一種基于元模型的橋梁靜動力有限元模型修正方法

于振剛，李巖，鐘以琛

(1.中交第一公路勘察設(shè)計研究院有限公司， 陜西 西安 710065； 2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 交通科學(xué)與工程學(xué)院)

橋梁健康監(jiān)測與安全評估是對在役橋梁結(jié)構(gòu)進行狀態(tài)診斷、評定、修復(fù)結(jié)構(gòu)損傷的有效手段，而有限元模型修正技術(shù)可為實際橋梁提供一個精確的基準(zhǔn)有限元模型，為結(jié)構(gòu)運營安全監(jiān)測與評價提供基礎(chǔ)。因此，有限元模型修正是橋梁健康監(jiān)測技術(shù)的核心內(nèi)容之一。利用實測的靜動力試驗數(shù)據(jù)，進行橋梁初始有限元模型的修正問題，通常最終可轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問題。如何有效提高求解大型橋梁有限元模型修正問題的計算效率，建立合理的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)對有限元模型修正的成功與否至關(guān)重要。元模型(Meta-Model)能夠反映結(jié)構(gòu)參數(shù)和模型特性之間的函數(shù)關(guān)系，提供模型快速計算的解決方案。付波基于響應(yīng)面法構(gòu)建有限元模型的數(shù)學(xué)模型(元模型)，對一座混凝土連續(xù)剛構(gòu)橋進行模型修正；包龍生采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立了一座跨鐵路橋梁的元模型，優(yōu)化了該橋的有限元模型。該文提出利用元模型結(jié)合子結(jié)構(gòu)的方法用于修正實際橋梁結(jié)構(gòu)有限元模型。相對于傳統(tǒng)模型修正，該方法將橋梁結(jié)構(gòu)劃分為不同的子結(jié)構(gòu)，縮減結(jié)構(gòu)有限元自由度規(guī)模，從而克服大型結(jié)構(gòu)的靜動力有限元分析無法實現(xiàn)的問題；利用元模型建立模型修正參數(shù)與結(jié)構(gòu)靜動力特性的關(guān)系模型，避免每次優(yōu)化迭代(模型修正計算)進行有限元計算，進而有效提高求解大型橋梁有限元模型修正的計算效率。此外，該方法利用結(jié)構(gòu)靜動力的測試結(jié)果分別構(gòu)建單目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)，將橋梁有限元結(jié)構(gòu)靜動力有限元模型修正轉(zhuǎn)化為多目標(biāo)優(yōu)化問題，從而克服采用單目標(biāo)優(yōu)化時，靜力與動力優(yōu)化目標(biāo)間權(quán)值難以確定的問題。

1 基于元模型的有限元模型修正算法

1.1 基于子結(jié)構(gòu)的橋梁結(jié)構(gòu)靜動力元模型

1.1.1 一種基于子結(jié)構(gòu)的靜動力有限元分析方法

通過將結(jié)構(gòu)進行子結(jié)構(gòu)劃分，采用模態(tài)綜合技術(shù)對大型結(jié)構(gòu)進行擬靜力和動力分析是一種有效手段。因此，該文首先采用一種模態(tài)綜合方法實現(xiàn)對大型橋梁結(jié)構(gòu)的擬靜力和動力有限元分析。

如圖1所示，將一個結(jié)構(gòu)整體劃分成3個不同的分解結(jié)構(gòu)(即圖1中的A、B、C)，以序號1、3、5代表其內(nèi)部自由度，而序號2、4代表其分割面上的自由度，則該結(jié)構(gòu)的剛度、質(zhì)量矩陣可定義為：

圖1 結(jié)構(gòu)整體及分解模型

(1)

(2)

利用該文所采用的模態(tài)綜合算法，縮減后結(jié)構(gòu)的整體特征方程為：

TΤKTη=ΛTΤMTη

(3)

式中：η為縮聚模型的模態(tài)坐標(biāo)矩陣；T為模態(tài)坐標(biāo)與原整體坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換矩陣，即：

(4)

式中：轉(zhuǎn)換矩陣T的表達式為：

(5)

