用了“SSS”，然而，條件中相等的線段都是三角形的邊嗎？顯然，AD 和BC 不符合全等證明的要求。解決的辦法是利用線段的和差關(guān)系將AD=BC 轉(zhuǎn)化為AC=DB。

二、在問題反思中提升思維品質(zhì)

不少同學(xué)混淆全等三角形兩種表達(dá)方式，亂用邊角對(duì)應(yīng)關(guān)系而出錯(cuò)。

例2 如圖2，∠CAB=∠EBA=90°，D在線段AB 上，AC=3，AD=4。若在射線BE 上存在點(diǎn)F，使△FBD 與△CAD 全等，求AB 的長(zhǎng)。

【錯(cuò)解】由△FBD 與△CAD 全等得BD=AD=4，所以AB=AD+DB=4+4=8。

【問題反思】?jī)蓚€(gè)三角形的全等關(guān)系有兩種表達(dá)方式，第一種是用符號(hào)表示，如“△FBD≌△CAD”;第二種是用文字表示，如“△FBD 與△CAD 全等”。這兩種表達(dá)方式有明顯的區(qū)別。第一種方式不僅表示這兩個(gè)三角形全等，而且明確頂點(diǎn)F、B、D 與頂點(diǎn)C、A、D 分別對(duì)應(yīng)，進(jìn)而它們的3 條邊、3 個(gè)角也分別具有對(duì)應(yīng)關(guān)系。第二種方式只能說明這兩個(gè)三角形是全等的，但沒有明確頂點(diǎn)、邊、角的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

具體到本題，因?yàn)椤螦=∠B=90°，所以頂點(diǎn)A 與B 是對(duì)應(yīng)的，由“△FBD 與△CAD全等”得到兩種情形，一種是△FBD≌△DAC（如圖3），此時(shí)DB=AC=3，故AB=4+3=7;另一種是△FBD≌△CAD（如圖4），此時(shí)DB=AD=4，故AB=4+4=8。

三、在現(xiàn)象解剖中優(yōu)化思維方式

有些同學(xué)遇到通過全等三角形證明線段、角的關(guān)系時(shí)，難以合理利用條件和圖形信息去正確、有效地構(gòu)造三角形，導(dǎo)致出現(xiàn)思維障礙。

例3 已知：如圖5，AD=BC，AC=BD。求證：∠D=∠C。

同學(xué)們?cè)诮鉀Q該問題時(shí)出現(xiàn)了這樣幾種現(xiàn)象：

【現(xiàn)象一】圖形中有兩個(gè)顯性的三角形△ADO 與△BCO。要證明∠D=∠C，一些同學(xué)比較容易想到這兩個(gè)三角形，但條件AC=BD 并非這兩個(gè)顯性的三角形的邊，故難以證明它們?nèi)龋瑥亩鴮?dǎo)致思路受阻。

【現(xiàn)象二】如圖6，連接CD，用“SSS”證明△ACD≌△BDC，得到∠A=∠B 后，接下來有兩種可能的情況：

一是結(jié)合條件∠DOA= ∠COB 和AD=BC，用“AAS”證明△ADO≌△BCO，從而得到∠ADB=∠BCA;

二是由∠ADB=180° - ∠A- ∠DOA，∠BCA=180°-∠B-∠COB 得到結(jié)論。

【現(xiàn)象解剖】出現(xiàn)這兩種解題現(xiàn)象的根本原因是一些同學(xué)不能根據(jù)條件正確有效地構(gòu)造三角形。

就“現(xiàn)象一”而言，當(dāng)證明圖中已知的三角形全等比較困難時(shí)，應(yīng)考慮能否將欲證的邊或角轉(zhuǎn)化到其他三角形之中。結(jié)合條件“AD=BC、AC=BD”，結(jié)論“∠D=∠C”和圖形發(fā)現(xiàn)，AD、∠D、BD 應(yīng)該是△ABD 中“兩邊及其夾角”的關(guān)系，只要連接AB，便得到△ABD，同理得到△BAC，而這兩個(gè)三角形的全等顯而易見。

在“現(xiàn)象二”中，雖然能構(gòu)成三角形，也容易證得它們?nèi)?，但由于沒有合理利用圖形，由所證得的全等三角形不能直接得出結(jié)論，導(dǎo)致證明過程煩瑣冗長(zhǎng)。