淺談含參數(shù)一元二次不等式的解題方法

◎許 媛 高 靜 （北華大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 吉林 132001）

一、含參數(shù)的一元二次不等式

一元二次不等式，是指含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2 的不等式［1］.它的一般形式有：

ax2＋bx＋c＞0，ax2＋bx＋c＜0 （a，b，c均為常數(shù)）.

含參數(shù)的一元二次不等式應(yīng)為含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2，其中二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)均可能含有參數(shù)的不等式.

含參數(shù)的一元二次不等式范圍廣，題型多變，不易于從基本一元二次不等式解法中獲取解題思路和方法.根據(jù)國家高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的有關(guān)要求，此類問題是大型考試中重點(diǎn)研究和考查的內(nèi)容.據(jù)有關(guān)專家統(tǒng)計(jì)，在大型考試中此類題型出現(xiàn)的概率高，并且其出錯率也高.筆者經(jīng)過多年的整理分析發(fā)現(xiàn)，考試中常出現(xiàn)的題型有四種：二次項(xiàng)系數(shù)不含參數(shù)的一元二次不等式、二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)且能被十字相乘的一元二次不等式、二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)且不能被十字相乘的一元二次不等式、恒成立的含參數(shù)一元二次不等式.本文針對上述四種題型，進(jìn)行詳細(xì)研究，通過分析題型特點(diǎn)，分情況討論，提出適當(dāng)?shù)慕忸}方法，并給出解題步驟.

二、含參數(shù)的一元二次不等式四種題型解法的討論

題型1x2＋ax＋a＜ (＞ )0，a為參數(shù)型的含參數(shù)一元二次不等式［2］

特點(diǎn)：此題型具有二次項(xiàng)系數(shù)不含參數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)所含參數(shù)相同的特點(diǎn)，可以通過十字相乘法化簡.

常見問題：十字相乘法使用不當(dāng)，使得化簡出現(xiàn)錯誤.

基本解法：十字相乘法、分類討論法、圖像法.

具體步驟：（1）利用十字相乘法對不等號左邊的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解；（2）再令其等于零，即變成一元二次方程的形式，解出方程的兩個根；（3）比較兩個根的大小，分情況進(jìn)行討論，并配以相應(yīng)的二次函數(shù)簡圖，加深理解；（4）最后按參數(shù)的取值情況，寫出對應(yīng)的解集.

下面通過例1 具體說明題型1 的解題步驟.

例 1求不等式x2－(a2＋a)x＋a3＜0 的解集.

思路分析此不等式雖然含有參數(shù)，但是經(jīng)過思考不難發(fā)現(xiàn)此不等式左邊的多項(xiàng)式可以通過化簡，轉(zhuǎn)換成我們常見一元二次不等式的形式求解，只需注意分情況討論時，不要丟失情況即可.

解利用十字相乘法對x2－（a2＋a）x＋a3進(jìn)行因式分解，即x2－（a2＋a）x＋a3＝（x－a2）（x－a）.

再令（x－a2）（x－a）＝ 0，解得x1＝a2，x2＝a.

比較a2與a的大小，分情況討論：

（1）當(dāng)a2＝a時，解得a＝0 或a＝1，如圖 1，x∈?；

（2）當(dāng)a2＞a時，即a2－a＞0，解得a＜0 或a＞1，如圖 2，｛x｜a＜x＜a2｝；

（3）當(dāng)a2＜a時，即a2－a＜0，解得 0＜a＜1，如圖 3，｛x｜a2＜x＜a｝.

綜上可得，原不等式的解集分三種情況：當(dāng)a＝0 或a＝1 時，x∈?；當(dāng)a＜0 或a＞1 時，｛x｜a＜x＜a2）｝；當(dāng) 0＜a＜1 時，｛x｜a2＜x＜a｝.