1.1.2 基于子結(jié)構(gòu)的橋梁結(jié)構(gòu)靜動力元模型

元模型方法用于建立輸入數(shù)據(jù)與輸出結(jié)果之間的關(guān)系模型，而建立上述關(guān)系模型的方法有很多，該文采用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法建立修正參數(shù)與橋梁結(jié)構(gòu)靜動力特性之間的關(guān)系模型。首先，在修正參數(shù)的取值區(qū)間內(nèi)，利用Monte-Carlo數(shù)值模擬建立修正參數(shù)樣本集，并將該樣本集作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入樣本集；其次，利用上節(jié)的橋梁結(jié)構(gòu)靜動力有限元分析方法，得到不同輸入樣本下結(jié)構(gòu)靜動力特性的樣本集，該樣本集即為輸出樣本集；最后，通過輸入、輸出樣本集，采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練即可建立有限元模型修正參數(shù)與結(jié)構(gòu)靜動力特性的關(guān)系模型。

1.2 多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)的建立

首先引入多目標(biāo)問題的相關(guān)概念，其與單目標(biāo)優(yōu)化最主要的區(qū)別在于前者的優(yōu)化目標(biāo)為向量而不是標(biāo)量，其目標(biāo)函數(shù)的形式如下：

F(x)={f1(x),f2(x),…,fi(x)…,fn(x)}

s.t.g(x)≤{0}x∈[xmin,xmax]

(6)

式中:x為各個待優(yōu)化目標(biāo)向量;n為待優(yōu)化目標(biāo)向量的數(shù)目；fi(x)為第i個待優(yōu)化目標(biāo)向量函數(shù)；g(x)為約束條件。

在優(yōu)化過程中，最理想的優(yōu)化結(jié)果是使目標(biāo)函數(shù)F(x)中各項待優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)均達到最優(yōu)解，但各分項的最優(yōu)解往往相互制約，難以同時滿足。因此只能退而求其次，在約束條件內(nèi)，得到一組非劣解(Pareto解集)。

針對橋梁結(jié)構(gòu)靜動力有限元模型修正的多目標(biāo)優(yōu)化問題，建立如下目標(biāo)函數(shù)：

F(x)=

{fs1(x),…,fsp(x),fd1(x),…,fdq(x)}

s.t.x∈[xmin,xmax]

(7)

式中：fs(x)、fd(x)分別為由結(jié)構(gòu)測試靜力、動力特性構(gòu)成的單目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)；p、q分別為靜力、動力測試分量的數(shù)目(如靜力分量包括測點的位移、應(yīng)力、應(yīng)變，動力分量為結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)等)。

式(7)中各單目標(biāo)函數(shù)采用各分量加權(quán)和的形式：

(8)

式中：wk為各分量的權(quán)子；r為測點的數(shù)目；ξak、ξek分別為理論分析、測試得到的結(jié)構(gòu)第k個測點的靜力、動力特性。

(9)

式(9)中權(quán)子的形式用來衡量各測點測試結(jié)果的不確定性，各測點測試結(jié)果的不確定性越大，其權(quán)子越小(即該分量離散性越大，不同的分量值都可能對應(yīng)同一個目標(biāo)結(jié)果，與目標(biāo)函數(shù)相關(guān)性較弱)，而修正的目標(biāo)采用統(tǒng)計均值也進一步為測試誤差留有一定的出口，從而保證修正后模型更能準(zhǔn)確反映橋梁結(jié)構(gòu)的真實狀態(tài)。

1.3 算法的整體流程

模型修正算法整體流程如圖2所示。

圖2 算法整體流程

2 鋼管混凝土拱橋有限元模型修正

2.1 工程概況

選取北京市潮白河大橋作為研究對象，其主橋為(36+108+36) m中承飛燕式鋼管混凝土系桿拱橋。拱肋主截面為啞鈴形斷面，而靠近連接墩9.96 m范圍內(nèi)為矩形截面。共設(shè)置系桿12束，每個拱肋處配置6束。吊桿9對，主橋全寬為27.0 m，按雙向四車道布置，兩側(cè)各設(shè)1.5 m寬人行道。橋面板結(jié)構(gòu)形式為鋼筋混凝土空心板；主橋主墩采取重力式墩身結(jié)構(gòu)，基礎(chǔ)形式為鉆孔灌注樁。大橋的整體外觀如圖3所示。

