平面點(diǎn)集邊界聚點(diǎn)的存在性研究

◎李 波 侯汝臣 孫豐云 （煙臺(tái)大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，山東 煙臺(tái) 264005）

引 言

了解平面點(diǎn)集的概念和性質(zhì)是學(xué)習(xí)多元函數(shù)微積分，特別是二元函數(shù)微積分的基礎(chǔ)，幾乎所有的教材都會(huì)在介紹多元函數(shù)微積分理論之前對(duì)平面點(diǎn)集做詳細(xì)的介紹.聚點(diǎn)又是平面點(diǎn)集的一個(gè)非常重要的概念，對(duì)于研究多元函數(shù)的極限，連續(xù)以及微分等分析學(xué)性質(zhì)至關(guān)重要.受一道例題的啟發(fā)，本文我們對(duì)聚點(diǎn)的一個(gè)性質(zhì)進(jìn)行了探討和分析，并對(duì)結(jié)論進(jìn)行了證明.

在《數(shù)學(xué)分析》平面點(diǎn)集與多元函數(shù)一節(jié)有一道例題（P95，例 2）：證明對(duì)任何S?R2，?S恒為閉集.其證明過程如下：

證明：假設(shè)x0為?S的任意聚點(diǎn)，只需證明x0∈?S即可.對(duì)于?ε＞0，由聚點(diǎn)的定義，存在又因?yàn)閥是S的界點(diǎn)，所以對(duì)任意的U（y；δ）?U（x0；ε），U（y；δ）上既有屬于S的點(diǎn)，又有不屬于S的點(diǎn)，所以U（x0；ε）上也既有屬于S的點(diǎn)，又有不屬于S的點(diǎn)，由ε的任意性，得x0是S的界點(diǎn)，即x0∈?S，證畢.

關(guān)于該結(jié)論還有另外幾種證明方法：

證一：設(shè)x∈（?S）c，即?S的余集，則x只能是S的內(nèi)點(diǎn)或外點(diǎn).如果x為S的內(nèi)點(diǎn)，則?δ＞0，s.t.U（x；δ）?S，由內(nèi)點(diǎn)的定義知U（x；δ） ?（?S）c； 若x為S的外點(diǎn)，則?δ＞0，s.t.U（x；δ）∩S＝?，所以U（x；δ）?Sc，而U（x；δ）是開集，所以U（x；δ）中的點(diǎn)均不是S的界點(diǎn)，即U（x；δ）?（?S）c.由開集定義知（?S）c為開集，則?S為閉集.

證二：設(shè)x∈（?S）d（?S的導(dǎo)集，即?S的所有聚點(diǎn)的集合），由聚點(diǎn)的等價(jià)定義，存在相異點(diǎn)列｛xn｝?S，xn≠x（n＝1，2，…），s.t.xn→x，則對(duì)任意的δ＞0，?N，當(dāng)n＞N時(shí)，xn∈U（x；δ），取n0＞N，由于xn0∈?S，則由界點(diǎn)的定義知U（xn0；δ－｜xn0－x｜）?U（x；δ）中有屬于S的點(diǎn)，也有不屬于S的點(diǎn)，所以x∈?S，則?S為閉集.

證三：設(shè)x∈?（?S），則?δ＞0，在中有?S的點(diǎn)y.又由界點(diǎn)定義，在內(nèi)既有S中的點(diǎn)，也有不在S中的點(diǎn).由于因此U（x；δ）中既有屬于S的點(diǎn)，也有不屬于S的點(diǎn)，于是x∈?S，則?S為閉集.

這幾種證明方法從不同的角度對(duì)問題進(jìn)行了解析，但前提都是先假設(shè)邊界存在聚點(diǎn)，再證聚點(diǎn)屬于邊界，從而證明邊界是閉集.我們知道，一個(gè)平面點(diǎn)集不存在聚點(diǎn)也稱為閉集，那么問題來(lái)了，邊界是否一定存在聚點(diǎn)呢？ 對(duì)于該題目的結(jié)論及其證明過程有以下幾點(diǎn)思考：

（1）若S為無(wú)界點(diǎn)集，?S是否一定有聚點(diǎn)，是否恒為閉集；

（2）若S為有界點(diǎn)集，?S是否一定有聚點(diǎn)，是否恒為閉集；

（3）S和?S聚點(diǎn)的存在性關(guān)系如何，S的聚點(diǎn)是不是一定為?S的聚點(diǎn).

