基于特征多項(xiàng)式的負(fù)群時(shí)延濾波器設(shè)計(jì)方法

陳道名，游 彬

(杭州電子科技大學(xué)電子信息學(xué)院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

隨著微波毫米波通信技術(shù)的迅速發(fā)展，通信系統(tǒng)的群時(shí)延因長群時(shí)延導(dǎo)致信號失真而備受關(guān)注。當(dāng)信號通過通信系統(tǒng)中的各個(gè)器件時(shí)，往往產(chǎn)生正群時(shí)延，過長的正群時(shí)延導(dǎo)致信號失真，使系統(tǒng)無法正常工作。負(fù)群時(shí)延(Negative Group Delay，NGD)電路是補(bǔ)償系統(tǒng)正群時(shí)延和減小通帶群時(shí)延變化的有效方法，濾波器作為通信系統(tǒng)中的關(guān)鍵器件，其負(fù)群時(shí)延化逐漸成為研究熱點(diǎn)。電路結(jié)構(gòu)能夠用于負(fù)群時(shí)延濾波器的物理實(shí)現(xiàn)，如微帶線加載電阻結(jié)構(gòu)[1]、傳輸線和耦合器結(jié)構(gòu)[2]、缺陷微帶結(jié)構(gòu)[3]等，但是，缺乏較為完備的設(shè)計(jì)理論，難以滿足系統(tǒng)化、靈活化的設(shè)計(jì)需求。因此，人們開始關(guān)注負(fù)群時(shí)延濾波器設(shè)計(jì)的理論研究，如利用耦合矩陣法設(shè)計(jì)可調(diào)諧負(fù)群時(shí)延濾波器[4]、基于有損耦合矩陣法設(shè)計(jì)負(fù)群時(shí)延濾波器[5-6]等。但是，仍存在一些限制與不足，如特征多項(xiàng)式不易合成、耦合矩陣結(jié)構(gòu)固定、濾波器階數(shù)受限等。

為了更系統(tǒng)地設(shè)計(jì)滿足不同要求的負(fù)群時(shí)延濾波器，本文提出一種基于特征多項(xiàng)式的負(fù)群時(shí)延濾波器設(shè)計(jì)方法，較現(xiàn)有方法更加系統(tǒng)化，能靈活設(shè)計(jì)具有不同響應(yīng)的負(fù)群時(shí)延濾波器。

1 負(fù)群時(shí)延耦合矩陣綜合

首先，從群時(shí)延的定義出發(fā)，通過分析理想無損條件下各特征多項(xiàng)式對總體群時(shí)延的影響，得出損耗是實(shí)現(xiàn)負(fù)群時(shí)延的必要條件，進(jìn)而得到特征多項(xiàng)式的負(fù)群時(shí)延實(shí)現(xiàn)條件。然后，給定在低通域所要求的負(fù)群時(shí)延響應(yīng)，根據(jù)負(fù)群時(shí)延的實(shí)現(xiàn)條件，選擇合適的群時(shí)延分量，利用遞歸公式合成各群時(shí)延分量所對應(yīng)的特征多項(xiàng)式。最后，根據(jù)導(dǎo)納參數(shù)的最小網(wǎng)絡(luò)條件對特征多項(xiàng)式進(jìn)行完善并綜合得出具有最小階數(shù)的負(fù)群時(shí)延耦合矩陣。

1.1 負(fù)群時(shí)延的實(shí)現(xiàn)條件

群時(shí)延定義為相位對角頻率的負(fù)倒數(shù)[2]，即

(1)

式中，ω為低通域角頻率，∠S21(jω)為相位函數(shù)，j表示虛部單位。

對于無源互易網(wǎng)絡(luò)，散射參數(shù)通常用歸一化特征多項(xiàng)式表示[7]：

(2)

式中，s=jω為復(fù)頻率，E(s)為Hurwitz多項(xiàng)式，其根均分布在s平面的左側(cè)。對于無損情況，多項(xiàng)式P(s)具有與ω?zé)o關(guān)的恒定相位[5]，故S21(s)中僅有多項(xiàng)式E(s)對群時(shí)延有影響，設(shè)E(s)為：

(3)

式中，an+jbn為E(s)的根，n=1,2,…,N，則式(1)表示為：

(4)

