執(zhí)行器退化下反饋控制系統(tǒng)的壽命預(yù)測(cè)和延壽方法

李 煒, 王成文

(1. 蘭州理工大學(xué) 電氣工程與信息工程學(xué)院, 甘肅 蘭州 730050; 2. 蘭州理工大學(xué) 甘肅省工業(yè)過程先進(jìn)控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 甘肅 蘭州 730050; 3. 蘭州理工大學(xué) 電氣與控制工程國家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心, 甘肅 蘭州 730050)

隨著工業(yè)過程安全性、可靠性要求的提升,控制系統(tǒng)的性能和相關(guān)設(shè)備的健康管理已成為業(yè)界關(guān)注的重點(diǎn)問題[1].執(zhí)行器作為控制器與被控對(duì)象之間的物理連接,在反饋控制系統(tǒng)中扮演著重要角色,因長(zhǎng)期運(yùn)行及外界環(huán)境的影響,不可避免地會(huì)發(fā)生腐蝕、磨損、沖擊等退化問題,從而減弱執(zhí)行器的執(zhí)行能力,降低控制系統(tǒng)性能,影響產(chǎn)品質(zhì)量[2].如若在其退化初期就能對(duì)系統(tǒng)的壽命進(jìn)行預(yù)測(cè),并采用適當(dāng)?shù)目刂撇呗酝ㄟ^延緩執(zhí)行器的退化過程進(jìn)而延長(zhǎng)控制系統(tǒng)的壽命,這對(duì)企業(yè)的安全生產(chǎn)具有重要意義[3].因此,控制系統(tǒng)剩余壽命預(yù)測(cè)(residual useful life,RUL)以及延壽控制已成為預(yù)測(cè)與健康管理(prognostics and health management,PHM)領(lǐng)域高度關(guān)注的問題.

控制系統(tǒng)在高性能要求的運(yùn)行過程中,執(zhí)行器作為關(guān)鍵部件通常是滿負(fù)荷甚至過負(fù)荷工作.因此,這類關(guān)鍵部件的退化必定會(huì)影響控制系統(tǒng)壽命和系統(tǒng)的維護(hù)時(shí)間.

目前,針對(duì)執(zhí)行器等部件退化的剩余壽命預(yù)測(cè)已取得了大量的研究成果,但對(duì)控制系統(tǒng)壽命預(yù)測(cè)和健康管理方面的研究還相對(duì)較少.Khorasgani等[4]指出,雖然執(zhí)行器壽命與控制系統(tǒng)壽命存在本質(zhì)區(qū)別,但執(zhí)行器性能的逐漸退化必然會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)性能下降.因而,若僅就執(zhí)行器退化情形下,建立更為準(zhǔn)確的退化過程模型對(duì)控制系統(tǒng)的壽命進(jìn)行預(yù)測(cè),并據(jù)此制定合理的維護(hù)策略,是延長(zhǎng)控制系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)間的關(guān)鍵所在.

為能在部件退化或早期故障情形下盡可能延長(zhǎng)系統(tǒng)壽命、增加其可靠工作時(shí)間,延壽控制方法應(yīng)用而生.它是指通過調(diào)整某些性能變量的變化率或者參數(shù)值來減小關(guān)鍵部件的損傷或損壞率,并保證系統(tǒng)性能處于可接受范圍內(nèi)[5].延壽控制作為一種通過改變控制作用、控制器結(jié)構(gòu)或者增益來主動(dòng)管理系統(tǒng)關(guān)鍵部件健康水平的在線視情維護(hù)方法,起初應(yīng)用于火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的延壽中[6],后逐漸在其他執(zhí)行器的健康管理中出現(xiàn).

Langeron等[9]研究了執(zhí)行器服從Gamma退化過程下的反饋控制系統(tǒng)延壽策略,通過調(diào)整控制器參數(shù)保證系統(tǒng)更長(zhǎng)的運(yùn)行時(shí)間，但在執(zhí)行器退化過程建模時(shí)僅考慮了沖擊影響且只針對(duì)某一退化階段進(jìn)行延壽控制研究.

