掌握轉(zhuǎn)化思想 以不變應(yīng)萬(wàn)變

文 何 平

方程是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一。初中階段我們經(jīng)歷了解一元一次方程、二（三）元一次方程組、分式方程、一元二次方程，求方程的解最終都是轉(zhuǎn)化為x=a的形式，上述方程的解法都離不開轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。對(duì)于一元二次方程，常見(jiàn)的解法有直接開平方法、配方法、公式法和因式分解法，這幾種常見(jiàn)解法之間既有區(qū)別也有聯(lián)系。下面我們通過(guò)具體的問(wèn)題一起來(lái)剖析它們之間的關(guān)系。

例1解方程：x2+2x+1=9。

【方法一】觀察方程左邊，我們可以發(fā)現(xiàn)它符合完全平方公式，那么我們可以利用配方法、直接開平方法求解。

解：（x+1）2=9，

x+1=±3，

∴x1=2，x2=-4。

【點(diǎn)評(píng)】配方法是通過(guò)將方程中含x的項(xiàng)配成完全平方的形式來(lái)解一元二次方程的方法。當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)，配方法的關(guān)鍵是將方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為1時(shí)，先把二次項(xiàng)系數(shù)化為1，然后再配方。因此，配方法適合求解所有的一元二次方程。

【方法二】觀察這個(gè)方程，我們還可以把方程整理成一般形式，選擇公式法求解。

解：把方程化成一般形式，得

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c為常數(shù)，a≠0），當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，同學(xué)們只需要將各項(xiàng)系數(shù)代入公式即可求解。公式法同樣適合求解所有的一元二次方程。

【方法三】方程左邊可以利用完全平方公式，然后把方程右邊的常數(shù)9移項(xiàng)后再利用平方差公式分解因式，因此我們還可以選擇因式分解法。

解：（x+1）2-9=0，

（x+1+3）（x+1-3）=0，

（x+4）（x-2）=0，

∴x+4=0或x-2=0。

∴x1=-4，x2=2。

【點(diǎn)評(píng)】在解方程時(shí)，我們要注意觀察方程的特點(diǎn)，思考能不能用提取公因式、完全平方公式、平方差公式等進(jìn)行因式分解，從而將一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程的積的形式，實(shí)現(xiàn)降次的目的。因式分解法在解方程時(shí)比較簡(jiǎn)單，但是并不適合所有的一元二次方程，需要我們靈活選用。

【總結(jié)】解一元二次方程的基本思路是將二次方程轉(zhuǎn)化為一次方程，實(shí)現(xiàn)降次的目的。

降次有兩條路徑：開方和因式分解。解一元二次方程時(shí)，要開方需要先配方，利用平方根的定義將方程轉(zhuǎn)化為一次方程，實(shí)現(xiàn)降次的目的；因式分解法是要先將方程的一邊化為兩個(gè)一次因式相乘，另一邊化為0，再分別使這兩個(gè)一次因式等于0，其實(shí)配方法也是特殊的因式分解法。另外，通過(guò)配方法，我們能推出求根公式，公式法是直接利用求根公式解方程。具體如下圖：

配方法、公式法適用于所有的一元二次方程，因式分解法在解某些一元二次方程時(shí)比較簡(jiǎn)便，因此我們要根據(jù)方程的特點(diǎn)，靈活選用各種解法，以優(yōu)化思維。下面我們?cè)賮?lái)看看如何利用轉(zhuǎn)化的思想解決不熟悉的方程。

例2解方程：x3-2x2-9x+18=0。

【分析】這是一元三次方程，類比之前各類方程的解法，依然應(yīng)該通過(guò)轉(zhuǎn)化思想實(shí)現(xiàn)降次的目的。觀察方程的特點(diǎn)，我們可以分項(xiàng)組合，提取公因式，利用因式分解法求解。

解：x2（x-2）-9（x-2）=0，

（x-2）（x2-9）=0，

（x-2）（x+3）（x-3）=0。

∴x1=2，x2=-3，x3=3。

變 式解 方 程：（x2+x-3）（x2+x-5）=3。

【分析】這是一個(gè)高次方程。觀察方程的特點(diǎn)，我們可以利用換元法實(shí)現(xiàn)降次的目的，從而將方程轉(zhuǎn)化為熟悉的方程求解。

解：設(shè)x2+x=t，

則方程可以化為：

解得x1=2，x2=-3，x3=-2，x4=1。

【點(diǎn)評(píng)】高次方程的基本解法思路依然是通過(guò)轉(zhuǎn)化思想，把高次方程逐漸轉(zhuǎn)化為一次方程求解。

例3解方程=-x。

【分析】這是無(wú)理方程（根號(hào)下含有未知數(shù)的方程）。我們可以通過(guò)將方程兩邊同時(shí)平方，把無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為有理方程求解。

解：方程兩邊同時(shí)平方，得

經(jīng)檢驗(yàn)，x1=5不滿足原方程，舍去。

∴x=-1是原方程的解。

變式解方程：2-=-x。

解：移項(xiàng)得=2+x，

方程兩邊同時(shí)平方，得：

經(jīng)檢驗(yàn)，x1=1，x2=-1都是原方程的解。

【點(diǎn)評(píng)】無(wú)理方程的基本解法思路仍然是通過(guò)轉(zhuǎn)化思想，把無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為有理方程，具體的策略是方程兩邊同時(shí)平方。但是解這類方程時(shí)我們要注意驗(yàn)根，防止產(chǎn)生增根。

同學(xué)們，方程這個(gè)大家族通?？梢苑譃橛欣矸匠毯蜔o(wú)理方程，有理方程又包括整式方程和分式方程。我們熟悉的一元一次方程、二元一次方程組、一元二次方程都是整式方程。在解一元二次方程時(shí)，利用轉(zhuǎn)化思想實(shí)現(xiàn)降次；在解二元一次方程組時(shí)利用轉(zhuǎn)化思想實(shí)現(xiàn)消元；在解分式方程時(shí)，利用轉(zhuǎn)化思想，通過(guò)去分母轉(zhuǎn)化為整式方程；遇到無(wú)理方程，同樣通過(guò)去根號(hào)轉(zhuǎn)化為有理方程來(lái)解。具體如下圖：

方程千變?nèi)f化，但是解方程的基本思路都是通過(guò)轉(zhuǎn)化思想，最終轉(zhuǎn)化為x=a的形式。在解題過(guò)程中，我們需要結(jié)合方程特點(diǎn)，靈活選用解法，體會(huì)轉(zhuǎn)化思想，以不變應(yīng)萬(wàn)變。