基于組合體力學(xué)模型的固井水泥石封隔能力分析

王海柱， 石魯杰， 鄭 永， 張誠(chéng)成

(中國(guó)石油大學(xué)(北京) 油氣資源與探測(cè)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 北京 102249)

我國(guó)頁(yè)巖氣儲(chǔ)量豐富，具有廣闊的開發(fā)前景.目前頁(yè)巖氣井開發(fā)手段主要是水平井與多級(jí)分段壓裂技術(shù)相結(jié)合，而水平井壓裂過(guò)程中易造成套管內(nèi)壓的大幅度波動(dòng)，從而改變水泥石的受力狀態(tài)，加劇水泥石封隔能力失效的風(fēng)險(xiǎn).目前國(guó)內(nèi)外學(xué)者主要從套管-水泥石-地層組合體受力情況、水泥石形變情況、固井界面膠結(jié)情況三個(gè)方向?qū)叹嗍飧裟芰M(jìn)行研究.

套管-水泥石-地層組合體受力研究經(jīng)歷了從單純分析套管受力[1]到分析組合體整體受力[2]、從單純借助井筒力學(xué)方程到綜合使用多種理論與實(shí)驗(yàn)方法[3-6]的演變.組合體受力研究已經(jīng)成為解釋井下作業(yè)現(xiàn)象、并揭示其內(nèi)在原理的主要手段，但是組合體力學(xué)狀態(tài)與固井水泥石封隔能力的關(guān)系仍沒有被準(zhǔn)確地揭示出來(lái).

水泥石形變的研究目的是探究水泥石材料變形規(guī)律，與組合體受力研究的主要區(qū)別在于該方向研究不通過(guò)力學(xué)方程而是借助實(shí)驗(yàn)手段研究水泥石的收縮程度、彈性模量、圍壓、水泥組分等因素對(duì)變形程度的影響.通過(guò)水泥石形變實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，可以研究水泥石膠結(jié)特性和水泥石微環(huán)隙[7-9]產(chǎn)生規(guī)律，從而為封隔能力預(yù)測(cè)提供指導(dǎo).

固井界面的膠結(jié)情況是人們關(guān)注的重點(diǎn)，目前最常用的研究方法是通過(guò)聲波測(cè)井對(duì)固井兩膠結(jié)面進(jìn)行測(cè)量并解釋.聲波測(cè)井方法簡(jiǎn)單有效但難以揭示固井界面膠結(jié)變化的內(nèi)在機(jī)制，為此學(xué)者們多通過(guò)室內(nèi)模擬實(shí)驗(yàn)的方法揭示水泥石膠結(jié)規(guī)律.1993年Jackson等[10]設(shè)計(jì)一套水泥石氣竄檢測(cè)裝置，使用循環(huán)改變套管內(nèi)壓并檢測(cè)固井兩界面是否產(chǎn)生氣竄通道的方法對(duì)水泥石膠結(jié)能力進(jìn)行研究，其實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)氣竄通道總是在套管內(nèi)壓卸載時(shí)產(chǎn)生；2007年Garnier等[11]通過(guò)模擬實(shí)驗(yàn)認(rèn)為單獨(dú)的水泥石抗壓強(qiáng)度難以衡量水泥石膠結(jié)能力，建議在膠結(jié)能力評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)中引入彈性模量和破壞準(zhǔn)則；2011年王克誠(chéng)等[12]對(duì)受泥餅影響的水泥石膠結(jié)能力進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究，其認(rèn)為地層滲透性、環(huán)空壓差及地層流體擾動(dòng)共同影響著套管-水泥石界面水力封隔能力；2019年Vralstad等[13]對(duì)受套管內(nèi)壓的水泥石進(jìn)行實(shí)時(shí)CT掃描，研究了不同彈性模量水泥石的膠結(jié)與變形特性.

綜上，水泥石受力及封隔能力方面的研究仍需深入.本文在前人井下組合體力學(xué)研究成果基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，考慮水泥漿凝固過(guò)程對(duì)組合體位移分布的影響，并根據(jù)水泥石材料特性推導(dǎo)了水泥石塑性階段本構(gòu)方程，建立了水平井套管-水泥石-地層組合體彈塑性力學(xué)模型，并借助ANSYS數(shù)值模擬驗(yàn)證該模型準(zhǔn)確度.隨后深入分析水泥石封隔能力失效的兩種基本形式，并實(shí)現(xiàn)了對(duì)水泥石封隔能力的預(yù)測(cè).

