含幾何偏心誤差的變雙曲圓弧齒線圓柱齒輪動力學(xué)分析

陳 帥，祝 杰，侯 力，吳 陽

（1.四川大學(xué)制造科學(xué)與工程學(xué)院，四川 成都 610065；2.二灘水力發(fā)電廠，四川 攀枝花 617100）

1 引言

變雙曲圓弧齒線圓柱齒輪（VH-CATT）作為一種新型齒輪，在齒寬方向的齒線為圓弧齒線，中截面上的齒廓線為漸開線，其他截面上的齒廓線為變雙曲線，具有接觸性長、無軸向分力、承載能力大、傳動效率高、傳動平穩(wěn)等特點，故有廣闊的應(yīng)用前景。20世紀40 年代，文獻[1]提出了弧齒圓柱齒輪的概念。許多學(xué)者對其理論進行了深入研究，文獻[1]對面向制造的弧齒圓柱齒輪的成型原理和三維建模進行了較深入的剖析；文獻[2]對圓弧齒輪的靜態(tài)接觸應(yīng)力進行了詳細的研究。文獻[3-4]對圓弧齒輪的動態(tài)接觸應(yīng)力接行了詳細的分析。但目前對于變雙曲圓弧齒線圓柱齒輪加工誤差的研究甚少。而齒輪在制造與安裝的過程中，難以避免地會產(chǎn)生誤差，從而使齒輪副的瞬時傳動比發(fā)生變化，產(chǎn)生傳動誤差；會大大降低齒輪工作的可靠性與精度，甚至嚴重時導(dǎo)致齒輪或其他零件的損壞，從而使傳動系統(tǒng)失效而導(dǎo)致嚴重后果[5]。因此對齒輪特別是對于變雙曲圓弧齒線圓柱齒輪而言傳動誤差的研究是非常有必要的。文獻[6]從嚙合線增量與幾何偏心關(guān)系入手，詳細推導(dǎo)分析幾何偏心對漸開線齒距累積誤差的影響規(guī)律，分析方式簡單明了被廣泛引用。文獻[7]從加工角度系統(tǒng)的分析了齒輪誤差的成因。文獻[8]建立了齒輪誤差模型并進行了仿真分析，但不能精確描述出齒輪偏心對系統(tǒng)傳動的影響規(guī)律。

目前對于齒輪傳動誤差的研究主要集中于齒輪誤差曲線與減小傳動誤差方法，但是齒輪傳動誤差對齒輪傳動的影響是直接由齒輪轉(zhuǎn)角變化決定的。采用ADAMS 對含有幾何偏心誤差的變雙曲圓弧齒線圓柱齒輪進行動力學(xué)仿真，通過對該齒輪傳動轉(zhuǎn)角誤差的分析，與傳統(tǒng)理論計算方法得到的結(jié)果進行對比，研究幾何偏心誤差對變雙曲圓弧齒線圓柱齒輪傳動的影響規(guī)律。

2 含幾何偏心誤差的變雙曲圓弧齒線圓柱齒輪模型的建立

幾何偏心是產(chǎn)生齒輪傳動誤差的重要來源，在變雙曲圓弧齒線圓柱齒輪切削過程中，齒坯在旋轉(zhuǎn)刀盤上進行加工的過程中，工件孔軸線與刀具軸線發(fā)生周期性的變化，繼而使工件在切制時，實際回轉(zhuǎn)中心偏離了理論回轉(zhuǎn)中心。根據(jù)齒輪幾何偏心誤差的成因，可以建立含幾何偏心誤差的變雙曲圓弧齒線圓柱齒輪三維模型。變雙曲圓弧齒線圓柱齒輪的成形原理，如圖1 所示。

圖1 VH-CATT 加工示意圖Fig.1 Processing of VH-CATT

完成加工的運動包括：（1）采用旋轉(zhuǎn)刀盤來進行加工，裝有刀頭的刀盤安裝在主軸上進行圓周旋轉(zhuǎn)運動，即主運動。（2）待加工的工件（齒坯）安裝在工作臺上做旋轉(zhuǎn)運動。刀盤沿齒輪分度圓切向移動，刀盤與工件實現(xiàn)精確的展成運動。完成齒面的形成過程。（3）在加工過程中，刀盤的進刀、退刀運動，和齒坯的分度運動。VH-CATT 齒面形成過程通過齒坯與刀具的形成原理和嚙合原理，基于由刀具旋轉(zhuǎn)形成的空間曲面方程，經(jīng)過坐標變換，得到該齒輪輪齒齒面方程[1]（1）。