由于E(s)是Hurwitz多項(xiàng)式，an<0，所以式(4)始終大于0，即無損條件下將始終產(chǎn)生正群時(shí)延。因此，損耗是實(shí)現(xiàn)負(fù)群時(shí)延的必要條件。

由于實(shí)現(xiàn)負(fù)群時(shí)延需要損耗，因此式(4)不再適用，即多項(xiàng)式P(s)的相位需要提供非零群時(shí)延以實(shí)現(xiàn)負(fù)群時(shí)延響應(yīng)，設(shè)

(5)

式中，cm+jdm為P(s)的根，m=1,2,…,M。S21(s)可構(gòu)造為：

(6)

式中，常數(shù)A用于控制S21(s)的幅度，在選擇A時(shí)需要考慮能量守恒定律。參考式(4)，式(1)重新表示為：

(7)

式中，已知E(s)的群時(shí)延分量始終為正，若要實(shí)現(xiàn)總體群時(shí)延為負(fù)，則需要P(s)提供的群時(shí)延大于E(s)所提供的群時(shí)延。為了保證在低通域ω∈[-1,1]內(nèi)實(shí)現(xiàn)完整的負(fù)群時(shí)延，實(shí)現(xiàn)條件是令cm<0，即P(s)和E(s)均為Hurwitz多項(xiàng)式，且在ω∈[-1,1]內(nèi)任意點(diǎn)上P(s)的群時(shí)延分量始終大于E(s)的群時(shí)延分量。

1.2 特征多項(xiàng)式合成

根據(jù)負(fù)群時(shí)延的實(shí)現(xiàn)條件對特征多項(xiàng)式進(jìn)行合成。首先，給定在ω∈[0,1]范圍內(nèi)所要求的負(fù)群時(shí)延響應(yīng)τS21(ω)，當(dāng)E(s)為實(shí)系數(shù)Hurwitz多項(xiàng)式時(shí)，響應(yīng)將關(guān)于縱軸對稱。根據(jù)式(7)，設(shè)

τS21(ω)=τe(ω)-τp(ω)

(8)

式中，τe(ω)和τp(ω)分別為E(s)和P(s)的群時(shí)延分量。然后，選擇合適的τp(ω)和τe(ω)以滿足在頻率范圍內(nèi)任意點(diǎn)上τp(ω)>τe(ω)，求得對應(yīng)的相位函數(shù)φp(ω)和φe(ω)。

(9)

式中，φ0為初始相位。再根據(jù)文獻(xiàn)[8]和文獻(xiàn)[9]中提出的遞歸算法，求得φp(ω)和φe(ω)所對應(yīng)的Hurwitz多項(xiàng)式P(s)和E(s)。由于該算法要求初始相位為0，故令式(9)中φ0=0。

以合成多項(xiàng)式E(s)為例，首先將ω∈[0,1]范圍內(nèi)的點(diǎn)進(jìn)行離散化，得到[ω0,ω1,ω2,…,ωN]，其中ω0=0，ωN=1，N為多項(xiàng)式的階數(shù)。然后計(jì)算得到各個(gè)離散頻點(diǎn)對應(yīng)的相位[φE0,φE1,φE2,…,φEN]，其中φE0=0。接著得到N階Hurwitz多項(xiàng)式EN(s)：

(10)

式中，

(11)

當(dāng)i>0時(shí)，有

(12)

M階多項(xiàng)式PM(s)也用相同的方法求得，先由式(11)和式(12)計(jì)算系數(shù)αi(i=0,1,2,…,M-1)，再利用式(10)合成相應(yīng)的Hurwitz多項(xiàng)式，對于無源網(wǎng)絡(luò)需滿足M≤N。值得注意的是，多項(xiàng)式所產(chǎn)生的NGD響應(yīng)與給定的NGD響應(yīng)之間的誤差受多項(xiàng)式階數(shù)影響，多項(xiàng)式階數(shù)越高誤差越小。

1.3 最小網(wǎng)絡(luò)條件及耦合矩陣綜合

在耦合矩陣的合成中，需要將散射參數(shù)轉(zhuǎn)換為導(dǎo)納參數(shù)，最終網(wǎng)絡(luò)的階數(shù)將等于導(dǎo)納參數(shù)分母的階數(shù)，轉(zhuǎn)換關(guān)系表示為：

