案例教學(xué)法在高中數(shù)學(xué)中的有效應(yīng)用及數(shù)學(xué)建模思想的滲透

◎管妍雪 趙 雪 （北華大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 吉林 132013）

隨著我國(guó)新課程改革的不斷深化，如何提高課堂教學(xué)效率已經(jīng)成為擺在眾多教育教學(xué)工作者面前的重要問(wèn)題.在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中，如何提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，如何能使學(xué)生更加透徹、深入地掌握復(fù)雜的概念性知識(shí)和靈活多變的解題方法，是教師要深入探討和研究的問(wèn)題.通過(guò)查閱大量文獻(xiàn)以及教學(xué)實(shí)踐，我們可以發(fā)現(xiàn)，在高中數(shù)學(xué)課堂中引入案例教學(xué)法，可以很好地“實(shí)現(xiàn)教師為主導(dǎo)，學(xué)生為學(xué)習(xí)的主體”的教學(xué)新理念.本文主要闡述了案例教學(xué)法在高中數(shù)學(xué)課堂中的幾個(gè)有效應(yīng)用.

一、案例教學(xué)法

案例教學(xué)法以案例作為教學(xué)基礎(chǔ)，它的典型特征是目的性、客觀性、真實(shí)性、綜合性、誘導(dǎo)性、實(shí)踐性.案例教學(xué)法的主要目的是使學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，能對(duì)生活中、社會(huì)中不同的案例進(jìn)行一系列的分析和探討，最終提高發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.案例教學(xué)法打破了常規(guī)的教學(xué)模式，使其從單一的傳授知識(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)榻虝?huì)學(xué)生學(xué)習(xí)，在充滿互動(dòng)的環(huán)境中實(shí)現(xiàn)雙向性學(xué)習(xí)，在調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性的同時(shí)，提高課堂教學(xué)效率.

二、案例教學(xué)法在高中數(shù)學(xué)課堂中的應(yīng)用

1.引用生活化案例提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)效果

新課程大綱明確指出，數(shù)學(xué)教育的主要目的就是讓學(xué)生在生活經(jīng)驗(yàn)與知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中學(xué)習(xí)有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)并理解數(shù)學(xué)知識(shí).因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要運(yùn)用生活化的案例，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，注意生活細(xì)節(jié)中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性的同時(shí)，提高課堂教學(xué)效率.

例如，在高中數(shù)學(xué)“空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系”的教學(xué)中，學(xué)生對(duì)于抽象的立體幾何很難理解，因此有很多學(xué)生感覺(jué)這部分知識(shí)很抽象，很有距離感.為了讓學(xué)生更加深入地理解這部分知識(shí)，教師可以借助學(xué)生熟悉的生活實(shí)例設(shè)計(jì)生活化案例，幫助學(xué)生更好地理解這部分知識(shí).

案例1根據(jù)《西游記》的情節(jié)，教師提出問(wèn)題：孫悟空為什么永遠(yuǎn)飛不出如來(lái)佛祖的五指山？ 如果將如來(lái)佛祖的手抽象成一個(gè)平面，由于平面的性質(zhì)之一是可以無(wú)限延伸，因此孫悟空永遠(yuǎn)都飛不出去.這其中就蘊(yùn)含了“平面具有延展性” 的數(shù)學(xué)知識(shí).

案例2有很多攝影愛(ài)好者，他們的必備工具之一就是三腳架，教師提出問(wèn)題：為什么用三腳架來(lái)固定相機(jī)的位置呢？ 為什么不用四腳架或者兩腳架？ 學(xué)生仔細(xì)觀察三腳架的位置關(guān)系就會(huì)發(fā)現(xiàn) “三點(diǎn)定面” 的數(shù)學(xué)概念.

教師應(yīng)結(jié)合學(xué)生身邊的實(shí)際問(wèn)題設(shè)計(jì)生活化案例，在給學(xué)生充分親切感的同時(shí)，加深了學(xué)生對(duì)抽象概念的理解，簡(jiǎn)化了數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容.教師要想增加學(xué)生處理實(shí)際問(wèn)題的能力，就要重視在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中引入生活化案例，達(dá)到預(yù)期的教學(xué)目標(biāo).