圖1

圖2

圖3

題型2ax2＋ax＋c＜ (＞ )0，其中a（a≠0）為參數(shù)，c為常數(shù)型的含參數(shù)一元二次不等式［3］

特點(diǎn)：此類不等式具有二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)且相同，但常數(shù)項(xiàng)不含參數(shù)的特點(diǎn)，可以通過十字相乘法進(jìn)行化簡.

常見問題：未對二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行討論.

基本方法：分類討論法、十字相乘法、圖像法.

具體步驟：（1）討論二次項(xiàng)系數(shù)a的取值是否為零；當(dāng)a＝0 時，按照一元一次不等式求x的解集；當(dāng)a≠0 時，即參數(shù)a＜0 或a＞0 時，應(yīng)先將不等號左邊的多項(xiàng)式用十字相乘法進(jìn)行因式分解，再利用一元二次不等式與一元二次方程之間的關(guān)系得出兩個根；（2）討論、比較兩個根的不同情況，然后利用圖像法求得相應(yīng)的解集；（3）按參數(shù)的取值情況，寫出對應(yīng)的解集.

下面通過例2 具體說明題型2 的解題步驟.

例2 求不等式ax2－（a＋1）x＋1＜0（a＜1）的解集.

思路分析雖然不等式后面給出了a的取值范圍，但在進(jìn)行分類討論時，首先我們需要分兩大類進(jìn)行討論，即在a＝0 和a≠0 時的情況下討論，最后在a≠0 的前提下，再詳細(xì)地分類討論即可.具體解題步驟如下：

解當(dāng)a＝0 時，－x＋1＜0，解得x＞1；當(dāng)a≠0 時，將不等式左邊十字相乘，得（x－1）（ax－1）＜0，（x－1）（ax－1）＝ 0 的解為由于無法比較兩個根的大小，且由a≠0我們可以得出這兩種情況，即a＜0 或a＞0，所以詳細(xì)的分類討論如下：

當(dāng) 0＜a＜1 時如圖 4，解得

當(dāng)a＜0 時如圖 5，解得

綜上， 當(dāng)a＝ 0 時， ｛x｜x＞ 1｝； 當(dāng) 0 ＜a＜ 1 時，當(dāng)a＜0 時

圖4

圖5

題型 3ax2＋cx＋a＞（＜）0，其中a為參數(shù)，c為常數(shù)型的含參數(shù)一元二次不等式［4］

特點(diǎn)：此類不等式具有二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)含參數(shù)且相同，而一次項(xiàng)系數(shù)不含參數(shù)的特點(diǎn).

常見問題：錯誤使用十字相乘法求解，導(dǎo)致解題失敗.

基本做法：分類討論法、利用根的判別式的情況分析的方法.

具體步驟：（1）討論參數(shù)a是否為零，當(dāng)a＝0 時，即解一元一次不等式，從而求出解集；當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)所含的參數(shù)不為零時，進(jìn)一步討論；（2）在參數(shù)a≠0 的情況下，利用根的判別式的情況進(jìn)行分類討論，即討論當(dāng)Δ＝0，Δ＞0，Δ＜0時所對應(yīng)的解集；（3）綜合各參數(shù)的范圍，寫出對應(yīng)的解集.

針對題型3 與題型1、2 所使用的方法有明顯不同，下面通過例3 來說明.

例 3求不等式ax2＋2x＋a＞0（a∈R）的解集.

思路分析一方面，要分析這個一元二次不等式的左邊能否正確地利用十字相乘法進(jìn)行因式分解；另一方面，當(dāng)它無法進(jìn)行因式分解時，要轉(zhuǎn)換思路，從而求出解集.解題步驟如下：

解當(dāng)a＝0 時，則 2x＞0，解得x＞0.

當(dāng)a≠0 時，Δ＝4－4a2，即有

①Δ＝0，即4－4a2＝0，解得a＝±1，即當(dāng)a＝1 時，x2＋2x＋1＞0，如圖6，解集為｛x｜x≠－1｝ ，當(dāng)a＝－1 時，－x2＋2x－1＞0 ，如圖7，解集為x∈?.