(13)

將式(2)代入式(13)，可得：

(14)

可以發(fā)現(xiàn)，若F11F22-P2不能被E整除，則分子分母同時(shí)乘以E后，分母的階數(shù)是E的2倍。當(dāng)F11F22-P2能被E整除時(shí)，導(dǎo)納參數(shù)分母的階數(shù)則等于E的階數(shù)，此時(shí)階數(shù)最小，達(dá)到最小網(wǎng)絡(luò)。設(shè)

F11F22=KE+P2

(15)

式中，K為F11F22-P2被E整除后的多項(xiàng)式。當(dāng)式(15)中的K確定后，可以求得多項(xiàng)式F11F22的根，其中包含F(xiàn)11和F22的根，兩者的根存在多種選擇，不同的選擇將得到不同的耦合矩陣。在分配兩者的根時(shí)應(yīng)盡量使兩者的值都最小化。另外，多項(xiàng)式K的確定同樣受到能量守恒定律的約束，需要確保合成的特征多項(xiàng)式滿足無源條件，可借助仿真軟件中的各種優(yōu)化算法得到合適的K，如MATLAB中的Pareto優(yōu)化。

負(fù)群時(shí)延耦合矩陣合成過程如下：首先給定ω∈[0,1]范圍內(nèi)規(guī)定的負(fù)群時(shí)延響應(yīng)函數(shù)τS21(ω)，根據(jù)負(fù)群時(shí)延的實(shí)現(xiàn)條件選擇合適的群時(shí)延分量τp(ω)和τe(ω)。然后利用遞歸公式確定特征多項(xiàng)式P(s)和E(s)，并選擇合適的幅度控制常數(shù)A對S21(s)幅度進(jìn)行縮放。一旦獲得以上參數(shù)，則可根據(jù)最小網(wǎng)絡(luò)條件通過優(yōu)化算法合成多項(xiàng)式K(s)，進(jìn)而計(jì)算得到F11F22的根，選擇幅度平衡的F11和F22的根來生成多項(xiàng)式F11(s)和F22(s)。接著通過式(14)生成導(dǎo)納參數(shù)[Y]，與[Y]所對應(yīng)的初始有損耦合矩陣可以通過文獻(xiàn)[10]中的綜合方法合成。最后，將初始矩陣變換為更適合物理實(shí)現(xiàn)的耦合矩陣，如折疊型耦合矩陣。

2 數(shù)值仿真與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了更好地說明本文設(shè)計(jì)方法的可行性，通過2個(gè)數(shù)值仿真和1個(gè)實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證。首先給出2個(gè)不同NGD響應(yīng)的數(shù)值仿真來體現(xiàn)設(shè)計(jì)方法的靈活性，然后對其中1個(gè)數(shù)值仿真進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測試，進(jìn)一步驗(yàn)證本文設(shè)計(jì)方法的可行性。

2.1 數(shù)值仿真

首先，對ω∈[0,1]內(nèi)滿足τS21(ω)=0.5ω-0.5的線性正斜率NGD進(jìn)行仿真。選定群時(shí)延分量τe(ω)=0.5，τp(ω)=1-0.5ω，常數(shù)A=8，表1給出合成的特征多項(xiàng)式。根據(jù)多項(xiàng)式綜合出的折疊型耦合矩陣如圖1所示，對應(yīng)的S參數(shù)和NGD響應(yīng)曲線如圖2所示。

表1 正斜率響應(yīng)特征多項(xiàng)式

圖1 正斜率響應(yīng)耦合矩陣

圖2 正斜率響應(yīng)S參數(shù)和NGD曲線

然后，對ω∈[0,1]內(nèi)滿足τS21(ω)=-1的平坦NGD進(jìn)行仿真。選擇τe(ω)=1，τp(ω)=2，常數(shù)A=2。各特征多項(xiàng)式如表2所示，折疊型耦合矩陣如圖3所示，圖4給出了對應(yīng)的S參數(shù)和NGD響應(yīng)曲線。