例題中對(duì)?S的聚點(diǎn)的存在性沒有做具體的討論，本文對(duì)此進(jìn)行了分析，并給出相應(yīng)的結(jié)論：

〈主定理〉若有界平面點(diǎn)集S有聚點(diǎn)，則其邊界?S必有聚點(diǎn).

應(yīng)用閉集套定理和聚點(diǎn)定理給出了證明.需要注意的是，若無(wú)界平面點(diǎn)集S有聚點(diǎn)，則其邊界?S不一定有聚點(diǎn)，見〈注 2〉.

預(yù)備知識(shí)

為讀者閱讀方便，我們給出一些預(yù)備知識(shí).

〈平面點(diǎn)集〉 二維坐標(biāo)平面上所有滿足某性質(zhì)P的點(diǎn)的集合稱為平面點(diǎn)集，記為S.

〈界點(diǎn)〉 若在點(diǎn)M的任何鄰域U（M）內(nèi)都既含有S中的點(diǎn)，又含有不是S中的點(diǎn)，則稱M為S的界點(diǎn)，全體界點(diǎn)的集合稱為的S邊界，記為?S.

〈內(nèi)點(diǎn)〉設(shè)點(diǎn)M∈S，若存在點(diǎn)M的某個(gè)鄰域U（M），使得U（M）?S，則稱M為點(diǎn)S的內(nèi)點(diǎn).

〈有界點(diǎn)集和無(wú)界點(diǎn)集〉對(duì)于某平面點(diǎn)集E，如果存在一個(gè)正常數(shù)r，使得E?U（O；r），則稱E為有界點(diǎn)集，否則，稱為無(wú)界點(diǎn)集.

〈聚點(diǎn)〉關(guān)于聚點(diǎn)的定義，在拓?fù)鋵W(xué)、實(shí)分析和復(fù)分析中都有各自的描述：

拓?fù)鋵W(xué)中，設(shè)拓?fù)淇臻g（X，τ），A?X，x∈X，若x的每一個(gè)鄰域U（x）都含有A＼｛x｝的點(diǎn)，即U（x）∩A≠?，則稱x為A＼｛x｝的聚點(diǎn).

在實(shí)空間Rn中，關(guān)于聚點(diǎn)的定義有三個(gè)等價(jià)描述：

（1） 點(diǎn)M為點(diǎn)集S的聚點(diǎn)；

（2）點(diǎn)M的任何空心鄰域內(nèi)都含有S中的點(diǎn)；

（3）存在相異點(diǎn)列｛xn｝?S，xn≠x（n＝1，2，…），s.t.xn→x.

在復(fù)分析中，若在復(fù)平面上的一點(diǎn)M的任意鄰域都有點(diǎn)集S的無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，則稱M為S的聚點(diǎn).

〈開集〉若屬于平面點(diǎn)集S的所有點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱S為開集.

〈閉集〉若平面點(diǎn)集S的所有聚點(diǎn)都屬于S或者S無(wú)聚點(diǎn)，則稱S為閉集.

〈閉集套定理〉設(shè)｛En｝為R2中的閉集列，滿足

（1）En?En＋1，n＝1，2，…；

（2）設(shè)dn＝d（En），則

則存在唯一的點(diǎn)P?∈En，n＝1，2，….

〈聚點(diǎn)定理〉有界無(wú)限點(diǎn)集至少有一個(gè)聚點(diǎn).

三、結(jié)論及其證明

首先我們分析一維的情形，如在數(shù)軸上的開區(qū)間（a，b），其導(dǎo)集（所有聚點(diǎn)的集合）為［a，b］，邊界只有a，b兩個(gè)點(diǎn)，且為孤立點(diǎn)，所以邊界不存在聚點(diǎn).又如點(diǎn)列1，2，3，…，其邊界集為顯然二者存在共同的聚點(diǎn)0.對(duì)于一維的無(wú)界點(diǎn)集，如（a，＋∞），｛n｝，n＝1，2，3，…等，有類似的結(jié)論.所以，對(duì)于一維數(shù)軸上的點(diǎn)集，集合本身和其邊界聚點(diǎn)的存在性之間沒有必然的聯(lián)系.