1 套管-水泥石-地層組合體彈塑性力學(xué)模型

1.1 假設(shè)條件及物理模型

水平井鉆井完畢后需要注水泥固井，此時(shí)水泥漿以流體的方式注入套管與地層間的環(huán)空中，隨著水泥漿逐漸凝固，套管-水泥石-地層三者間應(yīng)力相互影響，最終可視為一個(gè)整體.本文選擇頁(yè)巖氣水平井為研究對(duì)象，根據(jù)其地質(zhì)及施工條件，建立套管-水泥石-地層組合體物理模型，模型假設(shè)條件如下：

1) 各組分材料為理想彈塑性體，彈性階段為線彈性材料，且均不考慮各向異性；

2) 水泥漿完全驅(qū)替鉆井液，無(wú)泥餅影響；

3) 井眼軸向尺寸遠(yuǎn)大于徑向尺寸，模型簡(jiǎn)化為平面應(yīng)變模型；

4) 忽略溫度的影響；

5) 水泥石凝固后膠結(jié)界面處位移連續(xù).

頁(yè)巖氣水平井段一般沿著地層最小主應(yīng)力方向鉆進(jìn)，井眼在垂向上受到上覆巖層壓力，橫向受到地層最大和最小主應(yīng)力影響.故水平井段物理模型如圖1所示，pH為上覆巖層壓力，ph為最大水平主應(yīng)力(下標(biāo)H為上覆巖層，h為水平horizontal)，兩者均為壓應(yīng)力，p為井筒內(nèi)靜液柱壓力，r1,r2,r3,r4分別為套管內(nèi)半徑、水泥石內(nèi)半徑、地層內(nèi)半徑和地層外半徑且r4≥10r3.

1.2 數(shù)學(xué)模型

根據(jù)應(yīng)力疊加原理，將非均勻應(yīng)力模型分解為均勻地應(yīng)力下圓孔模型和均勻地應(yīng)力下厚壁圓筒模型，pH和ph分解方式為

(1)

整個(gè)厚壁圓筒[14]的平衡方程為

(2)

式中，σr為徑向應(yīng)力，σθ為切向應(yīng)力.此方程為歐拉二階線性齊次微分方程，求得該方程通解，再結(jié)合根據(jù)厚壁圓筒邊界條件，求得厚壁圓筒模型彈性階段應(yīng)力及位移分布：

(3)

式中：a為組合體中套管、水泥石或地層任一內(nèi)半徑；b為相對(duì)應(yīng)的外半徑；υ為相對(duì)應(yīng)的泊松比；E為相對(duì)應(yīng)的彈性模量.

關(guān)于無(wú)限大平面圓孔模型的推導(dǎo)，在彈塑性力學(xué)著作也有講解，本文給出簡(jiǎn)要推導(dǎo)，假設(shè)該模型內(nèi)應(yīng)力函數(shù)Φ為

(4)

(5)

式中，θ表示與水平方向的夾角.疊加式(4)與式(5)，得到非均勻地應(yīng)力下水泥石彈性階段力學(xué)方程：

(6)

式中，ε0表示模型初始時(shí)刻所產(chǎn)生的變形.模型位移計(jì)算需減去ε0，這是由于實(shí)際情況下水泥漿注入井下環(huán)空時(shí)為流體，后為固體，故初始地層壓力的存在并不會(huì)使固體狀態(tài)的水泥石發(fā)生形變.即在水泥石凝固后，其內(nèi)初始應(yīng)力不為零，初始位移為零.故位移計(jì)算中減去初始位移才符合井下實(shí)際工況.

當(dāng)組合體不發(fā)生塑性變形時(shí)，方程(6)可計(jì)算組合體彈性階段的應(yīng)力與應(yīng)變大小.

塑性變形是當(dāng)材料受力超過(guò)一定極限時(shí)產(chǎn)生不可恢復(fù)的變形.塑性變形階段水泥石變形量較大，極易產(chǎn)生微環(huán)隙，研究水泥石封隔能力不能忽略水泥石塑性階段的變形規(guī)律.而在水平井壓裂過(guò)程中，套管內(nèi)壓不斷升高，造成水泥石產(chǎn)生塑性屈服后，彈性階段的力學(xué)方程不再適用于水泥石塑性區(qū)，故需建立塑性階段的組合體力學(xué)模型.