2.引用數(shù)學(xué)史案例激發(fā)學(xué)生主觀能動(dòng)性，提高學(xué)生參與度

數(shù)學(xué)史是研究數(shù)學(xué)的起源、發(fā)展及其規(guī)律的科學(xué).目前，數(shù)學(xué)史已經(jīng)成為數(shù)學(xué)課程的有機(jī)組成部分.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，合理地引用數(shù)學(xué)史案例，不但有利于學(xué)生獲取數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想方法，樹(shù)立正確的數(shù)學(xué)觀，體會(huì)數(shù)學(xué)的源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，而且有利于激發(fā)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，提高學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂中的參與度，從而提高課堂教學(xué)效果.

例如，在“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”的教學(xué)實(shí)踐中，教師在進(jìn)行導(dǎo)學(xué)時(shí)可以引用數(shù)學(xué)王子高斯的故事：高斯被認(rèn)為是有史以來(lái)最偉大的三位數(shù)學(xué)家之一，在他十歲的時(shí)候，他的數(shù)學(xué)老師給他出了一道難題：計(jì)算 1＋2＋3＋…＋100 ＝？ 他的小伙伴都被難倒了，只能按照題目的要求一個(gè)一個(gè)地加起來(lái)，這個(gè)時(shí)候高斯起來(lái)說(shuō)：“老師，我已經(jīng)算好了！” 對(duì)于老師和同學(xué)們的驚訝，高斯解釋道：“因?yàn)?1＋100 ＝101，2＋99＝101，3＋98＝101，…，像這樣的 101 一共有 50 個(gè)，所以最后的結(jié)果就是 50×101＝5050.”

教師問(wèn)學(xué)生：“同學(xué)們看懂高斯的計(jì)算方法了嗎？ 這種方法能不能用在別的題目上呢？ 如我們學(xué)過(guò)的等差數(shù)列求和，你能得到什么樣的結(jié)論呢？”

教師繼續(xù)說(shuō)：“高斯這種計(jì)算方法的前提條件是有偶數(shù)個(gè)數(shù)相加，那么，如果想求奇數(shù)個(gè)數(shù)相加的時(shí)候，又該怎么算呢？ 其實(shí)這個(gè)問(wèn)題在很早之前就已經(jīng)被解決了，我國(guó)北宋時(shí)期著名的政治家、科學(xué)家沈括完美地解決了這個(gè)問(wèn)題，他的方法叫‘隙積術(shù)’ ，也是他最著名的成果之一（可用多媒體來(lái)展示出自《夢(mèng)溪筆談》的隙積術(shù)及其翻譯）.在當(dāng)時(shí)，‘隙積術(shù)’主要用于計(jì)算堆砌的酒壇子等堆垛物體的體積，它也可以轉(zhuǎn)化為我們要研究的等差數(shù)列前n項(xiàng)和的求法，具體怎么做呢？ 同學(xué)們分組討論一下.”

由此引入了倒序相加法，以教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，小組討論共同完成了等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo).在學(xué)生將自己的思路呈現(xiàn)出來(lái)的過(guò)程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并總結(jié)數(shù)學(xué)規(guī)律.教師還可以讓一部分學(xué)生在黑板上展示自己的思路，其他學(xué)生進(jìn)行糾錯(cuò)，共同發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)知識(shí).

3.引用數(shù)學(xué)模型案例培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模思維，提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力

數(shù)學(xué)建模思想是新課程改革中的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一.研究表明，在高中數(shù)學(xué)課堂上培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模思想的過(guò)程中，雖然真實(shí)案例的數(shù)學(xué)建模相對(duì)更難，但是更能吸引學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模的好奇心和興趣點(diǎn).引用數(shù)學(xué)模型案例來(lái)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的思想，能激勵(lì)學(xué)生參與到數(shù)學(xué)建模的活動(dòng)當(dāng)中.在數(shù)學(xué)模型案例的教學(xué)中，教師要充分發(fā)揮引導(dǎo)者的角色，在培養(yǎng)學(xué)生合作能力的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生將數(shù)學(xué)理論應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題、解決實(shí)際問(wèn)題的能力，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想.

