別樣解題，再現(xiàn)素養(yǎng)
——以2019 高考數(shù)學(xué)三角題型為例

◎周國玲 （阿壩師范學(xué)院，四川 阿壩 623002）

高中作為學(xué)生學(xué)習(xí)生涯的重要時(shí)期，對(duì)生活和發(fā)展具有重要的基礎(chǔ)性作用，就數(shù)學(xué)這門綜合性學(xué)科而言，它對(duì)學(xué)生的思維能力和解決問題的能力具有推動(dòng)作用，故在高中數(shù)學(xué)教師在關(guān)注學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)能力的同時(shí)，更應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生思維的發(fā)展，特別是對(duì)解題方法的探究不僅是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的有效策略，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵.就三角題型來說，其考查通過邊角之間的相互關(guān)系來求邊、求角以及求解三角形周長面積等相關(guān)問題.教學(xué)中常規(guī)求解方法就是結(jié)合正余弦定理根據(jù)所求問題適當(dāng)進(jìn)行邊角互換，若高中學(xué)生善于從數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)多個(gè)角度思考問題定能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美，本文以2019 年高考全國Ⅲ卷理數(shù)（例1）與2019 年高考北京卷（例2）為例，僅供大家參考.

例 1三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知

（1）求B；（2）若三角形ABC為銳角三角形，且c＝1，求三角形ABC面積的取值范圍.

解題分析求解第（1）問角B，題干條件只有恒等式則需要對(duì)進(jìn)行分析，經(jīng)過邏輯推理推斷出求角B就需要和B產(chǎn)生聯(lián)系，于是運(yùn)用數(shù)學(xué)運(yùn)算結(jié)合正弦定理和誘導(dǎo)公式將恒等式轉(zhuǎn)化為只與角B有關(guān)的式子，確定最終函數(shù)模型，問題解決.（2）問是求解三角形面積的有關(guān)問題，求解關(guān)于三角形面積與周長類相關(guān)問題，高中學(xué)生通常采取以下方法：①與周長有關(guān)問題，通常利用正弦定理轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)值域類模型；②與面積有關(guān)的問題，利用余弦定理進(jìn)行運(yùn)算，結(jié)合均值不等式轉(zhuǎn)化為不等式的數(shù)學(xué)模型，本題第（2）問在常規(guī)方法的基礎(chǔ)上進(jìn)行了包裝，故本文突破常規(guī)方法，開拓思維，從問題中抽象出數(shù)學(xué)模型.方法一是運(yùn)用正弦定理轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題，首先分析問題，求三角形面積的取值范圍，要運(yùn)用三角形的面積公式，根據(jù)題干已知數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，故選用S＝觀察式子推理出只要求出a的取值范圍便可求解所問，又對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析可得到邊c的已知能表示角C，從而把角A表示出來，這樣經(jīng)過一系列的數(shù)據(jù)分析和邏輯推理就把求解面積的問題轉(zhuǎn)化成只與角A有關(guān)的值域問題，建立函數(shù)模型，問題解決（不再詳解）.方法二是建立直角坐標(biāo)系的數(shù)學(xué)建模思想，分析數(shù)據(jù)可知在銳角三角形ABC中，角B不變，角A與角C在0°～ 90°變化，通過直觀想象畫圖進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析，發(fā)現(xiàn)C點(diǎn)的變化使角A與角C發(fā)生變化，推理出C為動(dòng)點(diǎn)，故建立以B為原點(diǎn)，BC在x軸上，C點(diǎn)在x軸上移動(dòng)的直角坐標(biāo)系，通過形象的作圖發(fā)現(xiàn)A＝90°和C＝90°為分界點(diǎn)，利用數(shù)學(xué)運(yùn)算可求出C點(diǎn)橫坐標(biāo)的變化范圍，進(jìn)而求出面積的取值范圍.（2）問的方法二解答如下：

圖1

設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（t，0），點(diǎn)A坐標(biāo)為（cos 60°，sin 60°）.因?yàn)锳C′垂直BC，AC″垂直AB，且三角形ABC為銳角三角形，所以t∈（xC′，xC″），即

所以S三角形ABC的取值范圍為

變式：若把（2）問假設(shè)條件改為鈍角三角形，方法相似.

小結(jié)：有關(guān)三角形面積，周長，邊的應(yīng)用，歸根結(jié)底都是求邊，所以我們通過數(shù)據(jù)分析，邏輯推理，建立幾何模型可更簡便地求解，同時(shí)避免了三角函數(shù)正負(fù)情況所出現(xiàn)的錯(cuò)誤，化抽象為具體.

例 2在三角形ABC中

（1）求b，c的值；（2）求 sin（B－C）的值.