Weber等[10]針對(duì)執(zhí)行器退化情形提出了新的控制分配策略,通過在線對(duì)執(zhí)行器可靠性進(jìn)行評(píng)估并設(shè)計(jì)補(bǔ)償調(diào)節(jié)器,通過修正設(shè)定點(diǎn)延長(zhǎng)系統(tǒng)運(yùn)行壽命,但同樣缺乏對(duì)執(zhí)行器退化機(jī)理的全面分析.

施權(quán)等[11]將閉環(huán)反饋控制作用下的執(zhí)行器退化描述為隱含退化過程,建立了控制系統(tǒng)剩余壽命與執(zhí)行器退化過程的內(nèi)在聯(lián)系,基于粒子濾波與蒙特卡洛方法估計(jì)得到執(zhí)行器的隱含退化量和系統(tǒng)失效閾值,推導(dǎo)了系統(tǒng)剩余壽命分布,但未涉及執(zhí)行器退化下控制系統(tǒng)延壽控制策略的研究.

鑒于以上分析,本文考慮到執(zhí)行器退化過程機(jī)理的復(fù)雜性,建立了更貼合實(shí)際的復(fù)合退化模型；采用基于失效時(shí)間的概率方法估計(jì)控制系統(tǒng)剩余壽命.在此基礎(chǔ)上,利用系統(tǒng)退化狀態(tài)信息調(diào)整LQR控制策略尋找系統(tǒng)性能與控制作用之間滿意的Q和R參數(shù),通過減小控制作用來保證執(zhí)行器的健康水平.同時(shí),引入修正參考設(shè)定值的方法來避免系統(tǒng)達(dá)到給定退化閾值時(shí)LQR調(diào)節(jié)無效的缺陷,通過延緩執(zhí)行器退化過程來延長(zhǎng)系統(tǒng)的運(yùn)行時(shí)間,以期在執(zhí)行器退化的全周期內(nèi)為控制系統(tǒng)提供延壽保障.

1 問題描述

1.1 執(zhí)行器退化下反饋控制系統(tǒng)描述

考慮控制系統(tǒng)中執(zhí)行器的類型不同及其退化過程存在差異,且多個(gè)執(zhí)行器退化對(duì)系統(tǒng)壽命影響較為復(fù)雜.本文以單一執(zhí)行器退化下的線性系統(tǒng)為研究對(duì)象,其狀態(tài)方程可描述為

(1)

式中:x(t)∈Rn為n維狀態(tài)向量;u(t)∈Rr為控制輸入;y(t)∈Rm為系統(tǒng)輸出;A、B、C分別代表系統(tǒng)狀態(tài)矩陣、控制矩陣和輸出矩陣;執(zhí)行器完成控制作用u(t)的能力很大程度上取決于其健康水平;由于執(zhí)行器退化量逐漸累積,完成控制作用u(t)的能力逐漸減弱,可以用(1-c(t))描述,其中c(t)={diag(0,…,ci,…,0)}r×r為第i個(gè)執(zhí)行器發(fā)生退化,ci=C(t)/C(t0)表示執(zhí)行器當(dāng)前執(zhí)行能力與初始執(zhí)行能力之比.

為更精確描述執(zhí)行器退化對(duì)系統(tǒng)性能的影響,結(jié)合執(zhí)行器執(zhí)行能力與系統(tǒng)性能之間的關(guān)系,本文將退化過程描述為圖1所示的三個(gè)階段,其中:Ln表示系統(tǒng)性能正常時(shí)的執(zhí)行器執(zhí)行能力閾值;Lsf表示執(zhí)行器退化至系統(tǒng)失效時(shí)的閾值;Laf表示執(zhí)行器失效閾值,顯然lsf

階段Ⅰ：考慮設(shè)計(jì)之初執(zhí)行器留有一定裕量,此階段執(zhí)行器發(fā)生退化時(shí),由于執(zhí)行機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)裕量可保證系統(tǒng)不受退化影響,D(t)≤Ln且ci=0；