2.2 模型分析與實測結(jié)果

采用有限元分析軟件Ansys建立該橋梁結(jié)構(gòu)的有限元模型。其中鋼管混凝土拱肋采用統(tǒng)一理論的方法模擬，視鋼管和混凝土為統(tǒng)一的材料，在本構(gòu)關(guān)系中包含了鋼管對混凝土的緊箍力作用等效應(yīng)，采用空間梁單元Beam189進行模擬；橫撐、斜撐、縱橫梁均采用三維梁單元Beam44模擬；吊桿和系桿采用只受拉不受壓的桿單元Link10模擬；橋面T形預(yù)制板采用三維梁單元Beam44模擬，橋面板采用殼單元Shell63模擬；邊拱壓重采用質(zhì)量單元Mass21處理，拱上立柱采用梁單元模擬，邊界條件按照樁基基底固結(jié)，邊拱端橫梁簡支處理。模型詳細參數(shù)見文獻[10]，在此不贅述。

圖3 橋梁布置圖和整體外觀(單位：cm)

對該橋梁結(jié)構(gòu)進行了全橋靜動力測試，測點布置如圖4所示。

圖4 測點布置

試驗車輛選取FAW解放型重載汽車，車輛參數(shù)詳見文獻[10]。其中，靜載試驗采用4輛36 t試驗車，分別加載于拱肋1/4跨和跨中附近，作為拱肋1/4跨(工況1)和跨中最大正彎矩(工況2)兩個代表性試驗工況，部分位移測試結(jié)果如表1所示。動力試驗進行了環(huán)境激勵試驗和跑車試驗，采用FDD法和ERA算法對測試加速度響應(yīng)進行了模態(tài)參數(shù)識別，得到大橋的動力特性如表2所示。試驗測試中，分別對靜動力試驗各進行了多組測試，其方差統(tǒng)計結(jié)果亦示于表1、2中。

表1 靜力試驗位移測試結(jié)果

2.3 結(jié)構(gòu)有限元模型修正

2.3.1 確定修正參數(shù)

有限元模型修正參數(shù)選擇，采取工程經(jīng)驗與靈敏度分析相結(jié)合的方法。對于該橋梁結(jié)構(gòu)，部分結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)，可較精確地測量得到；主拱、邊拱的邊界條件也可較好地控制在理想化狀態(tài)，且在大橋加固改造施工控制過程中已得到驗證；吊桿、系桿的材料參數(shù)已由試驗得到驗證，因而初始有限元模型中的部分材料、幾何參數(shù)與邊界條件可認為無需修正。根據(jù)相關(guān)工程的研究經(jīng)驗和初步試算結(jié)果，初步確定該橋初始有限元模型待修正參數(shù)為：拱肋鋼管彈性模量(Es_arc)和質(zhì)量密度(Ds_arc)，拱肋混凝土的彈性模量(Ec_arc)和質(zhì)量密度(Dc_arc)，縱橫梁的彈性模量(E_lb,E_cb)和質(zhì)量密度(D_lb,D_cb)，拱肋橫撐的彈性模量(Es_tb)，二期恒載集度(D_sl)。根據(jù)設(shè)計圖紙和施工控制過程中的實測數(shù)據(jù)設(shè)定修正參數(shù)初始值如表3所示。

表2 結(jié)構(gòu)實測頻率與計算頻率結(jié)果比較

表3 模型修正前后修正參數(shù)的變化

為選擇更加合理的變量，提高修正效率，對上述參數(shù)進行了結(jié)構(gòu)靜動力響應(yīng)的靈敏度分析(改變參數(shù)幅值10%，考察狀態(tài)變量變化幅度)，分析結(jié)果如圖5、6所示。由圖5、6可見：拱肋橫撐彈性模量、拱肋質(zhì)量密度、縱橫梁質(zhì)量密度4個參數(shù)的敏感性較低，故在模型修正中忽略。

2.3.2 建立橋梁結(jié)構(gòu)靜動力元模型

利用Monte-Carlo模擬確定輸入樣本集，采用200個修正參數(shù)樣本構(gòu)建神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入樣本集。利用2.1.1節(jié)的模態(tài)綜合方法，通過有限元分析，建立由結(jié)構(gòu)靜力特性、動力特性構(gòu)造的輸出樣本集。由輸入、輸出樣本集，利用BP網(wǎng)絡(luò)建立修正參數(shù)與結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的元模型。

