基于多隔離策略的新冠肺炎疫情建模及分析

付 強， 姚 羽

(東北大學 計算機科學與工程學院, 遼寧 沈陽 110819)

新冠肺炎是一種在人群大規(guī)模傳播的流行性疾病.截至2020年2月29日24時，全球累計確診86 088例，其中中國累計確診79 824例，可見疫情擴散速度之快、范圍之廣.為有效抑制疫情發(fā)展，全國各級政府采取了延長假期、人員隔離等措施.為了說明隔離措施對遏制新冠肺炎疫情的重要性，本文建立了一個非線性傳染病模型來模擬新冠肺炎的傳播趨勢，仿真結果能清楚地表明隔離策略對疫情防控的重要性.

由于對新型冠狀病毒肺炎等傳染病的研究不能采取實驗形式，因此，對各類傳染病的流行規(guī)律、預測預報就更多地需要理論分析、定量分析和模擬仿真，而上述分析都離不開針對各類傳染病而建立的數學模型.早在1906年，Hamer[1]運用離散模型研究了麻疹的流行規(guī)律.1911年，Ross[2]為了研究瘧疾的傳播，建立了微分方程模型.1927年，Kermack等[3]為了分析倫敦黑死病和孟買瘟疫的傳播規(guī)律，建立了雙線性發(fā)生率的SIR倉室模型.國內學者在傳染病動力學模型研究方面也做了大量的工作，對于發(fā)現傳染病流行規(guī)律，并對傳染病的預防和控制有重要意義.陳蘭蓀等提出了瘧疾病與艾滋病的數學模型[4].曹慧等研究了一類具有飽和治療的離散SEIS傳染病模型的動力學性態(tài)[5].張昕根據肺結核的傳播機理、染病者對抗結核藥物敏感度的差異，以及外源性再感染能夠激活機體內休眠的結核桿菌的現象等，建立了耐藥性肺結核的傳播動力學模型[6].

在新冠肺炎疫情爆發(fā)后，各國科研人員爭分奪秒致力于技術攻關，為臨床救治及疫情防控提供支撐.香港大學研究團隊基于易感-暴露-傳染-恢復集合種群模型，對中國主要城市和國際主要城市的疫情進行模擬[7].周濤等基于SEIR倉室模型，對新型冠狀病毒感染肺炎的基本再生數進行估計[8].香港大學深圳醫(yī)院針對利用2020年1月21日以前病例報告，套入傳染病的傳染模型，估計出2019-nCoV的基本再生數(R0)為3.6～4.0(95%信賴區(qū)間)[9].在一種SEIR模型中，研究者重點考慮了人口流動的影響，利用無信息先驗的馬爾可夫鏈蒙特卡羅方法給出R0的極大似然估計，然后計算中國各大城市病例數的概率分布，他們算出來R0是2.68，認為1月25日的時候武漢已經感染了75 815人[10].

本文通過對新冠肺炎的傳播演化規(guī)律進行探索，建立了非線性傳染病模型，進而對區(qū)域性疫情的發(fā)展趨勢進行模擬演化、預測與分析，能夠為政府和醫(yī)療防疫等部門制定合理的復工復產政策提供科學依據，保障社會穩(wěn)定和經濟發(fā)展.這不僅對此次新冠肺炎疫情后期的防控有著積極意義，對于未來可能發(fā)生的病毒性肺炎疫情也可以起到預警預測的作用.

1 模型的建立和分析

實踐證明，分級隔離是在醫(yī)療條件緊缺的情況下面臨大規(guī)模疫情的有效應對方法，目前全國各級政府為有效抑制疫情發(fā)展都采取了延長假期、人員隔離等措施.在傳染病傳播的過程中，基本再生數R0也是至關重要的一個因素.本文也將圍繞基本再生數，對傳染病的傳播趨勢進行預警預測.為了說明隔離措施對遏制新冠肺炎疫情的重要性，本文基于非線性傳染病模型，考慮分級隔離措施對疫情的發(fā)展情況進行建模.