式中：RT—名義旋轉(zhuǎn)刀盤半徑；Ri—齒坯分度圓半徑；m—齒輪模數(shù)；u—刀具曲面上任意點沿刀刃到參考點位移（mm）；α—刀具壓力角（°）；φ—齒輪的轉(zhuǎn)角，順時針方向為正；θ—加工過程中刀具從齒坯中截面到端面的轉(zhuǎn)角（°）稱為齒廓位置角，順時針方向為正；±—取正號時表示凹齒面，取負號表示凸齒面。

在齒輪切削加工過程中，齒輪的回轉(zhuǎn)中心線與刀具之間的距離不變，加工出來的齒輪基圓、節(jié)圓也不變。加工的回轉(zhuǎn)中心線與安裝使用的回轉(zhuǎn)中心線不重合，會導(dǎo)致基圓中心與齒頂圓上各點之間的距離不等，在精確齒輪模型的基礎(chǔ)之上，根據(jù)上述分析建立含幾何偏心誤差的變雙曲圓弧齒線圓柱齒輪模型。參照齒面方程1，運用MATLAB 取點計算得到凹、凸齒面的數(shù)據(jù)點云，然后將這些點云導(dǎo)入到UG 里面，經(jīng)過一系列的操作得到變雙曲圓弧齒線圓柱齒輪的齒面三維模型，然后以O(shè) 為圓心。為齒頂圓半徑，以為齒根圓半徑，經(jīng)過一系列操作建立初始的變雙曲圓弧齒線圓柱齒輪標準模型；再利用布爾運算以偏心距e 的O1為圓心切除半徑之外的部分；通過裝配建立對應(yīng)的傳動副模型；最后得到含幾何偏心誤差的變雙曲圓弧齒線圓柱齒輪傳動副三維模型，如圖2 所示。

圖2 含幾何偏心誤差的齒輪模型Fig.2 Gear Model with Geometric Eccentricity Error

3 幾何偏心誤差對齒輪傳動精度的影響

目前，對于齒輪傳動誤差分析主要采用的是嚙合線增量法。將齒輪轉(zhuǎn)角變化產(chǎn)生的誤差看作是輪齒間嚙合線增量的變化。齒輪加工誤差成因很多，不同誤差源在加工過程中所引起齒輪間嚙合關(guān)系的變化規(guī)律互不相同，幾何偏心誤差在齒輪加工誤差中占有很大比重。幾何偏心反映為齒輪加工的回轉(zhuǎn)中心線與安裝使用的回轉(zhuǎn)中心線不重合，二者的偏心量用e 表示。由于變雙曲圓弧齒線圓柱齒輪齒輪的中截面齒廓為漸開線齒廓[1]。采用幾何偏心齒輪與標準齒輪做單面嚙合，在任意位置，嚙合線增量可以表示為：

式中：α—壓力角，單位為弧度（rad）；φz—逆時針轉(zhuǎn)過的角度，單位為弧度（rad）。

可以看出，嚙合線的變化規(guī)律符合正弦變化規(guī)律，周期為2π。根據(jù)漸開線的性質(zhì)，得到該齒輪的轉(zhuǎn)角誤差為：

式中：Δφ—幾何偏心引起的轉(zhuǎn)角誤差，單位為mm；rb—從動齒輪基圓半徑，單位為mm。

建立四對含幾何偏心誤差的單級變雙曲圓弧齒線圓柱齒輪傳動系統(tǒng)模型，各對齒輪的基本參數(shù)，如表1 所示。其中，0 號與1號嚙合，0 號與2 號嚙合，0 號與3 號嚙合，0 號與4 號嚙合。