階段Ⅱ：由于執(zhí)行器持續(xù)退化,系統(tǒng)性能已無法達(dá)到所要求的性能指標(biāo),此階段Ln

階段Ⅲ：因執(zhí)行器退化使系統(tǒng)性能處于不可接受的范圍內(nèi),此階段Lsf

在現(xiàn)代控制理論中,LQR因反饋控制律簡(jiǎn)單、控制過程易于實(shí)現(xiàn)的特點(diǎn)在控制工程中獲得了廣泛應(yīng)用.LQR要求確定最優(yōu)的控制作用u(t),在區(qū)間[t0,th]使以下二次型性能指標(biāo)極小：

(2)

式中:Q和R分別表示狀態(tài)量權(quán)重和控制量權(quán)重;y(t)為實(shí)際輸出;r(t)為設(shè)定參考點(diǎn).根據(jù)LQR控制理論[12],系統(tǒng)控制作用u(t)可表示為

u(t)=-Kx(t)+[C(BlK-A)-1Bl]-1r(t)

(3)

式中:K表示使性能指標(biāo)最小的增益矩陣;Bl=B(1-c(t))為執(zhí)行器退化下的控制矩陣.

為評(píng)價(jià)控制系統(tǒng)性能,本文采用靜態(tài)誤差ess、上升時(shí)間tr和調(diào)節(jié)時(shí)間ts三個(gè)指標(biāo)衡量:

(4)

1.2 執(zhí)行器退化過程描述

執(zhí)行器通常由閥門、電機(jī)等物理設(shè)備組成.在實(shí)際中,磨損和沖擊是導(dǎo)致其遭受不同程度損傷的主要原因[13].因此,單一的退化機(jī)理并不能準(zhǔn)確描述實(shí)際退化過程,需要借助多種退化機(jī)理共同作用的復(fù)合退化模型進(jìn)行描述.此外,相比基于Wiener過程的退化建模方法,Gamma過程和累積損傷退化模型具有物理意義明確的優(yōu)點(diǎn)[14],亦適用于磨損和沖擊退化過程建模.因此,本文選擇后者建立復(fù)合退化模型.

假設(shè)D(t)為t時(shí)刻執(zhí)行器的退化量,在t>0的時(shí)間段內(nèi),執(zhí)行器退化量可表示為

D(t)=Z(t)+S(t)

(5)

其中:Z(t)表示執(zhí)行器的磨損退化量;S(t)表示外界沖擊造成的累積退化.

磨損過程是緩慢發(fā)生的,在許多研究中,Gamma過程樣本路徑包含微小的難以觀察的跳躍和創(chuàng)傷性跳躍,常用以描述系統(tǒng)疲勞、磨損、腐蝕等自然退化現(xiàn)象[15].設(shè)Gamma退化過程為{X(t),t≥0},退化失效閾值為常量laf,T表示退化過程的首達(dá)時(shí)間,Gamma過程的概率分布函數(shù)可表示為

(6)

式中:α和β分別表示Gamma分布的形狀參數(shù)和尺度參數(shù),相應(yīng)的概率密度函數(shù)為

(7)

因工況變化與工作環(huán)境影響,執(zhí)行器會(huì)受隨機(jī)沖擊影響并造成損傷,這些損傷具有累積效應(yīng).當(dāng)累積損傷超過一定范圍時(shí),就會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)失效[16].假設(shè)第k次沖擊造成的損傷幅值為Wk,以N(t)表示直到時(shí)刻t的沖擊次數(shù),則時(shí)刻t的退化量S(t)可以表示為

(8)

