帶最低保障的DC 養(yǎng)老金計(jì)劃的最優(yōu)投資

呂文欣， 董迎輝， 吳 桑

（蘇州科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州215009）

保險(xiǎn)公司也面臨投資風(fēng)險(xiǎn)，關(guān)于保險(xiǎn)公司所發(fā)行的具有投資功能的險(xiǎn)種的定價(jià)方面已有了大量的研究[1-3]，但在保險(xiǎn)公司最優(yōu)投資方面的研究并不多。 由于通貨膨脹以及人口的老齡化，使得養(yǎng)老金的投資在近年來面臨一定的風(fēng)險(xiǎn)，目前確定繳費(fèi)型（Defined Contribution，DC）養(yǎng)老金計(jì)劃因?qū)⑼顿Y風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移給投保人而受到很大的關(guān)注。 DC 型養(yǎng)老金通過建立個(gè)人賬戶將繳費(fèi)投資于金融市場(chǎng)，實(shí)現(xiàn)資金的累積和增值，以滿足養(yǎng)老金給付需求。由于DC 養(yǎng)老金計(jì)劃主要受退休前經(jīng)濟(jì)行為的影響，因此，DC 養(yǎng)老金管理者希望在資金積累階段找到最優(yōu)的投資組合。 很多文獻(xiàn)都研究了DC 養(yǎng)老金的最優(yōu)投資策略。

Boulier[4]等首次研究了常利率風(fēng)險(xiǎn)下DC 養(yǎng)老金的連續(xù)模型，并考慮CRRA 效用最大化準(zhǔn)則下的DC 養(yǎng)老金的最優(yōu)投資問題。 Dong[5]在賣空約束和組合保險(xiǎn)條件下，研究了DC 養(yǎng)老金計(jì)劃的最優(yōu)投資。 王傳玉[6]在DC 養(yǎng)老金終端財(cái)富外部保障約束下，引入歐式看漲期權(quán)，考慮隨機(jī)通脹環(huán)境下的退休時(shí)刻終端財(cái)富期望效用最大化問題。 李仲飛[7]考慮了基于動(dòng)態(tài)投資目標(biāo)下DC 型養(yǎng)老基金在退休前累積階段的最優(yōu)資產(chǎn)配置問題。 Guan 和Liang[8]研究了損失厭惡和VAR 約束下DC 養(yǎng)老金的最優(yōu)投資問題。 文章將考慮文獻(xiàn)[6]中的DC養(yǎng)老金的利潤(rùn)共享原則，該原則將會(huì)導(dǎo)致參與DC 養(yǎng)老金計(jì)劃的員工到期收益的非凹期望效用最大化問題。許多作者用凹化方法解決該問題[9-10]。 筆者將采用由Cox 和Huang[11]、Karatzas[12]等人提出的鞅方法，結(jié)合凹化方法來研究DC 養(yǎng)老金的最優(yōu)投資組合問題。

論文結(jié)構(gòu)如下：第一部分闡述了DC 養(yǎng)老金經(jīng)理所面臨的最優(yōu)投資問題；第二部分利用凹化方法和拉格朗日對(duì)偶法得出帶最低保障的最優(yōu)終值財(cái)富及其財(cái)富過程；第三部分是結(jié)論。

1 優(yōu)化問題

令（Ω，F(xiàn)，F(xiàn)，P）為一個(gè)帶過濾的完備概率空間，其中F:={Ft}0≤t≤T，是一個(gè)滿足通常條件的過濾。假設(shè)文中所有隨機(jī)變量和隨機(jī)過程都定義在該測(cè)度空間中。

假設(shè)金融市場(chǎng)上存在兩種可交易資產(chǎn)：現(xiàn)金和股票。

設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)現(xiàn)金賬戶在t 時(shí)刻的價(jià)格S0（t）滿足方程

