非奇異H-矩陣的含參量的迭代判據(jù)

張俊麗

(內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 內(nèi)蒙古 通遼 028043)

非奇異H-矩陣在控制論、電力系統(tǒng)理論、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)以及彈性力學(xué)等許多領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用.但是,非奇異H-矩陣的數(shù)值判定卻很困難,國內(nèi)外很多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了深入的研究[1-21].本文在文獻(xiàn)[4]的基礎(chǔ)上,通過對(duì)指標(biāo)集作重新劃分,給出了非奇異H-矩陣的含參量的新判據(jù),數(shù)值算例表明該判據(jù)是有效的.

首先引入符號(hào)和定義：

用Cn×n表示n×n階復(fù)矩陣的集合.α∈(0,1],N={1,2,…,n},

Ostrowski[1]1937年給出了非奇異H-矩陣的定義. 矩陣A=(aij)∈Cn×n是非奇異H-矩陣的直觀定義是其比較矩陣M(A)為非奇異M-矩陣,其中M(A):=(bij)定義如下：

下面給出廣義對(duì)角占優(yōu)矩陣的定義,它與非奇異H-矩陣的定義等價(jià)[8].

定義2[8]設(shè)A=(aij)∈Cn×n,如果?α∈(0,1],使得對(duì)?i∈N,有

|aii|≥(>)(Λi(A))α(Ci(A))1-α

定義3設(shè)A=(aij)∈Cn×n,若A∈D0(α)是不可約的,且至少有一個(gè)不等式是嚴(yán)格的,稱A為不可約α-鏈對(duì)角占優(yōu)矩陣；若A∈D0(α),并對(duì)于滿足等式成立的下標(biāo)i都存在非零元素鏈aii1,ai1i2, …,aikj,滿足|ajj|>(Λj(A))α(Cj(A))1-α,稱A為具有非零元素鏈α-鏈對(duì)角占優(yōu)陣.

1)A∈D(α);

2)A為不可約α-鏈對(duì)角占優(yōu)矩陣;

3)A為具有非零元素鏈α-鏈對(duì)角占優(yōu)矩陣.

首先給出如下符號(hào)：

記

N={1,2,…,n}

N1={i∈N:0<|aii|≤(Λi(A))α(Ci(A))1-α}

N2={i∈N:|aii|>(Λi(A))α(Ci(A))1-α}

?i∈N2,p=0,1,2,…

r′p(A)=

p=0,1,2,…

1 主要結(jié)果

定理1設(shè)A=(aij)∈Cn×n,α∈(0,1],若存在非負(fù)整數(shù)p, 使得A滿足如下條件之一:

(1)

(2)

令

(3)

(4)

由式(3)得

(5)

構(gòu)造正對(duì)角陣X=diag(x1,x2,…,xn),并記B=AX=(bij), 其中,

xi=1,?i∈N1;xi=δi(A)+ε,?i∈N2

于是

由式(2)

② ?i∈N2,δi(A)<1, 故

|bii|=(δi(A)+ε)|aii|=δi(A)|aii|+ε|aii|>

[Λi(A)]α[Ci(A)]1-α+ε[Λi(A)]α[Ci(A)]1-α=

[Λi(A)]α(1+ε)α[(1+ε)Ci(A)]1-α>

[Λi(A)]α(1+ε)α[(δi(A)+ε)Ci(A)]1-α>

[Λi(B)]α[Ci(B)]1-α

(6)

故存在ε,滿足：

由r′p的定義知:

于是

因此,對(duì)?i∈N, 有

定理1中的迭代判據(jù)亦可作如下形式的推廣：

(7)

證明由A不可約,故?i∈N′?N,?j∈N-N′,由|aij|不全為零.

且至少有一嚴(yán)格不等式是成立的.

利用引理3,亦可得到下面的結(jié)論.

且至少有一嚴(yán)格不等式成立,又對(duì)每一個(gè)等式成立的i,存在非零元鏈aii1ai1i2ai2i3…aikj,滿足:

2 數(shù)值算例

考慮矩陣

于是

致謝：本文得到內(nèi)蒙古民族大學(xué)自然科學(xué)基金(NMDYB19057)項(xiàng)目的資助，在此表示感謝.