在元件正常運(yùn)行中,往往受到外力的沖擊[17],且沖擊是隨機(jī)產(chǎn)生的,從任何時(shí)間t到下一次沖擊到達(dá)的時(shí)刻具有無記憶性,則可認(rèn)為沖擊服從參數(shù)為λ的齊次Poisson過程,且沖擊幅值服從均值為μ的指數(shù)分布,也可表示為形狀參數(shù)為k、尺度參數(shù)為1/μ的Gamma分布.當(dāng)產(chǎn)品的退化過程可以利用復(fù)合Poisson過程描述時(shí),利用標(biāo)準(zhǔn)損傷累積過程的結(jié)果,可得t時(shí)刻累積損傷S(t)的概率分布函數(shù)為

(9)

相應(yīng)的概率密度函數(shù)為

(10)

綜上分析可知,在磨損與沖擊作用下執(zhí)行器復(fù)合退化的壽命概率分布函數(shù)可以表示為

P{D(t)

(11)

若假設(shè)執(zhí)行器的初始執(zhí)行容量為Ca,t時(shí)刻的退化量為D(t),則該時(shí)刻執(zhí)行器的執(zhí)行能力可表示為

C(t)=Ca-D(t)

(12)

2 控制系統(tǒng)剩余壽命與延壽控制策略

2.1 控制系統(tǒng)剩余壽命預(yù)測(cè)

執(zhí)行器壽命和控制系統(tǒng)壽命既有區(qū)別又有聯(lián)系.執(zhí)行器壽命雖然僅反映單個(gè)器件的生命周期,但當(dāng)其退化到某一閾值時(shí)系統(tǒng)也將無法完成期望的控制任務(wù),即意味著控制系統(tǒng)壽命終止[11].因此確定不滿足性能指標(biāo)的控制系統(tǒng)退化閾值,并依據(jù)此進(jìn)行壽命預(yù)測(cè)和在線延壽維護(hù)是本文要解決的核心問題.

所有28例宮頸腺癌患者采用體外放射治療加腔內(nèi)放射治療，體外放療應(yīng)用60 Co遠(yuǎn)距離體外放射治療機(jī)，體外全盆野照射總量45～50 Gy，腔內(nèi)照射應(yīng)用192Ir后裝治療機(jī)，總量24～30 Gy。放療結(jié)束后，根據(jù)患者的具體情況于3～12周行經(jīng)腹手術(shù)，其中7例患者于放療后4周內(nèi)行手術(shù)，20例患者于放療后4～8周行手術(shù)，1例患者于放療后12周行手術(shù);筋膜外全子宮及雙附件切除術(shù)26例，筋膜外全子宮、雙附件切除術(shù)及部分陰道切除術(shù)1例，筋膜外全子宮、雙附件切除術(shù)及盆腔淋巴結(jié)活檢術(shù)1例。

由于lsf

Tf=inf{t:D(t)>lsf}

(13)

則系統(tǒng)剩余壽命表示為

RUL(t)=inf{Tf>t,D(t)>lsf}-t

(14)

由已建立的復(fù)合退化模型可知,系統(tǒng)的剩余壽命概率分布函數(shù)為

F(t)=P{T≤t}=P{Z(t)+S(t)>lsf}=

P{D(t)>lsf}=1-P{D(t)≤lsf}=

(15)

其對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù)可表示為

(16)

綜合式(13～16)可得系統(tǒng)剩余壽命預(yù)測(cè)信息,這為延壽控制為主的在線視情維護(hù)提供了前提條件.若將執(zhí)行器的健康水平和系統(tǒng)剩余壽命納入控制器設(shè)計(jì)中,通過調(diào)整控制策略來管理執(zhí)行器退化,便可保證整個(gè)控制系統(tǒng)在可接受的性能要求下運(yùn)行更長(zhǎng)時(shí)間.