其中r＞0 為固定利率。

設(shè)股票的價(jià)格過程如下

其中σ 為正的常數(shù)，W（t）是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。

養(yǎng)老金管理者在研究最優(yōu)投資策略時(shí)，應(yīng)該考慮從繳費(fèi)者那里得到的繳費(fèi)。 一般來說，員工的工資常常和金融市場(chǎng)有關(guān)，因此，這里考慮一個(gè)隨機(jī)繳費(fèi)率。 假設(shè)繳費(fèi)率C（t）滿足如下隨機(jī)過程

其中μc、σc、C0均為正的常數(shù)。

假設(shè)x0為養(yǎng)老金賬戶的初始資金。 令π（t）和1-π（t）分別為投資在股票和現(xiàn)金的資金份額。 則DC 養(yǎng)老金計(jì)劃的財(cái)富過程Xπ（t）滿足

在到期收益分配時(shí)，將采用利潤(rùn)共享原則。 在該原則下，政府能夠?yàn)閰⑴c養(yǎng)老金計(jì)劃的員工提供最低保障收益，若資產(chǎn)價(jià)值高于最低收益，則參與養(yǎng)老金計(jì)劃的員工應(yīng)與政府共同分享盈余資產(chǎn)。 假設(shè)在T 時(shí)刻，DC 養(yǎng)老金計(jì)劃提供的最低保障收益為G。 則在利潤(rùn)共享原則下，考慮最低保障的DC 養(yǎng)老金的終端財(cái)富值為

其中0＜α≤1。

將在效用最大化原則下考慮DC 養(yǎng)老金的最優(yōu)投資問題。 假設(shè)養(yǎng)老金管理者的效用函數(shù)為U（x），其中U 是在[0，∞）上嚴(yán)格遞增、嚴(yán)格凹的連續(xù)可微函數(shù)，且滿足

上述條件確保函數(shù)U′是嚴(yán)格遞減的并且具有一個(gè)嚴(yán)格遞減的逆函數(shù)I：（0，∞）→（0，∞），滿足

定義1若對(duì)所有t∈[0，T]，π（t）是一個(gè)F －循序可測(cè)的過程，且滿足以及方程（2）存在唯一的強(qiáng)解Xπ（t），則稱策略集{π:=π（t）:t∈[0，T]}是可允許的。 用A 表示所有可允許的投資策略所組成的集合。

養(yǎng)老金經(jīng)理的目標(biāo)是通過使參與養(yǎng)老金計(jì)劃的員工到期收益的期望效用達(dá)到最大化來尋找最優(yōu)的資產(chǎn)配置。 因此，考慮下面的優(yōu)化問題

2 DC 養(yǎng)老金的最優(yōu)投資

為了求解優(yōu)化問題（4），先來介紹完備市場(chǎng)的定價(jià)核。 由于金融市場(chǎng)是完備的，因此，存在唯一的定價(jià)核H（t）滿足其中ξ＝（μ－r）/σ。

為了確保最優(yōu)投資策略的存在性，假設(shè)以下的可積性條件。

假設(shè)1假設(shè)對(duì)任意y＞0，有E[U（I（yH（T）））]＜∞并且E[I（yH（T））]＜∞。

引理1對(duì)任意λ∈R，k＞0，有

其中

β（t）=（r+（1/2）ξ2）（T-t），γ（t）＝是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量的累積分布函數(shù)。

證明由（5）式可得

其中

則

經(jīng)簡(jiǎn)單計(jì)算即得（6）式。

為了求解（4）式，定義

則在完備市場(chǎng)中，問題（4）可寫為

注意到ψ（x）在[G，∞）上是凹函數(shù)，但在[0，∞）上并不是凹函數(shù)。 將運(yùn)用文獻(xiàn)[13]提出的標(biāo)準(zhǔn)拉格朗日對(duì)偶方法結(jié)合文獻(xiàn)[7－8]提出的凹化方法來求解上述問題。

用fc表示在D 上f 的凹化包絡(luò)

