漸開線外嚙合斜齒輪流量計的流量脈動

楊國來, 陳 晨, 董季澄, 高文濤

(1.蘭州理工大學 能源與動力工程學院, 甘肅 蘭州 730050; 2. 蘭州理工大學 蘭石研究院, 甘肅 蘭州 730050)

計量是研究測量的一門科學,是所有科學賴以發(fā)展的基礎.在自然科學的發(fā)展中,計量是人們正確認識自然現(xiàn)象、掌握自然規(guī)律、驗證科學預見不可缺少的手段.在工業(yè)生產(chǎn)中,計量同樣也有著舉足輕重的地位,流量計計量的精確性直接影響著液壓系統(tǒng)的穩(wěn)定性、產(chǎn)品質(zhì)量以及人身安全.

漸開線外嚙合圓柱齒輪流量計結(jié)構(gòu)簡單,線性度可以達到0.5%～ 1.0%,測量精度高,適合于測量高黏度介質(zhì)的流量；由于采用雙齒輪對稱嚙合轉(zhuǎn)動,其測量重復性較高,一般可以達到0.05%.其次,圓柱齒輪流量計可在30～40 MPa這樣較高的壓力下使用[1-2].正是由于漸開線外嚙合圓柱齒輪流量計的上述優(yōu)點,使其在工業(yè)生產(chǎn)、科學實驗、航空航天等各個領域得以廣泛使用.然而發(fā)現(xiàn),目前廣泛使用的漸開線外嚙合直齒輪流量計的困油現(xiàn)象在工作過程中產(chǎn)生的周期性流量脈動、噪聲、壓力沖擊等對液壓系統(tǒng)的穩(wěn)定性有較大的干擾.這些缺點限制了其在高精度、高響應、高穩(wěn)定性的伺服和比例系統(tǒng)中的應用.

漸開線外嚙合直齒輪嚙合過程中,嚙合齒沿著齒寬方向突然嚙合,然后又突然分開,兩個狀態(tài)之間沒有逐漸過渡的過程.由于斜齒輪存在螺旋角β,其整個嚙合過程可分為三個階段：斜齒輪齒廓逐漸進入嚙合狀態(tài)、完全進入嚙合狀態(tài)、逐漸脫離嚙合狀態(tài)；斜齒輪齒廓的接觸線長度沿齒寬方向由零逐漸增加,接著又逐漸縮短,最終至脫離接觸；載荷也不是突然加載或突然卸載.因此,斜齒輪流量計工作平穩(wěn)、流量脈動低、計量精度高.本文針對漸開線外嚙合斜齒輪流量計流量脈動低于漸開線外嚙合直齒輪流量計流量脈動的根本原因展開研究,并對減小斜齒輪流量計流量脈動的關鍵參數(shù)作進一步研究[3].

1 斜齒輪流量計關鍵參數(shù)的推導

斜齒輪流量計的瞬時流量可依據(jù)齒輪的嚙合原理以及能量守恒定律進行推導.假設不考慮其他任何損失,流量計主動齒輪每轉(zhuǎn)過一個微小角度記為dθ1,兩個互相嚙合的斜齒輪轉(zhuǎn)子所消耗的機械功率dW等于流量計所排出的介質(zhì)體積dV與其進出口壓差Δp的乘積(流量計的工況屬于馬達工況),由能量守恒定律得出[4]：

T1dθ1+T2dθ2=dW=ΔpdV

(1)

式中：T1、T2分別為主動、被動齒輪的輸出轉(zhuǎn)矩；dθ1、dθ2分別為主動、被動齒輪的旋轉(zhuǎn)角度.

圖1為斜齒輪流量計模型簡圖.圖中a1和a2分別為斜齒輪嚙合點c到主動、被動齒輪旋轉(zhuǎn)中心的距離；Re1和Re2分別為主動、被動齒輪的齒頂圓半徑.作用在流量計主動齒輪上的液壓力會對其旋轉(zhuǎn)中心產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩,大小為

(2)

式中：dx為斜齒輪在齒寬方向的微小長度.

同理,作用在被動齒輪上液壓力產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩：

(3)

將式(2)和式(3)代入式(1)中可得

(4)

在齒輪傳動的參數(shù)計算中有如下關系：

式中：R1和R2分別為主動、被動齒輪的節(jié)圓半徑.

對式(4)進行簡化,乘以角速度ω,得出其在齒寬方向的寬度為dx的瞬時體積流量的數(shù)學表達式：

(7)

式中：qV,i為寬度為dx的瞬時體積流量.

圖2為基準面o-o上嚙合點c和中心點h的幾何關系模型簡圖,圖3為圖2中局部放大區(qū)域Ⅰ的各點幾何關系圖.

令f為齒輪嚙合點c與兩齒輪中心點h之間的距離,α為f與水平方向的夾角.由圖3所示的幾何關系以及三角形三邊的求解公式得出：

(8)

由于斜齒輪存在螺旋角β,致使其嚙合點c隨著齒輪旋轉(zhuǎn)角度的不斷變化而沿著嚙合線移動,因此齒輪不同基準面上的嚙合點c與嚙合齒輪中心點h的距離f是不同的,如圖4所示.圖4中c0、h0分別為基準面o-o上的嚙合點和中心點,cx、hx分別為基準面x-x上的嚙合點和中心點,c0、cx兩點間的直線即為兩齒輪的嚙合線.

結(jié)合圖3和圖4,根據(jù)三角形的幾何計算關系,可用斜齒輪轉(zhuǎn)角得出f的表達式：

(9)

式中：Rb為基圓半徑；θ0為選定基準面上與斜齒輪嚙合點相對應的斜齒輪轉(zhuǎn)角；θx為與選定基準面距離為x的同一對嚙合齒的嚙合點所對應的斜齒輪轉(zhuǎn)角.