例如，在日常課堂教學(xué)過(guò)程中，過(guò)難的數(shù)學(xué)模型案例會(huì)導(dǎo)致學(xué)生無(wú)從下手，甚至交白卷，過(guò)易的數(shù)學(xué)模型案例又達(dá)不到原有的教學(xué)目的，所以，如何挑選一個(gè)難度適宜的數(shù)學(xué)模型案例是關(guān)鍵.適宜的數(shù)學(xué)模型案例可以增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模的自信心，有助于培養(yǎng)學(xué)生在日常生活中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、建立模型、模型求解并最終解決實(shí)際問(wèn)題的能力，以下給出兩個(gè)案例.

那天晚上，一杭怎么也睡不著，索性起床，下樓，打車去了雪螢租住的城隍公寓。公寓大門緊閉，保安亭的燈已經(jīng)熄了。他有些失望地在解放北路游蕩。

案例3目前，越來(lái)越多的可再生能源出現(xiàn)在我們的生活中，如風(fēng)能、太陽(yáng)能、核能等，我們?cè)诿刻斓奶鞖忸A(yù)報(bào)中都能看到不同的風(fēng)級(jí)預(yù)報(bào).獲取風(fēng)能的風(fēng)車也因此獲得了不同的功率，那么，不同的風(fēng)力和風(fēng)車獲得的功率之間有什么關(guān)系呢？ 試著建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型來(lái)解決這個(gè)實(shí)際問(wèn)題.

想要建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題，首先要找到有關(guān)的變量.在這個(gè)問(wèn)題中，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的變量有速度v、面積s、空氣密度ρ、功率p.其次，為了解決這個(gè)實(shí)際問(wèn)題，學(xué)生應(yīng)該在教師的指導(dǎo)下分組討論，查閱相關(guān)書(shū)籍，獲取相應(yīng)的量綱：

［v］＝LT－1，［s］＝L2，［ρ］＝ML－3，［p］＝ML2T－3.

在此基礎(chǔ)上，假設(shè)每個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系為f（v，s，ρ，p）＝ 0，給出函數(shù)中各個(gè)項(xiàng)的形式 π ＝vα1sα2ρα3pα4.根據(jù)查閱資料可知量綱齊次原理［π］＝1，結(jié)合本題中的各變量的量綱，有：

建立好數(shù)學(xué)模型之后就要對(duì)模型進(jìn)行求解，在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生以小組為單位對(duì)模型進(jìn)行求解，得α1＝－3，α2＝－1，α3＝－1，α4＝1，所以可以求出 π ＝v－3s－1ρ－1p.因?yàn)樽铋_(kāi)始假設(shè)的函數(shù)關(guān)系為：f（π）＝ 0，也就是說(shuō)，π ＝λ（常數(shù)），從而可得出以下關(guān)系：v－3s－1ρ－1p＝λ，進(jìn)而可得p＝λv3sρ，λ為常數(shù).

最后，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，小組探討后對(duì)所求的實(shí)際問(wèn)題給出解釋：通過(guò)所求的數(shù)學(xué)模型很容易發(fā)現(xiàn)，風(fēng)速越大，風(fēng)車功率就越大； 風(fēng)車迎風(fēng)面積越大，風(fēng)車功率也會(huì)越大； 空氣密度越大，風(fēng)車功率同樣越大.

案例4學(xué)校周邊有許多鮮奶吧售賣酸奶等奶制品，細(xì)心的同學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)，到了夏天，奶制品的需求量會(huì)增加，但是所需原材料鮮奶的儲(chǔ)存費(fèi)用也會(huì)隨之增加，那么鮮奶吧要多久訂購(gòu)一批鮮奶才能獲得最大利潤(rùn)呢？ 試著建立數(shù)學(xué)模型對(duì)這個(gè)實(shí)際生活中的案例進(jìn)行求解.