本模型主要對現有的重癥和輕癥分別隔離策略進行了分析，并說明采取隔離措施的重要性.其中S代表易感人群，I代表具有感染性的人群，Q代表采取隔離措施的人群，R代表已經因為治愈并不對病毒傳播產生影響的人群.具有感染性的人(I類)與易感人群(S類)接觸后易感者將有一定概率(β1)被感染，具有感染性的人(I類)又有一定的概率被治愈(γ)或者死亡(μ).如果采取了隔離措施，易感人群(S類)和具有感染性的人(I類)分別按一定概率(φ1，φ2)進行有效的隔離.其中易感人群(S類)多數采取在家自行隔離的辦法，本文設定這部分在家進行隔離的人群為Q1類，然而在實際的情況中，這類人群也有較小的概率β2被親朋好友感染，且感染率β2是小于β1的.一部分具有感染性的患者會被醫(yī)院收治隔離，這部分重癥隔離患者為Q2類且有一定概率ω治愈或者概率μ死亡.由于醫(yī)院的嚴密隔離，作者認為Q2類不再具備傳播病毒的可能性.那么SIQR傳播模型的狀態(tài)轉換圖如圖1所示.

由此可以得到SIQR模型的微分方程組為

(1)

假設模型主要參數如下：一個病毒攜帶者成功感染另一人的概率為b，每天接觸的人數為k，感染率β1=kb.那么在疫情初期，依據基本的SIR模型對參數b進行擬合.假設疫情剛開始有1人感染，那么

可以得到上式的解

I(t)=e(kb-γ)t

(2)

根據1月19日至1月23日官方公布的確診病例數量(見表1)，可以擬合得到b=0.041 33，假設一般情況下一個病毒攜帶者每天密切接觸10人(k=10)，那么感染率β1=kb=0.413 3.

表1 1月19日—1月28日新冠肺炎現存確診病例數據Table 1 Existing confirmed data of COVID-19 from January 19 to January 28 in China

假設在家進行有效隔離的概率φ1為0.4，發(fā)病且被醫(yī)院收治進行有效隔離的概率φ2為0.2.根據官方每日報告的死亡人數和治愈人數，得到死亡率μ約為0.02,治愈率ω約為0.02.恢復率γ約為0.1，取決于感染的平均時間D，這里根據近期Chan等對新冠肺炎人傳人特點的研究[9]，本文取D=8.至此，可以求得新冠病毒的基本再生數R0，根據傳染病的傳播動力學中Lipsitch等的研究[11]，可以求得基本再生數：

R0=kbD=3.306 4.

(3)

本文得出的這個基本再生數的值與最新的中國科學院自動化所研究員Cao的研究成果接近[12].基本再生數(basic reproduction number)是指在沒有干預的情況下，在一個全部是易感人群的環(huán)境中，平均一個患者可以傳染的人數[13].簡單說就是自由傳播的情況下一個病人平均能感染多少人，R0的數值越大，表示病毒的傳播能力越強.如果R0大于1，就表示病毒可以傳播開來.一旦通過有效防控使R0小于1，就表示疫情會逐漸結束.這里算出的新冠病毒的R0是考慮了傳播比較嚴重的情況，也就是k和D都選取了可能范圍內較大的值.而Riely等[14]給出的SARS的基本再生數是2.7(95%置信區(qū)間為2.2～3.7).非洲埃博拉病毒的基本再生數為1.4～4.7[15].可以看出本次疫情的傳播能力是略高于“非典”和“埃博拉病毒”的.

2 結果與討論

2.1 基于SIQR模型模擬全國新冠肺炎疫情趨勢

依據采取隔離措施的不同時間，對100 d(自1月1日開始，根據官方報道1月1日的確診人數為27)內的疫情發(fā)展情況進行了仿真模擬.在模型中，假設現實情況中采取隔離措施的起始日期為1月27日，即武漢于23日宣布“封城”后，各地紛紛宣布進入“一級響應”狀態(tài).為了方便讀者，模型實驗參數如表2所示.

表2 SIQR模型中參數的取值Table 2 Parameter value in SIQR model

圖2為SIQR模型的仿真結果與全國現存確診病例數的對比，橫坐標的起點為1月1日.圖中圓點曲線為官方公布的實際數據，起點為1月20日，方塊曲線為仿真結果.可以看出二者有較高的擬合程度.