表2 平坦響應(yīng)特征多項(xiàng)式

圖4 平坦響應(yīng)S參數(shù)和NGD曲線

從圖2(a)和圖4(a)中可以看出：由耦合矩陣得到的S參數(shù)響應(yīng)曲線與特征多項(xiàng)式得到的響應(yīng)完全一致。圖2(b)中綜合得到的NGD響應(yīng)在斜率上與τS21(ω)=0.5ω-0.5的響應(yīng)基本一致，在低谷處出現(xiàn)的誤差是在NGD函數(shù)到特征多項(xiàng)式的合成過程中產(chǎn)生的，同類誤差在圖4(b)中表現(xiàn)為工作頻段內(nèi)起伏微小的波紋。圖4(b)中綜合得到的NGD響應(yīng)在工作頻帶[-1，1]內(nèi)與τS21(ω)=-1的響應(yīng)基本一致。

2.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文設(shè)計(jì)方法的可行性，將2.1節(jié)中正斜率負(fù)群時(shí)延的數(shù)值仿真進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。選擇以3.56 GHz為中心頻率的20 MHz頻段，對圖1中的耦合矩陣進(jìn)行反歸一化，得到帶通域耦合矩陣和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖5所示，反歸一化NGD響應(yīng)函數(shù)TS21(f)=2f-7.14，f為帶通域頻率。采用微帶加載電阻結(jié)構(gòu)進(jìn)行實(shí)現(xiàn)[11]，濾波器整體結(jié)構(gòu)如圖6所示，加工采用的基板材料為Rogers4350B，其相對介電常數(shù)為3.66，介質(zhì)損耗為0.004，板材厚度0.762 mm，金屬銅厚0.035 mm，有損交叉耦合所用電阻R選用0603封裝，阻值為100 Ω，濾波器尺寸如下(單位：mm)：w=1.6，wr=0.5，l=24，ls=22.8，ll=20.7，lz1=7.6，lz2=7.8，ls1=11.4，l12=8.6，l23=1.0，l13=3.8，l31=3.9，lr1=10.2，lr2=5.6，lr3=15.4，gs1=0.2，g12=1.4，g23=2.1，g13=0.2，g31=0.5。

圖5 帶通域耦合矩陣和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

圖6 濾波器整體結(jié)構(gòu)圖

損耗是實(shí)現(xiàn)負(fù)群時(shí)延的必要條件，NGD濾波器利用有損交叉耦合來引入損耗，通過犧牲S21來產(chǎn)生負(fù)群時(shí)延。濾波器的仿真和測試結(jié)果如圖7所示，可以看出：S參數(shù)的測試結(jié)果與仿真結(jié)果基本一致；對于得到的NGD響應(yīng)，在工作頻段內(nèi)也與要求的NGD響應(yīng)相吻合，驗(yàn)證了本文設(shè)計(jì)方法的可行性。

圖7 濾波器S參數(shù)和NGD的仿真與測試結(jié)果

將本文設(shè)計(jì)的NGD濾波器與相關(guān)研究成果進(jìn)行對比，結(jié)果如表3所示?？梢钥闯觯罕疚脑O(shè)計(jì)的負(fù)群時(shí)延濾波器NGD最大值為-6.58 ns，大于其他濾波器，同時(shí)最大回波損耗為33.04 dB，相較其他濾波器也有所改善。

表3 負(fù)群時(shí)延濾波器性能指標(biāo)對比

3 結(jié)束語

本文提出一種基于特征多項(xiàng)式的負(fù)群時(shí)延濾波器設(shè)計(jì)方法。通過理論分析得到特征多項(xiàng)式的負(fù)群時(shí)延實(shí)現(xiàn)條件，利用遞歸公式和約束條件實(shí)現(xiàn)了多項(xiàng)式的合成，并綜合得出對應(yīng)的耦合矩陣，仿真和測試結(jié)果驗(yàn)證了設(shè)計(jì)方法的可行性。本文提出的設(shè)計(jì)方法具有系統(tǒng)的設(shè)計(jì)流程，能根據(jù)不同的NGD響應(yīng)和階數(shù)要求來設(shè)計(jì)負(fù)群時(shí)延濾波器。但是，隨著多項(xiàng)式階數(shù)的增加，耦合矩陣及對應(yīng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)會(huì)更加復(fù)雜，從而增加物理實(shí)現(xiàn)的難度。