②Δ＞0，即 4 (1 －a2)＞0 時，則有當(dāng)－1＜a＜0 時，如圖 8，解集為當(dāng) 0＜a＜1 時，如圖9，解集為

③Δ＜0，即 4－4a2＜0 時，則當(dāng)a＞1 時，如圖 10，解得x∈R，當(dāng)a＜－1 時，如圖 11，解得x∈?.

綜上可得，當(dāng)a＝0 時當(dāng)a＝－1 或a＜－1時，x∈?；當(dāng)a＝ 1 時當(dāng)－1＜a＜0 時，x∈當(dāng) 0 ＜a＜ 1 時，x∈當(dāng)a＞1 時，x∈R.

圖6

圖7

圖8

圖9

圖10

圖11

題型4ax2＋ax＋c＞ (＜ ) 0(x∈R)，其中a為參數(shù)，c為常數(shù)，解集是全體實(shí)數(shù)型的含參數(shù)一元二次不等式

特點(diǎn)：此類不等式不求含參數(shù)一元二次不等式的解集，而是通過已知解集來求所含參數(shù)的取值范圍.

常見問題：忽略解集x∈R，錯用題型2 的解題方法，導(dǎo)致解題失敗.

基本做法：分類討論法、“開口＋判別式”法.

具體步驟：（1）討論參數(shù)a是否為零，當(dāng)a＝ 0 時，要看常數(shù)c是否大于（小于）0 恒成立，以此來取舍參數(shù)a的取值情況.（2）當(dāng)a≠0 時，將ax2＋ax＋c＞（＜）0 轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的恒成立問題，利用二次函數(shù)f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0，x∈R），f（x）＞0 對x∈R 恒成立?a＞0 且Δ＜0 和f（x）＜0 對x∈R 恒成立?a＜0 且Δ＜0 的兩條結(jié)論來判斷參數(shù)a的取值情況.（3）綜合情況，寫出參數(shù)的取值范圍.

題型4 和前三種求解的內(nèi)容有很大的區(qū)別，通過下面的例題來說明.

例 4已知不等式（a－2）x2＋（a－2）x＋1＞0（x∈R）恒成立，求參數(shù)a取值范圍.

思路分析此不等式不是二次函數(shù)的形式，不能直接利用“開口＋判別式”法，所以做題時要注意分類討論.具體解題步驟如下：

解（1）當(dāng)a－2＝0 時，解得a＝2，原不等式可化為 1＞0，滿足對于一切的x∈R，原不等式恒成立.

（2）當(dāng)a－2≠0 時，利用“開口＋判別式”法，有

（3）綜合（1）和（2），于是有a∈［2，6）.

上述例子的比較分析：例1 和例2 對比來看，基本解法是相似的，但例2 的難度加深，更能鍛煉學(xué)生的思維能力，例3 和例1、例2 相比較而言，巧妙地運(yùn)用了根的判別式方法求解集，而例4 則是完全不同于前三道例題的，例4 是已知了解集，求解的是參數(shù)的取值范圍，前三道例題是通過討論參數(shù)的取值情況求解不等式的解集，并且例4 在解題方法上也有了變化，它是以“恒成立”為前提，巧妙地與二次函數(shù)的恒成立問題聯(lián)系起來，并借助其結(jié)論進(jìn)行解題.這樣設(shè)置例題不容易給學(xué)生造成思維定式，可以達(dá)到豐富學(xué)生的解題方法的目的.

結(jié)語：含參數(shù)一元二次不等式的解法是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)之一，具有一定的研究價值.本文所闡述的四種題型及解題方法有利于學(xué)生提高自身的學(xué)習(xí)效率，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生在考試中面對此類問題時能夠得心應(yīng)手，降低出錯率，為高中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)提供了行之有效的方法.