接下來(lái)，對(duì)于二維的情形，我們假設(shè)S為有界平面點(diǎn)集，以定理的形式給出結(jié)論，并利用閉集套定理和聚點(diǎn)定理給出證明.另外，對(duì)于S為無(wú)界平面點(diǎn)集的情形，我們以注解的形式結(jié)合反例給予說明.

〈定理〉若有界平面點(diǎn)集S有聚點(diǎn)，則其邊界?S必有聚點(diǎn).

證明若S＝?S，結(jié)論顯然成立.若?S≠S，則S中必含有內(nèi)點(diǎn)，記為P0，由內(nèi)點(diǎn)的定義，?δ＞0，s.t.U（P0；δ）?S.又因?yàn)镾有界，所以?r＞0，s.t.S?U（P0；r），且對(duì)于任意的M∈S，ρ（P0，M）＜r.從P0出發(fā)向外作射線交U（P0；r）于點(diǎn)P，記E0為上（包含端點(diǎn)，下同）所有點(diǎn)的集合，則E0既含有S中的點(diǎn)也含有Sc中的點(diǎn).取的中點(diǎn)記為P1，則中至少有一段滿足既含有S中的點(diǎn)又含有Sc中的點(diǎn)，不妨設(shè)滿足條件，記為E1，顯然E1?E0，且取的中點(diǎn)記為P2，則至少有一段滿足既含有S中的點(diǎn)又含有Sc中的點(diǎn)，不妨設(shè)滿足條件，記為E2，且滿足依此類推，我們可以得到一個(gè)閉集列｛En｝，n＝1，2，…，滿足

（1）En?En＋1，n＝1，2，…；（2）ρ（En）＝即｛En｝，n＝1，2，…構(gòu)成了一個(gè)閉集套.由閉集套定理，存在唯一的點(diǎn)則對(duì)任意的中含有｛En｝，n＝1，2，…中無(wú)限多個(gè)元素，即的任何鄰域都既含有S中的點(diǎn)又含有Sc中的點(diǎn)，故為S的界點(diǎn).

進(jìn)一步，從P0出發(fā)可以作無(wú)限條射線，按照上述方法可以得到無(wú)限個(gè)點(diǎn)集S的界點(diǎn)，又由點(diǎn)集S的有界性，我們可以得到一個(gè)有界無(wú)限點(diǎn)集｛｝∈?S，n＝ 1，2，…，應(yīng)用聚點(diǎn)定理，得到｛｝存在聚點(diǎn)P?，定理得證.

對(duì)于該定理的結(jié)論，我們有如下幾點(diǎn)補(bǔ)充說明：

〈注 1〉?S有聚點(diǎn)，則聚點(diǎn)一定屬于?S，進(jìn)而?S一定為閉集；

〈注2〉S為無(wú)界點(diǎn)集的情形，分兩種情況：

（1）S＝?S.若S有聚點(diǎn)，則?S也有聚點(diǎn)，且相同，反之亦然.

舉例 1S＝｛（x，y） ｜x，y∈Z｝，顯然S＝?S無(wú)界且元素均為孤立點(diǎn)，無(wú)聚點(diǎn)；

舉例 2S＝｛（x，y） ｜y＝kx＋b，k，b∈R｝，S＝?S無(wú)界且其元素均為聚點(diǎn).

（2）S≠?S.若S有聚點(diǎn)，?S未必有聚點(diǎn).

舉例 設(shè)S＝ R2＼｛P0｝，P0為 R2中任一點(diǎn)，顯然?S＝｛P0｝.點(diǎn)集S的聚點(diǎn)集為 R2，而?S為孤立點(diǎn)集，因此沒有聚點(diǎn).

事實(shí)上，如果平面點(diǎn)集S為R2除去一個(gè)孤立點(diǎn)集而得到的，其邊界都無(wú)聚點(diǎn).

＜注3＞該結(jié)論可以推廣到Rn（n＞2）的空間點(diǎn)集的情形.

舉例 設(shè)S＝ Rn＼｛P0｝，P0為 Rn中任一點(diǎn)，顯然?S＝｛P0｝.點(diǎn)集S的聚點(diǎn)集為 Rn，而?S為孤立點(diǎn)集，因此沒有聚點(diǎn).