命題1ψ（x）的凹化包絡(luò)ψc為

其中k=αU′（G+α（m－G）），m＞G 是下列方程的唯一解

證明從點(diǎn)（0，U（G））作與ψ（x）相切的直線，切點(diǎn)記為（m，ψ（m））。只需證明方程（12）在（G，∞）上存在唯一的解。 記由于g′（x）＝－xψ″（x）＞0，所以g（x）是一個(gè)（G，∞）上的單調(diào)遞增函數(shù)，并且

因此，方程（12）存在唯一的解m∈（G，∞）。

其中ψ（x）及其凹化包絡(luò)函數(shù)ψc（x）的圖像如圖1 所示。

圖1 ψ（x）及ψc（x）圖像

命題2優(yōu)化問題（10）的最優(yōu)終值財(cái)富為

其中I（·）是U′（·）的逆函數(shù)，拉格朗日乘子β*＞0 滿足

證明問題（10）等價(jià)于如下問題

其中

為了解決上述問題，先對(duì)固定的乘子β＞0 來研究以下問題

通過逐點(diǎn)求解最優(yōu)化問題，可以找到（14）式的最優(yōu)解Xπ*，β*（T）。 仍需解決最優(yōu)化問題

事實(shí)上，問題（15）的最優(yōu)解β*可以通過對(duì)偶理論中的互補(bǔ)松弛條件直接得到。 首先，求解問題（14）。 對(duì)任意y＞0，先解出的最大值點(diǎn)x*（y）。

由凹化方法及命題1 易得最大值點(diǎn)x*（y）為

則對(duì)每一個(gè)固定的β＞0，問題（14）的最優(yōu)解為

顯然，V（β）=E[H（T）Xπ*，β*（T）]是關(guān)于β＞0 的連續(xù)減函數(shù)，并且因此，存在唯一解β*＞0 滿足這意味著Xπ*，β*（T）是問題（10）的一個(gè)可行解。 仍需證明Xπ*，β*（T）確實(shí)是（10）式的最優(yōu)解。 令Xπ（T）為滿足（10）式中預(yù)算限制的任意終值財(cái)富。 則有

其中第一個(gè)不等式成立是由于

第二個(gè)不等式成立是由于對(duì)固定β*＞0，Xπ*，β*（T）是問題（14）的最優(yōu)解。

在求得最優(yōu)終值財(cái)富后，可以求出最優(yōu)財(cái)富過程和最優(yōu)投資的表達(dá)式。

命題3最優(yōu)化問題（10）在t 時(shí)刻的最優(yōu)財(cái)富過程如下

其中β*＞0 滿足C（s）ds]=x0，d2（x，y，t）=d1（x，H（t），t）-γ（t），η（x，t）由（9）式給出，d1（x，y，t）由（7）式給出，φ 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)。

證明由資產(chǎn)定價(jià)的無(wú)套利理論可得

其中

將（13）式代入F1（t，H（t））并利用引理1 及（8）式得

由（1）式與（8）式可得

則立得

將（19）和（20）式代入（18）式可得證。

命題4最優(yōu)化問題（10）在t 時(shí)刻投資于股票的最優(yōu)比例為

其中

證明令Xπ*，β*（t）=F（β*，H（t），t），應(yīng)用伊藤公式可以得到如下微分方程

比較（2）和（22）式dW（t）前的系數(shù)，即可得到最優(yōu)投資策略。

3 結(jié)語(yǔ)

考慮在利潤(rùn)共享原則下帶有最低保障的DC 養(yǎng)老金基于效用最大化原則的最優(yōu)投資問題。 由于最低保障的存在，使得該效用最大化問題是一個(gè)非凹效用最大化問題。 筆者采用拉格朗日對(duì)偶方法以及凹化技巧解決了DC 養(yǎng)老金的最優(yōu)投資組合問題， 給出了DC 養(yǎng)老金計(jì)劃的最優(yōu)財(cái)富過程和最優(yōu)投資策略的通式表達(dá)式。