2.2 控制系統(tǒng)三段式延壽策略

由前述線性二次型調(diào)節(jié)器(LQR)性能函數(shù)可知.Q強(qiáng)調(diào)狀態(tài)量對(duì)系統(tǒng)性能的影響,R關(guān)注控制輸入與性能指標(biāo)的關(guān)系.權(quán)重Q減小和R增大可使控制輸入減小,以此緩解執(zhí)行器的執(zhí)行壓力,進(jìn)而達(dá)到延緩執(zhí)行器退化并延長(zhǎng)系統(tǒng)壽命的目的.然而,當(dāng)因執(zhí)行器退化使系統(tǒng)無法按期望目標(biāo)完成任務(wù)時(shí),為保證控制系統(tǒng)能夠延長(zhǎng)安全工作時(shí)段,可以通過調(diào)節(jié)參考設(shè)定值來達(dá)到延長(zhǎng)控制系統(tǒng)壽命的目的.延壽控制下的反饋控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2所示.針對(duì)前述執(zhí)行器退化導(dǎo)致系統(tǒng)退化的三個(gè)不同階段,控制系統(tǒng)的延壽策略亦分為三個(gè)階段.

具體的算法流程如圖3所示.

3 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

3.1 仿真實(shí)驗(yàn)

單容水箱控制系統(tǒng)是一個(gè)典型的反饋控制系統(tǒng),本文通過研究其水泵的退化過程來驗(yàn)證文中方法的有效性.設(shè)水箱的橫截面積為S,入口流量qin與水泵的控制輸入uc之間的關(guān)系為

qin=Ka·uc

式中:Ka表示水泵的執(zhí)行能力.

根據(jù)托里拆利定理,出口流量為

式中:h表示水箱液位高度;g為重力加速度;Kv為閥門相關(guān)參數(shù).

根據(jù)質(zhì)量守恒定律建模并進(jìn)行近似處理,可得單容水箱系統(tǒng)的模型為

(17)

本文假定磨損退化服從尺度參數(shù)為μ的指數(shù)分布,沖擊時(shí)間服從參數(shù)為λ的齊次泊松過程,且每次沖擊的損傷也服從尺度參數(shù)為μ的指數(shù)分布.復(fù)合退化模型下,控制系統(tǒng)的壽命分布表示為

F(t)=P{D(t)>lsf}=P{Z(t)+S(t)>lsf}=

(18)

同時(shí),為比較延壽策略與無延壽策略下的反饋控制系統(tǒng)性能指標(biāo),選擇執(zhí)行器退化的全過程中N個(gè)退化點(diǎn)進(jìn)行仿真分析.則評(píng)價(jià)系統(tǒng)的三個(gè)關(guān)鍵性能指標(biāo)可定義為

(19)

3.2 結(jié)果分析

1) 執(zhí)行器復(fù)合退化模型及系統(tǒng)剩余壽命預(yù)測(cè)

因?qū)嶋H執(zhí)行器退化過程的復(fù)雜性,多種退化機(jī)理相比單一的退化機(jī)理對(duì)其描述更為準(zhǔn)確.本文仿真了磨損和復(fù)合情形下的執(zhí)行器退化曲線,從退化機(jī)理角度闡述了單一退化和復(fù)合退化模型對(duì)執(zhí)行器退化描述的差異.從圖4可知,因復(fù)合退化模型同時(shí)考慮磨損和沖擊的影響,相比單一的磨損退化對(duì)執(zhí)行器退化描述更為貼合實(shí)際.

由1.2節(jié)的描述可知,在退化過程中執(zhí)行器的執(zhí)行能力會(huì)隨之下降.假設(shè)執(zhí)行器的初始執(zhí)行能力為Ka=8,根據(jù)式(12),復(fù)合退化情形下執(zhí)行器執(zhí)行能力隨時(shí)間的變化曲線如圖5所示.

在執(zhí)行器執(zhí)行能力因退化而下降的過程中,控制系統(tǒng)性能也會(huì)隨之下降,當(dāng)超過控制系統(tǒng)三個(gè)性能指標(biāo)約束對(duì)應(yīng)的退化失效閾值lsf時(shí),根據(jù)式(18)和lsf,此時(shí)單容水箱控制系統(tǒng)的壽命預(yù)測(cè)分布如圖6所示.從圖6可知,在t=95 s時(shí)系統(tǒng)無法滿足性能指標(biāo),即說明控制系統(tǒng)壽命終止.

