中國傳統(tǒng)益智游戲背后的數(shù)學(xué)知識

孫文希

七巧板、九連環(huán)、華容道，這些中國傳統(tǒng)的益智游戲你玩過嗎？這些游戲給我們帶來了快樂，也把先人的智慧流傳了下來，它們的背后，都有一個堅實的后盾——數(shù)學(xué)。

七巧板——勾股定理

七巧板的歷史可以追溯到我國先秦的古籍《周髀算經(jīng)》，書中記載有正方形切割術(shù)，并由此證明了勾股定理，《周髀算經(jīng)》中的正方形切割術(shù)是將大正方形切割成四個同樣大小的三角形和一個小正方形，這還不是我們現(xiàn)在熟悉的七巧板。

現(xiàn)在的七巧板是經(jīng)過了一段歷史演變過程的，宋朝黃伯思發(fā)明了一種用6張小桌子組成的“燕幾”——請客吃飯的小桌子，后來有人把它改進為7張桌子組成的燕幾，可以根據(jù)吃飯人數(shù)的不同，把桌子拼成不同的形狀，比如3人拼成三角形，4人拼成四方形，6人拼成六邊形……這樣用餐時更加靈活方便，后來，宋代的燕幾圖到明代發(fā)展為蝶幾圖，到清初再演變成七巧圖，到現(xiàn)在已經(jīng)有2500多年的歷史了，大約18世紀，七巧板流傳到海外，被歐洲人稱之為“東方魔板”“唐圖”，之后，七巧板得以發(fā)展、改造和創(chuàng)新，成為一種世界性的智力游戲。

七巧板完整圖案為一正方形（圖1）：五塊等腰直角三角形（兩塊小三角形、一塊中型三角形和兩塊大三角形）、一塊正方形和一塊平行四邊形，利用七巧板可以拼成許多圖形，包括人物、動物、植物、建筑物、文字等，據(jù)說有記載的圖形已超過1000種，你知道七巧板也可以用來證明勾股定理嗎？圖2是用兩副同樣大小的七巧板拼成的，在圖中，下部平放的正方形由一副七巧板拼成，上部斜放的2個正方形由另一副七巧板拼成，這三個正方形內(nèi)側(cè)圍出一個直角三角形，因為斜邊上的大正方形面積等于兩條直角邊上的小直角三角形面積之和，所以我們不難得出這樣的結(jié)論：直角三角形斜邊長的平方等于兩條直角邊長的平方和，這正是勾股定理的內(nèi)容。

九連環(huán)——遞歸原理

九連環(huán)主要是由一個金屬框架和九個圓環(huán)組成：每個圓環(huán)上連有一根直桿，而這根直桿則在后面一個圓環(huán)內(nèi)穿過，九根直桿的另一端相對固定，它的玩法就是要將這九個圓環(huán)從柄上解下來，西漢大才女卓文君的詩作里就曾提及九連環(huán)：“一別之后，二地懸念，只說三四月，又誰知五六年，七弦琴無心彈，八行書不可傳，九連環(huán)從中折斷，十里長亭望眼欲穿，百思想，千系念，萬般無奈把郎念，”這說明九連環(huán)至少有近兩千年的歷史，

九連環(huán)的每個環(huán)互相制約，只有第一環(huán)能夠自由上下，要想下/上第n個環(huán)，就必須滿足兩個條件（第一個環(huán)除外）：1.第n-1個環(huán)在架上;2.第n-1個環(huán)前面的環(huán)全部不在架上，先以第9環(huán)為目標，先拆下它，簡化為拆一個8連環(huán)，接著再以第8環(huán)為目標，拆下它，簡化為拆一個7連環(huán)……以此類推，直至全部拆解，解下九連環(huán)必須要從后面的環(huán)開始下，而先下前面的環(huán)，是為了下后面的環(huán)，前面的環(huán)還要裝上，不算是真正地取下來。

九連環(huán)的游戲規(guī)則是不是讓人覺得跟遞歸原理有聯(lián)系呢？遞歸的基本思想是把一個大的問題分解為一個規(guī)模較小的問題，由這些較小問題的解，得出大問題的解，而這些規(guī)模較小的問題，用同樣的方法分解成更小的問題，由更小問題的解，得出較小的問題的解，一層層下去，一般最后總是可以分解到可以直接求解的小問題，這就和解九連環(huán)的規(guī)律一模一樣。

解開九連環(huán)至少需要341步，按每步耗時1-2秒計算，需要5到10分鐘，如果是八連環(huán)，需要170步，大約4分鐘可以解開;十連環(huán)需要682步，20到40分鐘才能解開，而一個三十三連環(huán)，每秒鐘一步，也要180多年才能解完呢。

華容道——組合數(shù)學(xué)

曹操敗走華容道是《三國演義》中的一個著名故事，華容道游戲即取材于此，華容道屬于滑塊類游戲，就是在一定范圍內(nèi)，按照一定條件移動一些稱作“塊”的東西，最后滿足一定的要求，滑塊類游戲究其起源，最早可追溯到中國古代的“重排九宮”，產(chǎn)生于出現(xiàn)河圖洛書的遠古時代，有數(shù)千年歷史。

華容道有幾十種布陣方法，如“橫刀立馬（圖5）”“近在咫尺”“過五關(guān)（圖6）”“水泄不通”“小燕出巢”等，由華容道的諸多排列方法，可以衍生形成十分復(fù)雜的棋局，棋盤上僅有兩個小方格空著，玩法就是通過這兩個空格移動棋子，用最少的步數(shù)把曹操移出華容道，華容道的魅力在于，要預(yù)先想出好幾步才能走出最近的一步，所以，華容道其實包含著非常復(fù)雜的排列組合計算。

早在1952年，我國數(shù)學(xué)家許莼舫在《數(shù)學(xué)漫談》一書中對華容道游戲就做了細致的研究，他在試驗的基礎(chǔ)上不斷探索，總結(jié)出了100步的解法和幾條游戲規(guī)則，可以概括為：四個小兵不能分開，一定要兩兩組合在一起;關(guān)羽、曹操等大將在移動的過程中，前面需要兩個小兵開路;曹操一旦移動，后面必須有兩個追趕的小兵，1964年，《科學(xué)美國人》雜志上公布了美國數(shù)學(xué)家馬丁，力Ⅱ德納的新解法，破解了華容道最常見的陣法“橫刀立馬”，僅81步便可成功，這也是華容道已知的最優(yōu)解法，因此，華容道與法國人發(fā)明的獨立鉆石、匈牙利人發(fā)明的魔方被并稱為“智力游戲界的三個奇跡”。