平面應(yīng)變狀態(tài)下的米澤斯屈服條件為

將米澤斯屈服條件代入組合體力學(xué)平衡方程(2)，再根據(jù)塑性區(qū)邊界條件可求得塑性區(qū)應(yīng)力分布[14]：

(7)

式中p3指套管外壁處徑向應(yīng)力.

由于塑性變形受外力加載歷史影響，僅僅求出塑性區(qū)應(yīng)力分布并不足以計(jì)算水泥石塑性變形.本文根據(jù)前人對(duì)水泥材料彈塑性的實(shí)驗(yàn)研究結(jié)果[15-16]，選擇冪次強(qiáng)化模型對(duì)水泥石塑性變形進(jìn)行簡(jiǎn)化研究，如圖2所示.

圖2中σp,σs分別表示彈性階段應(yīng)力和塑性階段應(yīng)力.材料卸載服從彈性卸載定律，εp為殘余應(yīng)變.針對(duì)水泥石而言，在套管內(nèi)壓較小時(shí)，其應(yīng)力小于σs，水泥石處于彈性變形階段，本構(gòu)方程為σ=Eε.當(dāng)套管內(nèi)壓逐漸增大，水泥石應(yīng)力大于σs后，進(jìn)入塑性變形階段，本構(gòu)方程為σ=AεB.

該模型表達(dá)式為

(8)

將塑性區(qū)應(yīng)力分布式(7)代入式(8)中得到塑性區(qū)域本構(gòu)方程：

(9)

式中A，B均為根據(jù)實(shí)驗(yàn)所確定的常量.從前人的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)看，在有圍壓的情況下，A一般大于20，B一般小于0.4.

2 水泥石封隔能力失效分析方法

根據(jù)文獻(xiàn)[17-18]的研究，橫向封隔能力失效的原因?yàn)椋禾坠軆?nèi)壓升高，水泥石受壓變形，當(dāng)水泥石變形量超過(guò)其極限伸長(zhǎng)應(yīng)變率時(shí)，水泥石內(nèi)部產(chǎn)生微裂紋，油氣水沿橫向微裂紋進(jìn)入組合體內(nèi)，造成封隔能力失效.

縱向封隔能力失效的原因?yàn)椋禾坠軆?nèi)壓從高壓開始降低，水泥石在高壓狀態(tài)時(shí)由于發(fā)生塑性變形，其部分變形不可恢復(fù)，套管內(nèi)壓降低后，可能會(huì)造成膠結(jié)界面分離從而引起水泥石縱向封隔失效.

橫向封隔能力失效的判斷適用第二強(qiáng)度理論，該理論認(rèn)為材料斷裂只與極限伸長(zhǎng)線應(yīng)變有關(guān)，與應(yīng)力狀態(tài)無(wú)關(guān).判斷條件為

ε1≤[ε].

(10)

結(jié)合第1節(jié)中組合體彈性階段力學(xué)模型可求得橫向封隔能力失效的判斷準(zhǔn)則：

(11)

式中：ε1表示任一點(diǎn)處應(yīng)變;εr，εθ表示水泥石徑向及切向應(yīng)變.

縱向封隔能力失效適用第四強(qiáng)度理論的米澤斯屈服準(zhǔn)則.水泥石的縱向封隔能力失效的判斷表達(dá)式為

(12)

式中:σ表示米澤斯等效應(yīng)力;σ1,2表示第一與第二主應(yīng)力.

通過(guò)式(6)和式(12)兩個(gè)判別式分別結(jié)合水泥石材料特性中的許用應(yīng)變和屈服應(yīng)力，可判斷在不同井下工況下水泥石橫向封隔能力和縱向封隔能力是否失效.

3 模型可靠性驗(yàn)證

本文研究?jī)?nèi)容主要為套管-水泥石-地層組合體彈塑性力學(xué)模型和水泥石封隔能力失效分析方法，對(duì)二者分別采用數(shù)值模擬對(duì)比和實(shí)驗(yàn)對(duì)比的方式，驗(yàn)證本文理論研究的可靠性.

選取延長(zhǎng)地區(qū)頁(yè)巖氣延A井的參數(shù)，作為可靠性驗(yàn)證和實(shí)例分析中本文理論模型計(jì)算數(shù)據(jù)，如表1所示.