解題分析常規(guī)方法本文不再探討.重點(diǎn)對(duì)如何發(fā)散數(shù)學(xué)思維，構(gòu)建幾何模型的另一解法進(jìn)行求解.思考（1）問要求解b，c，對(duì)題干條件進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，已知一條邊，一個(gè)角，通過直觀想象可畫出一個(gè)三角形的草圖，把已知條件標(biāo)出來，通過所畫圖形與所給條件進(jìn)行邏輯推理，利用正余弦定理求解b，c，建立邊角之間的聯(lián)系，再根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律和特定的目的做出必要假設(shè)，構(gòu)造直角三角形，把能夠表示或計(jì)算出來的邊角在圖中表示出來，解題方法就在構(gòu)建的模型中體現(xiàn)出來了，即可求出b，c.（2）問求 sin（B－C）的值，構(gòu)造兩種幾何模型進(jìn)行求解.法一：通過分析知道要求∠B與∠C的正余弦值，在（1）問構(gòu)造的模型中（圖2）∠ABC是已知的，∠C是我們構(gòu)造的直角三角形的一個(gè)內(nèi)角，邊的關(guān)系是已知的，通過數(shù)學(xué)運(yùn)算可求解；法二：求三角函數(shù)sin（BC）的值，因?yàn)椤螧已知，∠C未知，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，可以把未知的量盡量用已知表達(dá)式來表示，則C＝π－（A＋B），代入sin（B－C），通過數(shù)學(xué)運(yùn)算即把求解sin （B－C）的值轉(zhuǎn)化為求解 sin （A＋60°）的值.又對(duì)模型進(jìn)行分析，需要將A＋60°看成整體，因?yàn)椤螦BC＝120°，所以∠ABD＝60°，于是只需作等邊三角形ABD，就可以構(gòu)造出一內(nèi)角為A＋60°的△ADC，最后根據(jù)即可求解（如圖3）.解答過程如下：

圖2

圖3

圖4

作AD垂直于BC交CB延長線于D，記AD＝h，由∠ABC＝120°，∠D＝ 90°，b－c＝ 2，a＝ 3，可得∠ABD＝ 60°，∠DAB＝ 30°，所以

DC＝在 Rt△ACD中，根據(jù)AD2＋DC2＝AC2，解得c＝5，b＝2＋c＝7.

（2）問：法一在 Rt△ADC中，有得 sinC＝得所以

法二以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC邊與x軸重合作平面直角坐標(biāo)系，作BA邊使得∠ABC＝120°，過BC的反向延長線作BD，連接AD，使△ABD為等邊三角形，如圖4 所示.

因?yàn)?△ABD為等邊三角形，c＝5，所以BD＝5.

又因?yàn)閎＝7，a＝3，則DC＝8.

所以在△ADC中，由正弦定理有：

小結(jié)：這道題主要討論通過建立幾何模型求解三角函數(shù)值的問題，可通過作圖構(gòu)造直角三角形或者補(bǔ)三角形轉(zhuǎn)化為其他角來進(jìn)行求解，但像2019 年天津卷求的值，2018 年天津卷求 sin （2A－B）的值，2017 年天津卷求 sin的值等考題，若通過建立幾何模型求解則比較麻煩，不如代數(shù)法求解簡單，讀者可自行討論總結(jié).故我們可以小結(jié)出如果所求三角函數(shù)值不涉及倍角問題，則轉(zhuǎn)化為幾何模型求解更簡單，直觀形象.

通過這兩道題我們可以看出，每道題不同的解法都體現(xiàn)著數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，因此解題更重要的是從解題過程中思考其解題方法來領(lǐng)會(huì)其體現(xiàn)的核心素養(yǎng)，它對(duì)我們的思維能力和解決問題的能力具有重要的推動(dòng)作用，而這兩道題的不同解題方法都重在體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).所謂的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是指學(xué)生將所學(xué)得的知識(shí)全部排除或忘掉后最終剩余得到的東西，即他們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)、生活中不僅能夠從數(shù)學(xué)角度來思考問題，而且具備準(zhǔn)確、清晰、有邏輯性和條理性地表達(dá)自我觀點(diǎn)的能力.數(shù)學(xué)建模是指對(duì)客觀世界的某一個(gè)特定對(duì)象，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律和特定的目的做出必要的化簡和假設(shè)，再借助恰當(dāng)?shù)墓ぞ咦罱K得出一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)被稱為“數(shù)學(xué)模型”，而構(gòu)建該模型的過程便叫作“數(shù)學(xué)建?！?，本題中就是根據(jù)題干內(nèi)在規(guī)律和我們要求解問題的特定目的進(jìn)行必要的化簡，假設(shè)出我們所需要的，建立出數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，從而求解問題.本次兩道不同省市的高考命題規(guī)律體現(xiàn)出了數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)，感悟到了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要性，暗示著學(xué)生所需要具備的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力和品質(zhì).