2) 控制系統(tǒng)延壽策略

為說明執(zhí)行器退化情形下,延壽策略與無延壽策略時(shí)對(duì)控制系統(tǒng)輸出的影響,仿真給出了圖7所示的對(duì)比圖.可以看出在執(zhí)行器隨時(shí)間發(fā)生退化時(shí),系統(tǒng)輸出呈現(xiàn)逐漸下降的趨勢(shì).但是,在延壽策略下執(zhí)行器的執(zhí)行壓力得到緩解,系統(tǒng)輸出更為理想.進(jìn)一步,當(dāng)執(zhí)行器退化達(dá)到閾值lsf時(shí),通過調(diào)整控制器參數(shù)已無法緩解執(zhí)行器執(zhí)行壓力,此時(shí),需適當(dāng)降低控制目標(biāo),通過修正參考設(shè)定值,犧牲系統(tǒng)的性能指標(biāo)換取執(zhí)行器的健康水平(框線部分所示),以此進(jìn)行控制系統(tǒng)延壽控制.

延壽策略與無延壽策略時(shí)系統(tǒng)性能的對(duì)比結(jié)果見表1,表明延壽策略下不僅能保證執(zhí)行器健康水平,系統(tǒng)性能也可在接受范圍內(nèi).同時(shí),在延壽策略下Tr和Ts略大于無延壽策略時(shí),也說明為了保證執(zhí)行器健康水平,必須以適當(dāng)犧牲部分系統(tǒng)性能為代價(jià).

表1 系統(tǒng)性能對(duì)比

圖8顯示了延壽策略與無延壽策略下控制作用的變化曲線.延壽策略下,控制作用隨退化時(shí)間逐漸減小,執(zhí)行器執(zhí)行壓力能夠有效緩解,因此可以延長(zhǎng)系統(tǒng)的運(yùn)行時(shí)間；而未采取延壽策略時(shí),由于控制器持續(xù)施加相同的控制作用,執(zhí)行器執(zhí)行壓力無法得到緩解,系統(tǒng)壽命也因此減少.延壽策略下Q和R的變化趨勢(shì)如圖9所示.

延壽策略與無延壽策略下執(zhí)行器執(zhí)行能力對(duì)比結(jié)果如圖10所示,顯然,延壽策略下執(zhí)行器的退化過程較未延壽時(shí)緩慢,證明所提方法能緩解其執(zhí)行壓力并有效延長(zhǎng)系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)間.

4 結(jié)語

本文針對(duì)執(zhí)行器退化情形下LQR反饋控制系統(tǒng)的壽命預(yù)測(cè)及系統(tǒng)在線自主優(yōu)化維護(hù)問題,建立了執(zhí)行器隨機(jī)復(fù)合退化模型,并根據(jù)執(zhí)行器退化過程定義了系統(tǒng)退化的三個(gè)階段,采用基于失效時(shí)間的概率方法預(yù)測(cè)控制系統(tǒng)壽命.為實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)在線自主優(yōu)化維護(hù)并延長(zhǎng)系統(tǒng)運(yùn)行周期,通過折衷平衡執(zhí)行器健康水平和控制系統(tǒng)性能,提出了調(diào)整LQR控制器參數(shù)和修正設(shè)定值的延壽策略來保證系統(tǒng)獲得更長(zhǎng)的運(yùn)行時(shí)間.仿真實(shí)驗(yàn)表明,所提方法能夠通過減小執(zhí)行器控制輸入保證其健康水平,進(jìn)而延長(zhǎng)系統(tǒng)工作壽命.

下一步研究工作主要包括：1) 對(duì)執(zhí)行器壽命和控制系統(tǒng)壽命進(jìn)一步細(xì)致區(qū)分,探究二者之間的區(qū)別與聯(lián)系；2)尋找新的延壽控制策略對(duì)執(zhí)行器退化下的控制系統(tǒng)進(jìn)行延壽控制.