表1 延A井井眼參數(shù)Table 1 Wellbore parameters of Yan A well

3.1 組合體力學(xué)模型驗(yàn)證

在ANSYS數(shù)值模擬軟件中根據(jù)表1所示參數(shù)建立井筒幾何模型，幾何模型設(shè)為三維模型，套管、水泥石、地層Z軸方向厚度均為10 mm，采用自由體網(wǎng)格劃分方式對(duì)套管、水泥石、地層三者進(jìn)行網(wǎng)格劃分.網(wǎng)格劃分結(jié)果如圖3所示.

定義固井一界面與固井二界面接觸類型時(shí)，分別建立套管、水泥石、地層的節(jié)點(diǎn)組件，固井兩個(gè)界面均設(shè)為面面接觸，材料單元間摩擦系數(shù)設(shè)為0.25，接觸性質(zhì)為彈性接觸.套管內(nèi)壁面施加表面應(yīng)力70 MPa，組合體垂向方向施加表面應(yīng)力18 MPa，組合體橫向方向施加表面應(yīng)力16 MPa.

模型求解后提取水泥石橫向和垂向的等效應(yīng)力分布，將其與相同條件下的本文理論模型計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如圖4，圖5所示.

從圖4，圖5中可以看出，數(shù)值模擬結(jié)果與本文組合體力學(xué)模型計(jì)算結(jié)果基本一致，平均偏差不超過(guò)7%，充分驗(yàn)證了組合體力學(xué)模型的可靠性.

3.2 水泥石封隔能力失效分析方法驗(yàn)證

采用1993年Jackson固井水泥石封隔能力檢測(cè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)本文理論模型進(jìn)行驗(yàn)證.結(jié)合Jackson等對(duì)該種水泥的測(cè)量得到的應(yīng)力-應(yīng)變曲線(文獻(xiàn)[10]圖1)，可得到該種水泥石的屈服強(qiáng)度約為30 MPa，極限伸長(zhǎng)率約為0.2%.

將其室內(nèi)實(shí)驗(yàn)的參數(shù)代入本文模型編制的MATLAB程序中，求得在實(shí)驗(yàn)中水泥石內(nèi)壁處等效應(yīng)力與應(yīng)變的變化過(guò)程，如圖6所示.

從圖6中也可以看出，套管內(nèi)壓升至69 MPa后水泥石等效應(yīng)力為31.8 MPa，應(yīng)變?yōu)?.17%.此時(shí)水泥石等效應(yīng)力超過(guò)30 MPa屈服強(qiáng)度，應(yīng)變未超過(guò)0.2%極限伸長(zhǎng)率.根據(jù)本文水泥石封隔能力失效分析方法，此時(shí)氣竄是由于水泥石產(chǎn)生塑性變形而產(chǎn)生微環(huán)隙導(dǎo)致的.該解釋與實(shí)驗(yàn)中氣竄后水泥石仍保持完整的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象一致.

對(duì)上述情況分析可以看出，本文水泥石封隔能力失效分析方法可以合理解釋封隔能力失效的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象.

4 實(shí)例分析

4.1 水泥石彈性模量對(duì)封隔能力的影響

考察水泥石彈性模型對(duì)封隔能力的影響，對(duì)現(xiàn)場(chǎng)水泥種類和組分選擇具有重要意義.根據(jù)本文模型，求解不同條件下的水泥石等效應(yīng)力與應(yīng)變.通過(guò)計(jì)算，當(dāng)套管內(nèi)壓為80 MPa時(shí)，水泥石等效應(yīng)力隨水泥石彈性模量變化如圖7所示.

由圖7可知，同一彈性模量下，水泥石等效應(yīng)力隨水泥石直徑增大而逐漸減?。煌凰嗍睆较?，水泥石等效應(yīng)力隨彈性模量的增大而增大.彈性模量大于12 GPa的水泥石等效應(yīng)變曲線均出現(xiàn)突變點(diǎn)，證明其在套管內(nèi)壓80 MPa時(shí)出現(xiàn)了塑性變形.并隨著彈性模量增大，其塑性區(qū)域不斷增大.

從圖7中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)彈性模量為4，8 GPa時(shí)，水泥石處于彈性變形階段，需根據(jù)水泥石應(yīng)變狀態(tài)進(jìn)一步判斷其封隔能力是否失效，根據(jù)本文模型求得套管內(nèi)壓80 MPa時(shí)該兩種水泥石應(yīng)變，如圖8所示.

