自由來流中展向速度對流動穩(wěn)定性的影響

李 佳

(唐山學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，河北 唐山 063000)

為了解決工程實(shí)踐問題，學(xué)者們對二維平板邊界層擾動的問題進(jìn)行了研究，但對自由來流的速度不垂直于平板前緣時(shí)的三維邊界層問題，如后掠翼和偏航翼等研究較少。三維邊界層在自然界中是普遍存在的，因此研究三維邊界層的流動穩(wěn)定性特征具有重要的理論和實(shí)際意義。

流動穩(wěn)定性是指流動對作用在其上的小擾動的響應(yīng)問題，主要有兩種解決方法：能量法和小擾動法。從1883年Reynolds在圓管流動中發(fā)現(xiàn)層流和湍流開始，穩(wěn)定性理論逐步發(fā)展，并不斷完善。19世紀(jì)有了無粘流的穩(wěn)定性理論，但是無法解釋邊界層、槽道流中的轉(zhuǎn)捩問題。20世紀(jì)初，Orr和Sommerfeld建立了粘性流體的小擾動O-S方程，Tollmien和Schlichting計(jì)算出了邊界層中小擾動的T-S波。Brown[1]，Mack[2]，Malik等[3]先后采用數(shù)值方法求解O-S方程。目前二維邊界層的研究比較成熟，Rist等[4]采用直接數(shù)值模擬的方法研究了平板邊界層的控制轉(zhuǎn)捩，結(jié)果與實(shí)驗(yàn)?zāi)M的轉(zhuǎn)捩過程一致；Markus[5]采用空間模式模擬了有壓力梯度下的邊界層轉(zhuǎn)捩過程；Fasel[6]等對不可壓邊界層空間模式的轉(zhuǎn)捩過程研究作出了很多貢獻(xiàn)。在國內(nèi)，唐洪濤等[7]基于時(shí)間模式，李寧[8]、李佳等[9-10]基于空間模式數(shù)值模擬了平板邊界層的穩(wěn)定性及轉(zhuǎn)捩問題；趙耕夫等[11-12]針對三維邊界層問題研究了旋轉(zhuǎn)圓錐超音速三維邊界層的橫流不穩(wěn)定性和壁面冷卻對穩(wěn)定性的影響，以及點(diǎn)源產(chǎn)生的孤立波包在后掠翼平板邊界層中的演化特征，并計(jì)算了波包的增長路徑；劉坤坤等[13]以NLF(2)-0415翼型為研究對象，計(jì)算了展向無限長后掠機(jī)翼的基本流場，對復(fù)雜構(gòu)型進(jìn)行了橫流不穩(wěn)定性轉(zhuǎn)捩預(yù)測；沈露予等[14]研究了三維邊界層內(nèi)定常橫流渦、無限長后掠平板邊界層的感受性問題。本文將采用線性穩(wěn)定性理論研究三維平板邊界層的計(jì)算問題。

1 計(jì)算模型

平板邊界層的計(jì)算域和坐標(biāo)系如圖1所示。自由來流的方向與平板是平行的，與平板前緣有一定的夾角，將速度分解為兩個方向的速度，與平板前緣方向垂直的來流速度分量記為U∞，與平板前緣方向平行的來流速度分量記為W∞。流向x沿著平板的長度方向且與平板前緣垂直，法向y垂直于平板，展向z沿著平板的寬度方向且與平板前緣平行，流向、展向和法向的計(jì)算域長度分別為Lx，Ly，Lz，在x，y，z三個方向的速度分量分別用u，v，w來表示，x0為計(jì)算域的入口距離平板前緣的位置。

圖1 平板邊界層的計(jì)算域和坐標(biāo)系

2 基本流

因來流的方向不垂直于平板的緣故，所以這是三維邊界層問題。在這個問題中，對三維納維斯托克斯方程(N-S方程)進(jìn)行量級估計(jì)，可以得到如下結(jié)論[15]：關(guān)于y方向的動量方程中，得到的?p/?y很小，可以略去，壓力只是依賴于x和z。關(guān)于x和z方向動量方程的各個摩擦項(xiàng)對流向x和展向z的導(dǎo)數(shù)與對法向y的導(dǎo)數(shù)相比，前二者可以略去不計(jì)。因此，三維定常不可壓縮邊界層方程為：

(1)

壁面和無窮遠(yuǎn)的邊界條件是：

(2)