表1 偏心齒輪基本參數(shù)Tab.1 Basic Parameters of Eccentric Gear

4 ADAMS 仿真分析及結(jié)果處理

4.1 ADAMS 仿真預(yù)處理

ADAMS 是使用交互式圖形環(huán)境的多體動力學(xué)仿真軟件，可以從靜力學(xué)、運動學(xué)、動力學(xué)方面來對虛擬機械系統(tǒng)進行分析。目前，ADAMS 被廣泛應(yīng)用于齒輪嚙合分析中。在UG 中將建立的含有幾何偏心誤差的變雙曲圓弧齒線圓柱齒輪三維裝配體模型選擇導(dǎo)出Parasolid 格式文件，該文件格式可以防止數(shù)據(jù)丟失，保證導(dǎo)入到ADAMS 中模型的準確性，從而保證仿真結(jié)果的正確性和有效性。為了控制插值分析中的插值誤差，同時為了盡可能的減少仿真的計算時間，仿真設(shè)置中采用系統(tǒng)默認的積分誤差。采用Intergrator選項來改變積分方式，選擇Gstiff 積分求解器，積分格式為S12，積分精度為0.001。具體的仿真參數(shù)選取，如表2 所示。表格中各參量的單位按ADAMS 中默認的MMKS 單位，為了降低分析中振動對仿真結(jié)果的影響，阻尼系數(shù)選擇較大值，此處選擇為500。

表2 仿真參數(shù)的設(shè)置Tab.2 Setting of Simulation Parameters

4.2 ADAMS 仿真結(jié)果處理與分析

根據(jù)齒輪間的運動關(guān)系，共定義了2 個轉(zhuǎn)動副，1 個接觸，1個驅(qū)動，1 個扭矩負載，得出最終的含幾何偏心誤差的變雙曲圓弧齒線圓柱齒輪虛擬樣機，然后在ADAMS 中建立主動輪和從動輪的轉(zhuǎn)角測量Measure。ADAMS 軟件能夠直接得到主從動輪各個時刻轉(zhuǎn)角的變化，主動輪轉(zhuǎn)速恒定，轉(zhuǎn)角為φ1，單位為弧度（rad）。由于其存在幾何偏心誤差，會使從動輪產(chǎn)生轉(zhuǎn)角誤差，轉(zhuǎn)角為φ2，單位為弧度（rad）。從動輪的實際角位移與理論角位移做差即可得到從動輪的轉(zhuǎn)角誤差，假設(shè)傳動比為i，那么可以得到從動輪的轉(zhuǎn)角誤差Δφ2（rad）為：

此處為方便計算，選取i=1，即 Δφ2=φ2-φ1。

將ADAMS 仿真得到的主從動輪轉(zhuǎn)角數(shù)據(jù)導(dǎo)入到MATLAB中，進行數(shù)據(jù)處理后得到轉(zhuǎn)角誤差數(shù)據(jù)，重新導(dǎo)入到ADAMS 后處理得到各從動輪對應(yīng)的轉(zhuǎn)角誤差曲線，如圖3 所示。

圖3 轉(zhuǎn)角誤差曲線Fig.3 Angle Error Curve

式中：Δφmax的單位是角度制（deg）；ei—計算得到的幾何偏心誤差，單位為mm。

將基圓半徑rb和最大轉(zhuǎn)角誤差Δφmax帶入，計算可以得到經(jīng)ADAMS 仿真后的變雙曲圓弧齒線圓柱齒輪幾何偏心誤差值，再與理論幾何偏心誤差值進行對比可以得到相對偏差量，具體數(shù)據(jù)，如表3 所示。由表3 可以得到：（1）由基圓半徑和最大轉(zhuǎn)角誤差計算得到的仿真幾何偏心誤差計算值與幾何偏心理論值的相對偏差量較小，估計精度較高。（2）從ADAMS 仿真分析角度驗證了轉(zhuǎn)角誤差理論計算公式在變雙曲圓弧齒線圓柱齒輪上應(yīng)用的正確性。即幾何偏心最大轉(zhuǎn)角誤差等于偏心距與基圓半徑的比值。

表3 幾何偏心計算值Tab.3 The Calculated Value of Geometric Eccentricity

5 結(jié)論

（1）用ADAMS 仿真分析得到的幾何偏心誤差計算值與幾何偏心理論值偏差的相對偏差量較小，估計精度較高。同時驗證了理論計算方法的正確性，即變雙曲圓弧齒線圓柱齒輪的最大轉(zhuǎn)角誤差等于幾何偏心值與其對應(yīng)的從動輪基圓半徑的比值。（2）利用ADAMS 通過轉(zhuǎn)角誤差來計算幾何偏心誤差的方法，可以通過測量動態(tài)傳遞誤差來間接計算變雙曲圓弧齒線圓柱齒輪的幾

何偏心值。為以后分析變雙曲圓弧齒線圓柱齒輪的加工誤差具有重要的指導(dǎo)意義。