采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)由Matlab計算軟件中的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱構(gòu)建，分別采用newff和sim命令構(gòu)建和仿真BP網(wǎng)絡(luò)，采用train命令訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)。采用的BP網(wǎng)絡(luò)如圖7所示，即由輸入層、3個隱含層、輸出層構(gòu)成，輸入層、輸出層的神經(jīng)元個數(shù)分別為8和12個，每個隱含層的神經(jīng)元個數(shù)為20個，各層的映射函數(shù)分別采用Matlab軟件中的tansig、tansig、purelin函數(shù)。

圖5 結(jié)構(gòu)參數(shù)對結(jié)構(gòu)靜力響應(yīng)靈敏度

圖6 結(jié)構(gòu)參數(shù)對結(jié)構(gòu)自振頻率的靈敏度

圖7 所采用的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

2.3.3 確定目標(biāo)函數(shù)

確定的目標(biāo)函數(shù)向量包含前述工況1、2下的拱肋和橋面典型測點的靜位移，以及結(jié)構(gòu)自振頻率，依據(jù)式(7)～(9)，建立目標(biāo)函數(shù)向量表達式：

(10)

其中單個目標(biāo)函數(shù)[如fsp(x)、fdq(x)等]可參照式(9)得出，式中各符號含義與前文相同。多目標(biāo)函數(shù)向量最優(yōu)解為各個目標(biāo)函數(shù)取得的最小絕對值，即各測點實測值與理論值相差最小。

2.3.4 有限元模型修正結(jié)果

利用一種針對結(jié)構(gòu)模型修正問題的多目標(biāo)優(yōu)化算法，優(yōu)化求解所建立的多目標(biāo)模型修正問題，最終得到修正后的Pareto解集。該解集的統(tǒng)計特性如表4、5所示。

表4 模型修正后結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)統(tǒng)計特性

表5 模型修正后結(jié)構(gòu)測點撓度統(tǒng)計特性 mm

利用得到的模型修正后多目標(biāo)解集，從中選出最符合結(jié)構(gòu)實際物理意義的一組修正后模型，修正后模型的靜力、動力結(jié)果如表6、7所示。

表7 修正前后測點撓度比較

由表6可知：頻率修正前實測值與理論值誤差為-4.55%～16.95%，修正后，誤差基本控制在4%以內(nèi)，經(jīng)過修正后有限元模型的動力特性與實測值更加吻合。由表7可看出：經(jīng)過修正，橋梁關(guān)鍵控制斷面的位移值和實測值的吻合度得到有效改善，最大誤差由37%降為9.4%。由表3可知：經(jīng)過有限元模型修正，各結(jié)構(gòu)參數(shù)除二期荷載集度變化了10.3%外，其余參數(shù)變化都很小，較好地保持了本身的物理意義。

3 結(jié)論

針對實際大型橋梁結(jié)構(gòu)靜動力有限元模型修正問題，以元模型為基礎(chǔ)，通過求解多目標(biāo)優(yōu)化問題，提出一種同時修正橋梁結(jié)構(gòu)靜動力特性的模型修正方法，并通過工程實例進行了驗證，得到如下結(jié)論：

(1) 通過對大型橋梁結(jié)構(gòu)進行子結(jié)構(gòu)劃分，結(jié)合模態(tài)綜合技術(shù)建立橋梁結(jié)構(gòu)的元模型，為實現(xiàn)大量的優(yōu)化迭代計算(有限元模型修正)提供基礎(chǔ)。

(2) 分別建立基于橋梁結(jié)構(gòu)靜力、動力性能的單目標(biāo)函數(shù)，并采用多目標(biāo)優(yōu)化方法對橋梁結(jié)構(gòu)的有限元模型進行修正，從而克服了結(jié)構(gòu)靜動力性能之間權(quán)子難以選擇的問題。

(3) 采用同類數(shù)據(jù)加權(quán)和形式對每個單目標(biāo)函數(shù)進行組合，以解決模型修正中測試結(jié)果不確定性的影響，其權(quán)子及修正目標(biāo)采用多次測試的統(tǒng)計分析結(jié)果。

(4) 利用所提算法，以實測靜動力數(shù)據(jù)為目標(biāo)，對某一鋼管混凝土拱橋的有限元模型進行了修正，修正結(jié)果表明，所提算法具有較好的適用性和有效性。