由圖8可知，同一彈性模量下，水泥石等效應(yīng)變隨直徑增大而逐漸減?。煌凰嗍睆较?，彈性模量越小水泥石應(yīng)變?cè)酱?在該計(jì)算條件下，彈性模量為4 GPa、直徑在139～152 mm區(qū)間的水泥石應(yīng)變已經(jīng)超過(guò)0.2%，該區(qū)間水泥石內(nèi)部變形超過(guò)材料極限拉伸極限，已經(jīng)出現(xiàn)不可逆的微裂紋，可判斷當(dāng)套管內(nèi)壓為80 MPa時(shí)，彈性模量為4 GPa的水泥石封隔能力已失效.

同理，彈性模量為8 GPa的水泥石由于應(yīng)變并未超過(guò)極限伸長(zhǎng)率0.2%，判斷當(dāng)套管內(nèi)壓為80 MPa時(shí)，彈性模量為8 GPa的水泥石封隔能力未失效.

綜上可知，在水泥石彈性模量參數(shù)選擇中應(yīng)綜合考慮等效應(yīng)力與應(yīng)變程度.根據(jù)本文理論模型計(jì)算套管內(nèi)壓為80 MPa時(shí)等效應(yīng)力和應(yīng)變隨水泥石彈性模量的變化曲線，如圖9所示.

等效應(yīng)力和應(yīng)變隨水泥石彈性模量的變化曲線也可稱為水泥石封隔能力圖版.因?yàn)閺膱D中可預(yù)測(cè)水泥石封隔能力何時(shí)失效，當(dāng)水泥石彈性模量為4 GPa時(shí)，水泥石等效應(yīng)力36.6 MPa、應(yīng)變0.24%，其應(yīng)變超過(guò)極限伸長(zhǎng)率，故水泥石發(fā)生縱向封隔能力失效.

從圖9中可以看出，隨著水泥石彈性模量增大，水泥石所受等效應(yīng)力逐漸增大，應(yīng)變逐漸減小.其中A區(qū)域水泥石等效應(yīng)力未超過(guò)等效屈服應(yīng)力，應(yīng)變未超過(guò)極限伸長(zhǎng)率，故此范圍內(nèi)水泥石封隔能力完好，即彈性模量為6～9.7 GPa的水泥石有利于保持水泥石封隔能力.

4.2 套管內(nèi)壓對(duì)封隔能力的影響

根據(jù)本文理論模型計(jì)算其水泥石內(nèi)壁處等效應(yīng)力與應(yīng)變隨套管內(nèi)壓變化曲線，如圖10所示.

從圖10可以看出，等效應(yīng)力與應(yīng)變均隨套管內(nèi)壓增大而增大，且增長(zhǎng)趨勢(shì)都近似為直線.從4條曲線對(duì)比來(lái)看，兩種水泥石在套管內(nèi)壓變化全過(guò)程中等效應(yīng)力與應(yīng)變均未超過(guò)極限值，故兩種水泥石均可在套管內(nèi)壓變化全過(guò)程中保持封隔能力.

現(xiàn)場(chǎng)實(shí)際選擇時(shí)，應(yīng)以水泥石的屈服應(yīng)力和極限伸長(zhǎng)率為依據(jù)，結(jié)合封隔能力圖版來(lái)選擇水泥石最優(yōu)配方.

5 結(jié) 論

1) 水泥石封隔能力失效形式主要分為橫向封隔能力失效和縱向封隔能力失效，橫向封隔能力失效主要由水泥石所受等效應(yīng)力超過(guò)屈服強(qiáng)度引起，縱向封隔能力失效主要由水泥石應(yīng)變超過(guò)極限伸長(zhǎng)率引起.

2) 同一條件下，低彈性模量水泥石的等效應(yīng)力小、應(yīng)變大，適用于高壓力地層；高彈性模量水泥石等效應(yīng)力大、應(yīng)變小，適用于低壓力地層.

3) 水泥石彈性模量對(duì)封隔能力影響存在最優(yōu)區(qū)間，根據(jù)水泥石封隔能力圖版，在本文計(jì)算條件下水泥石彈性模量在6～9.7 GPa之間有利于保持水泥石封隔能力.