要解決這個(gè)實(shí)際案例，學(xué)生要先去走訪周邊的鮮奶吧收集數(shù)據(jù).假設(shè)在每天都有足夠的奶制品供應(yīng)給學(xué)生的情況下，每次鮮奶吧訂購(gòu)鮮奶的費(fèi)用為5000 元，每千克鮮奶每個(gè)月的存儲(chǔ)費(fèi)為0.2 元，一個(gè)鮮奶吧平均每月對(duì)鮮奶的需求量為6000 千克，在這些數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，設(shè)單位時(shí)間內(nèi)對(duì)鮮奶的需求量為D千克，每次訂購(gòu)鮮奶為Q千克，訂貨的周期為T，單位時(shí)間的存儲(chǔ)費(fèi)為Cp元，給出必要的模型假設(shè)：這里把鮮奶的需求看作連續(xù)均勻的.

建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，根據(jù)各個(gè)變量間的內(nèi)在關(guān)系可知，一個(gè)周期T內(nèi)的存儲(chǔ)費(fèi)為由于訂購(gòu)鮮奶的費(fèi)用為CD，那么一個(gè)周期T內(nèi)所需要的總費(fèi)用為以下函數(shù)關(guān)系式：

根據(jù)所收集到的數(shù)據(jù)，將單位時(shí)間T考慮為1 個(gè)月，則每月鮮奶的需求量D＝6000 千克，每月每千克牛奶的存儲(chǔ)費(fèi)Cp＝ 0.2 元，則每次訂購(gòu)鮮奶的費(fèi)用為CD＝ 5000 元，所以可以求出最佳訂購(gòu)周期

除此之外，生活中還有許許多多常見(jiàn)的案例可以用來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想及解決實(shí)際問(wèn)題的能力，使學(xué)生真正做到學(xué)數(shù)學(xué)是為了用數(shù)學(xué)的宗旨，在這里，本文給出兩個(gè)比較簡(jiǎn)單的案例以供參考.

案例5冬天的操場(chǎng)上有很多積雪，同學(xué)們課間堆起了雪人，雪人融化時(shí)組成雪人的兩個(gè)雪球的半徑減小量與時(shí)間成正比，現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)堆好的雪人在兩個(gè)小時(shí)后變成了原來(lái)的那么還需要多久雪人才會(huì)全部融化？

案例6菠蘿是很多同學(xué)愛(ài)吃的水果，仔細(xì)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)，在削菠蘿的過(guò)程中，很多商販會(huì)在菠蘿上留下一條螺線，給人一種美的感覺(jué)，從數(shù)學(xué)的視角來(lái)看，為什么人們比較喜歡這樣的菠蘿？

在引入數(shù)學(xué)模型案例的過(guò)程中，教師可以根據(jù)學(xué)生的具體情況，如年級(jí)、個(gè)性差異、知識(shí)水平等，選取難易程度不同的案例，從數(shù)學(xué)模型的子能力 （模型假設(shè)、模型構(gòu)成、模型求解、模型檢驗(yàn)） 出發(fā)，逐步訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

三、結(jié)束語(yǔ)

教師在使用案例教學(xué)法時(shí)，應(yīng)及時(shí)對(duì)學(xué)生的思路和分析過(guò)程進(jìn)行點(diǎn)評(píng)和指導(dǎo).教師在分析案例和解決問(wèn)題的過(guò)程中，針對(duì)學(xué)生思維不嚴(yán)謹(jǐn)、解題不正確等問(wèn)題，教師要及時(shí)糾正.教師在教學(xué)中要在結(jié)合實(shí)際的基礎(chǔ)上引入案例教學(xué)，緊扣教學(xué)目標(biāo)，選取合適的教學(xué)案例，將案例教學(xué)法的作用與效果發(fā)揮到最大，從而提高課堂的教學(xué)效率.