自由來流U∞=const；W∞=const，且自由流動不依賴于x和z，此時(shí)方程(1)可以進(jìn)一步簡化為：

(3)

16從方程(3)的形式上來看，將第二個式子中的w換成u后與第一個式子相同，且第三個式子中不含有w，因此在求解方程(3)時(shí)可以先聯(lián)立方程的第一個和第三個式子，這兩個式子為二維定常不可壓縮邊界層方程，可由布拉休斯相似性解(Blasius similarity solution)求解出基本流u和v，再由u(x，y)和w(x，y)的關(guān)系式w/u=W∞/U∞得到w(x，y)，就可以求解出三維的平板層流解。

采用FORTRAN編寫程序，應(yīng)用Tecplot數(shù)據(jù)軟件進(jìn)行后處理，針對自由來流速度W∞和U∞存在不同的比例關(guān)系計(jì)算了4種情況，分別為W∞/U∞等于0.1，0.5，0.8和1.0。圖2給出了4種情況下入口處的基本流分布及其相應(yīng)的一階、二階導(dǎo)數(shù)，以邊界層的外緣速度U∞作為速度的尺度因子。

(a)W∞/U∞=0.1 (b)W∞/U∞=0.5

3 穩(wěn)定性分析

針對W∞/U∞等于0.1，0.5，0.8和1.0這4種情況下的擾動進(jìn)行流動穩(wěn)定性分析。4種情況的計(jì)算參數(shù)見表1。

表1 4種情況的計(jì)算參數(shù)

圖3和圖4分別顯示了4種情況下流向波數(shù)和增長率隨著流向位置的變化，并與二維邊界層相同參數(shù)擾動波的結(jié)果進(jìn)行比較。圖3中的αr為流向波數(shù)，三維邊界層的αr均小于二維邊界層，并隨著W∞/U∞的增大，αr是逐漸減小的。圖4中的-αi為擾動波的增長率，可以看出，在入口處二維邊界層的增長率大于三維邊界層的增長率，隨著W∞/U∞的增大，增長率是逐漸減小的，在擾動演化的后期，后邊的流向位置處三維邊界層的增長率均大于二維邊界層的增長率，并且隨著W∞/U∞的增大，增長率是逐漸增大的。在整個流向位置，W∞/U∞越大，增長率變化的梯度越大，流動越不穩(wěn)定。

圖3 流向波數(shù)

圖4 增長率

圖5給出了4種情況的特征函數(shù)?？梢钥闯?，特征函數(shù)|u′|和|v′|的形狀基本保持不變，而|w′|的變化比較顯著，|w′|的形狀基本沒變，但是大小變化很大，隨著W∞/U∞的增大，|w′|越來越大，當(dāng)W∞/U∞=0.8和W∞/U∞=1.0時(shí)，|w′|超過了|u′|。

(a)W∞/U∞=0.1 (b)W∞/U∞=0.5

圖6顯示了4種情況下擾動波幅值隨著流向位置的變化，并與二維邊界層相同參數(shù)擾動波的幅值進(jìn)行比較。擾動波的初始幅值均為1×10-4，隨著擾動的演化，不穩(wěn)定擾動波的幅值都增長起來，在所有流向位置，三維邊界層擾動波的幅值均大于二維邊界層擾動波的幅值；并且可以得到，隨著W∞/U∞的增大，幅值增長得越快，在計(jì)算區(qū)域內(nèi)，W∞/U∞=1.0時(shí)幅值增長得最快，最終增長為4×10-3，增大了40倍。

圖6 擾動波的幅值比較

4 結(jié)論

本文采用線性穩(wěn)定性理論研究了三維平板邊界層中展向來流速度對流動穩(wěn)定性的影響，基本流中給出了展向速度的大小，從特征值、特征函數(shù)和擾動波的增長幅值上顯示不同展向來流速度的計(jì)算結(jié)果，并和無展向來流速度的二維邊界層進(jìn)行比較，得到了以下結(jié)論：①展向來流速度不同，流向波數(shù)不同，展向速度越大，流向波數(shù)越??；②展向來流速度不同，增長率不同，入口處的增長率隨著展向速度增大而減小，但在演化后期，增長率隨著展向速度增大而增大，均大于二維邊界層增長率，即展向速度越大，增長的梯度越大，流動越不穩(wěn)定；③展向來流速度不同，擾動波的幅值增長不同，展向速度越大，幅值增長的越大，流動穩(wěn)定性越差。