將式(8)和式(9)代入式(7),化簡可得

(10)

依據(jù)上式,斜齒輪流量計瞬時流量隨斜齒輪的轉(zhuǎn)動角度θ0呈拋物線變化規(guī)律.

(11)

式中：qV為整個齒寬方向的體積流量.

(12)

(13)

(14)

(15)

斜齒輪流量計的流量脈動以平均流量脈動值為基準在其上下作周期性變化,最大變化量ΔqV=qV,max-qV,min.綜上,可得出：

(16)

當螺旋角β=0時,直齒輪流量計流量脈動最大變化量的數(shù)學表達式為

(17)

由以上推導可以看出,斜齒輪流量計的流量脈動與斜齒輪轉(zhuǎn)動的角速度ω呈正相關關系,與齒數(shù)Z、齒寬b、螺旋角β呈負相關關系.從減小斜齒輪流量計的流量脈動,提高其計量精度和增大齒容量的同時又縮小流量計體積的角度考慮,漸開線外嚙合斜齒輪流量計的最大設計轉(zhuǎn)速一般為3 000～6 000 r/min,斜齒輪的齒數(shù)一般為13～14個.因此,對斜齒輪的臨界螺旋角β、臨界齒寬b的研究就顯得尤為重要.

2 臨界螺旋角、齒寬的推導[7]

圖6為斜齒輪嚙合面的展開圖.圖中為從動斜齒輪,旋向為右旋.ABCD表示斜齒輪逐漸嚙入的第n個嚙合齒,A1B1C1D1～A3B3C3D3表示同一個嚙合齒,不同轉(zhuǎn)角的前后端面的嚙合狀態(tài).隨著嚙合輪齒的轉(zhuǎn)動,嚙合齒從BH處逐漸進入嚙合狀態(tài),在點A處前端面的齒頂尖角開始嚙合,當嚙合齒轉(zhuǎn)動到點A1處時,后端面的齒頂尖角進入嚙合狀態(tài),此時嚙合齒沿著整個齒寬方向進入完全嚙合狀態(tài)；當嚙合齒轉(zhuǎn)動到點A2處,前端面齒廓開始逐漸分離；當嚙合齒轉(zhuǎn)動到點A3處,后端面齒廓逐漸脫離嚙合狀態(tài).當兩輪齒的齒廓接觸線處于ABH區(qū)域時,該對嚙合齒處于非完全嚙合狀態(tài).雖然此時斜齒輪可以連續(xù)傳動,但不能將斜齒輪流量計的高、低壓腔有效的隔開,所以起不到密封的作用,從而嚴重影響了斜齒輪流量計的計量精度；當該對嚙合齒的齒廓接觸線處于AA1B1區(qū)域時,兩輪齒此時處于完全嚙合狀態(tài),不但能保證傳動的連續(xù)性,而且還能將斜齒輪流量計的高、低壓腔進行有效的隔開；當該對嚙合齒的齒廓接觸線處于A2A3B3區(qū)域時,兩輪齒又一次處于不完全嚙合狀態(tài).此時,不能夠?qū)π饼X輪流量計的高、低壓腔進行有效的隔開.由以上分析可知,為了保證斜齒輪傳動的連續(xù)性和漸開線外嚙合斜齒輪流量計的計量精度就必須保證前一對嚙合齒的齒廓接觸線完全脫離全齒寬嚙合區(qū)域的同時,后一對嚙合齒的齒廓接觸線緊接著進入AA1B1嚙合區(qū)域,而要使該對嚙合齒輪在嚙合過程中一直有齒廓接觸線位于全齒寬嚙合區(qū)域內(nèi)就必須滿足[8]：

LAD1≥Pbt

(18)

式中：LAD1為圖6中A、D1兩點間的距離；Pbt為斜齒輪的斷面基節(jié).

斜齒輪的重合度為

(19)

結(jié)合以上兩式有：

(20)

式中：b為齒寬；βb為基圓上的螺旋角.

化簡后得

(21)

式中：β為斜齒輪分度圓上的螺旋角；mn為斜齒輪法面模數(shù).

由機械原理斜齒輪重合度的定義,總重合度：

ε=εα+εβ

(22)

式中：εα為斜齒輪的端面重合度；εβ為斜齒輪的軸向重合度.

(23)

(24)

式中：Z1、Z2分別為主動、被動齒輪的齒數(shù)；αt1、αt2分別為主動、被動齒輪齒頂圓壓力角；α′為齒頂圓端面嚙合角.

αt1=αt2、Z1=Z2,對式(22)進行整理：

(25)

由式(25)分析可知,斜齒輪流量計的總重合度ε由兩部分組成.一部分是全齒寬嚙合區(qū)域,稱之為ε1；另一部分是不完全齒寬嚙合區(qū)域,稱之為ε2.其中：

(26)

故有：

(27)

(28)

即

(29)

綜上,漸開線外嚙合斜齒輪流量計不產(chǎn)生困油現(xiàn)象的臨界螺旋角為

(30)

臨界齒寬為

(31)

3 結(jié)論

1) 漸開線外嚙合斜齒輪流量計流量脈動與斜齒輪的角速度、模數(shù)、螺旋角以及齒寬有關.

2) 漸開線外嚙合斜齒輪流量計的流量脈動低于相同齒容量條件下的直齒輪流量計,且隨著螺旋角的增大其流量脈動會減小.

3) 在滿足工況要求的前提下,合理地選擇漸開線斜齒輪流量計的角速度、模數(shù)、螺旋角以及齒寬可大大減小其流量脈動,提高其計量精度.