關(guān)于四元數(shù)指數(shù)函數(shù)的注記

常振虎，唐哲，曹文勝

（五邑大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，廣東 江門 529020）

眾所周知，指數(shù)函數(shù)ex有冪級數(shù)展開式，且其收斂半徑為無窮大，即有

將此級數(shù)擴(kuò)展到復(fù)數(shù)域，并令x=i,θ θ∈R，便得到著名的歐拉公式[1]：

四元數(shù)是Hamilton 于1843 年發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)概念.記R 和C 分別表示實數(shù)域和復(fù)數(shù)域，則四元數(shù)可表示為

其中，i,j,k 滿足如下乘法表：

1 相關(guān)定義及引理

定義1對任意四元數(shù)q，我們定義

顯然，eq也是一個四元數(shù)，且當(dāng)q 是實數(shù)或復(fù)數(shù)時，就是我們常見的實數(shù)域或復(fù)數(shù)域上的指數(shù)函數(shù).

要使式（5）有意義，需要判定式（5）右邊是否為收斂的級數(shù)，而這是顯然的.因為我們知道當(dāng)q∈H C時，存在p≠ 0，使得 pqp-1=Re(q)+|Im(q)|i=qc∈C[4]，而進(jìn)而

由復(fù)變函數(shù)關(guān)于復(fù)數(shù)冪函數(shù)的知識（詳見參考文獻(xiàn)[1]第161 頁例4.6），得到式（5）的左邊對任意四元數(shù)是收斂的，因而定義1 是有意義的.

定義2如果四元數(shù)u 滿足Re(u)=0,|Im(u)|=1 ，我們定義u 為四元數(shù)的一個虛數(shù)單位，簡稱虛數(shù)單位.如：等都是虛數(shù)單位.

在 R3空間中，x=(x1,x2,x3),y=(y1,y2,y3)的內(nèi)積為我們可以把四元數(shù)q 的虛部 Im(q)=q1i+q2j+q3k 視作三維向量 (q1,q2,q3)，則我們有

引理1設(shè) u=u1i+u2j +u3k ，v=v1i+v2j+v3k，則：uv=-u·v+u×v.

證明由四元數(shù)計算規(guī)則知：

2 四元數(shù)上的歐拉公式

定理1設(shè)u 是四元數(shù)虛數(shù)單位，θ∈R，則有

證明因為u 為虛數(shù)單位，所以u3=-u，u4=1，…，將q=uθ代入式（5），得：

我們把上面的公式稱為四元數(shù)上的歐拉公式.

定理2設(shè) q=q0+qv，其中 q0=Re(q)，qv=Im(q)，則有

證明對四元數(shù) q=q0+qv，其中 q0是實部，qv是虛部，由式（5）知：

由定理1 知

推論1設(shè)u 是單位虛數(shù)，則：

證明利用 euθ=cosθ+u sin θ,e-uθ=cosθ-usin θ，兩式相加或相減立即得出上面的結(jié)論.

3 四元數(shù)的輻角和對數(shù)函數(shù)

設(shè) q=q0+q1i+q2j+q3k=q0+qv≠ 0.我們把四元數(shù)看作四維空間中的一個點，則以原點為起點，q 為終點的向量與四元數(shù)q 一一對應(yīng)，此向量與x 軸一起張成一個二維平面.這個平面的基為x=(1,0,0,0)和 (0,q1,q2,q3)這兩個向量.我們可視此平面類似于復(fù)平面，則在此類復(fù)平面上，將正實軸和之間夾角的弧度數(shù)θ 定義為q 的輻角，記作arg(q)=θ.在這里有當(dāng)然，輻角有無窮多個，我們把滿足條件 0≤θ0≤π的輻角稱為arg(q)的主值，記為那么很顯然 arg(z)=θ0+2kπ，其中k 為任意整數(shù).在這里需要說明的是，在傳統(tǒng)的復(fù)平面上輻角的主值是 0≤θ0＜2π，但放在四元數(shù)的情形下時，考慮到 euθ=e(-u)(-θ)，我們?nèi)≈髦禐?≤θ≤π.下面討論四元數(shù)的指數(shù)表示.

設(shè)q=q0+qv=reuθ=r (cosθ+usin θ)，則有 q0=r cos θ，qv=ru sin θ.故有即

在指數(shù)表示下，兩個四元數(shù)相等是指模長相等，輻角也相等.與復(fù)變函數(shù)中相關(guān)理論類似，在四元數(shù)體上，定義對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，則滿足方程eω=z (z ≠ 0)的函數(shù) ω=f (z)為四元數(shù)變量z 的對數(shù)函數(shù).

令四元數(shù) ω=ω0+ωv，其中ω0為實部，ωv=Im(ω),z=r euθ.則

由四元數(shù)相等及關(guān)于輻角的說明，有

所以對數(shù)函數(shù) ω=f (z)可記作

其中k 為任意整數(shù)，ln|z|∈R 為實函數(shù)中的對數(shù)函數(shù).

設(shè)u 是某 一四元 數(shù)虛數(shù) 單位，則有 euθeuβ=(cosθ+sin θu)·(cos β+ sin βu)=eu(θ+β).由于 四元數(shù) 的虛數(shù)單 位眾多，所以 上式 eiθeiβ=ei(θ+β)是形 式上的 推廣.從四 元數(shù)模 的性質(zhì) 我們知 道，euθ與 evβ的乘 積仍是模為單位1 的四元數(shù)，可以表示為 ewα的形式，下面討論w,α 與u,v,θ,β 的關(guān)系.

定 理3設(shè)u,v 為 四元 數(shù)虛 數(shù)單 位，則 euθevβ=ewα，其中 α=arccos ［cos θcos β-sin θsin β(u·v)］，

證明由定理1 知

又因為 ewα=cos α+w sin α，由四元數(shù)相等知

故可得

例1已 知 a1,a2,b1,b2,α,β∈R，設(shè) I=cos a1sin b1i +cos a1cos b1j +sin a1k ，J=cos a2sin b2i +cos a2cos b2j +sin a2k，則由定理3，我們可得出eKγ=eIαeJβ，其中