根據國家衛(wèi)生健康委員會公布的數據，截止2月29日24時，全國現有確診病例35 329例，仿真結果顯示在2月29日的現有確診數量為35 549例.在疫情前期，仿真結果明顯比實際確診病例數多，可能是存在疫情前期各地檢測儀器不充足、醫(yī)務人員數量緊缺等情況，這就會造成一定數量的漏診情況.模型預測的疫情“拐點”出現在2月中下旬.如果防控措施得當，那么整個疫情的過程將會持續(xù)三個月以上.需要說明的是，這里疫情的“拐點”只是上升趨勢的“拐點”，只是現存確診病例的數量到達峰值.“拐點”過后，疫情可能持續(xù)的時間還要將近兩個月，累計的被感染總人數還會增加，因此不能掉以輕心.

此外，本文還設計了兩種情況，假設隔離開始日期分別為1月27日和2月3日.為了直觀地突出采取隔離措施的重要性，模型對兩種不同的情況進行了比較，結果如圖3所示.

在圖3中，圓點曲線表示從2月3日開始采取隔離措施的疫情發(fā)展趨勢.從圖中可以看出，如果在2月3日才開始采取隔離措施，那么感染人數的頂點將會接近恐怖的35萬人，而且疫情持續(xù)時間也將大大延長.也就是說如果采取隔離措施的日期晚一周，那么整個疫情的感染人數幾乎增加了7倍!因此，堅決執(zhí)行有效隔離措施將是抑制疫情蔓延的最有效也是最可行的辦法.如果不采取隔離措施，那么疫情的后果將是災難性的.

2.2 湖北省新增臨床確診病例對疫情防控的影響分析

在2月12日一天湖北省的新增病例突然猛增到14 840例，這是由于自2月13日起，在湖北省病例診斷分類中增加了“臨床診斷”，并將臨床診斷病例數新納入確診病例數，進行公布，因為并不是所有患者都能檢測出核酸陽性.通過病原學(核酸檢測和基因測序)確診的百分比僅為20%～30%，70%～80%要靠臨床醫(yī)生來做臨床診斷.因此在采取臨床診斷措施后，本文將參數β2和ω分別調整為0.16和0.33，也就是說隔離后的感染率降低和治愈率提高.對這一措施進行分析，通過仿真手段來預估這一措施對此次新冠肺炎疫情防控的作用.仿真結果如圖4所示.

根據湖北省衛(wèi)生健康委員會的報告，在圖4中用圓點曲線表示湖北省每日的現存確診病例數(1月20日—2月29日)，與圖2相同，橫坐標的起點為1月1日.通過對比仿真結果和實際數據，可以看出仿真結果的感染人數比湖北省公布的現存確診病例數要多.在2月12日湖北省未增加臨床確診病例之前，仿真結果與官方公布數據差距較大.這可能是由于疫情前期對病人的確診手段有限，確診所需的試劑盒并不充足，導致了一些感染者被漏報.可以看到在湖北省增加了臨床確診病例之后，確診病例數大幅增加，仿真結果逐漸接近官方數據.這就表示之前可能存在漏診的一些病例被納入確診范圍，并會被有效地隔離治療，這種措施大大降低了這些漏診病例繼續(xù)傳播病毒的風險.從目前官方公布的現存病例數據來看，疫情的實際發(fā)展趨勢也與本文的仿真結果基本一致.

本文又假設了不增加臨床確診病例的情況，這樣勢必會有漏診的情況出現.那么在家隔離的情況Q1類人群傳播病毒的風險就會增大，對應的模型(1)中的參數β2和ω也就變大，圖4虛線就是這種情況.可以看出，對比增加臨床確診病例的情況，不增加臨床確診病例會降低疫情的消亡速度.因此作者認為湖北省增加臨床確診病例的措施對于遏制疫情的發(fā)展是非常有利的.

3 結 論

1) SIQR模型的仿真結果可以充分說明隔離措施就是目前防控新冠肺炎疫情最可行最有效的手段.采取隔離措施將使疫情在短時期內得到有效控制.

2) 模型結果顯示2月中下旬現存確診病例的數量將達到頂峰，模型的仿真結果與官方公布的實際數據擬合程度較高.在“拐點”過后，現存確診病例數量將逐步下降，整個疫情過程會持續(xù)4個月左右.

3) 通過仿真結果可以看出，如果隔離措施晚執(zhí)行一周，那么整個疫情的感染人數就將增加近7倍.因此在疫情后期，也應該嚴格執(zhí)行隔離措施，不能掉以輕心.

4) 湖北省2月12日增加了臨床確診病例，這有效地解決了之前可能存在漏診病例的問題，并大幅加快了疫情的消亡速度.后續(xù)官方公布的實際數據也驗證了仿真結果.