陶哲軒與埃爾德什差異問題

2015年9月17日，2006年菲爾茨獎得主、華裔數(shù)學家陶哲軒宣布破解了80年懸而未決的埃爾德什差異問題（the Erdos Discrepancy Problem），關(guān)于解決這個問題的論文預(yù)印本發(fā)表在arXiv，org（全球最大的預(yù)印本系統(tǒng)）上。

埃爾德什差異問題由數(shù)學家保羅·埃爾德什（Paul ErdSs）在1932年提出，指的是在任意只由1和-1組成的無限數(shù)列中，能找到項與項之間等距的有限子列，使子列各項之和的絕對值大于一個任意大的常數(shù)c，和許多數(shù)論問題一樣，埃爾德什差異問題描述起來很簡單，但證明難度卻很大，埃爾德什于1996年去世，沒能看到這一問題被證明。

從直覺上看，對有些數(shù)列而言，這個問題的答案非常簡單：在只有1的數(shù)列中，把各項加起來一定能得到任意大的數(shù);對無限數(shù)列（-1.1.-1.1.-1.1.…）來說，要找到一個各項之和大于2.且間隔固定的子數(shù)列，取第二位和第四位就行;要找到各項之和大于4的子數(shù)列，可以取第二位、第四位、第六位、第八位;無論多大的數(shù)，都能在（-1.1.-1.1.-1.1）中找到加起來等于這個數(shù)的子數(shù)列，但埃爾德什的猜想是，無論這些正負1怎么排列，這個結(jié)論都成立：給出一個任意大的常數(shù)，就能找到這樣的數(shù)列。

這到底是什么意思呢？假設(shè)你和你的朋友玩一個拋硬幣游戲，擲出正面，你往左走一步;擲出反面，你往右走一步，你知道他在硬幣上做了手腳，出來正面還是反面，他說了算，但你也有殺手锏：你可以忽略某些硬幣的結(jié)果，忽略的方法就是：每過固定數(shù)量的硬幣就有一個算數(shù)，剩下的全不算，具體隔幾個，你在結(jié)束的時候說了算，埃爾德什猜想的意義在于，雖然你最后往左還是往右，你說了不算，但是你想離出發(fā)點多遠，就能有多遠。

陶哲軒的證明說明了埃爾德什的猜想是對的，但他并沒有給出計算這個數(shù)值的方法，雖然他的證明還沒有經(jīng)過嚴格的同行評議，但數(shù)學家們對他的結(jié)果很有信心，“我絕對相信他的結(jié)果”，以色列希伯來大學的數(shù)學家吉爾·卡萊（Gil Kalai）這樣說道。

數(shù)學家們最近一次向這個問題發(fā)起挑戰(zhàn)的行動始于2009年12月，并在2010年組建起了團隊，來自劍橋大學的數(shù)學家蒂莫西·高爾（Timothv Gowers）建議用“博學項目”（Polymath Project）（一個數(shù)學家合作的在線平臺）來解決這個問題，陶哲軒是這個項目的幾十位參與者之一。

這次合作在2012年告一段落，但數(shù)學家們確定了只要能證明埃爾德什猜想對一類數(shù)列成立，就能推廣到普遍情況，這種數(shù)列是這樣的：在質(zhì)數(shù)項中，數(shù)值是隨機的，但其它項的數(shù)值是它的質(zhì)數(shù)因子項上的數(shù)值的積，比如說，第十五項的數(shù)值是第三項和第五項的積。

2014年2月，研究人員用計算機證明了埃爾德什問題的一個特殊情況：子列的和一定能大于2.但沒能證明一定能大于3.陶哲軒的證明說明了這個和一定能大于任意大的有限數(shù)。

在研究人員用計算機證明了埃爾德什問題的一個特殊情況后，數(shù)學家們在很長一段時間里都沒能取得新的進展，2015年9月初，陶哲軒的博客收到了一條評論，提醒他正在研究的另一個問題可能與埃爾德什猜想有關(guān)，陶哲軒在一封電子郵件中這樣寫道：“一開始，我覺得這兩個問題之間的聯(lián)系只是表面的，”但他很快意識到，將新思路和之前的結(jié)果結(jié)合在一起，很可能可以得到問題的證明，過了不到兩周的時間，他就發(fā)表了論文，并在致謝信中感謝了這位評論者——圖賓根大學的數(shù)學博士尤威·斯特羅斯基（Uwe Stroinski）。

陶哲軒把論文發(fā)表在了菲爾茨獎得主、英國數(shù)學家蒂莫西·高爾創(chuàng)辦的開源期刊《離散分析》上，這本免費在線期刊提供了傳統(tǒng)的同行評議，由于只接受已經(jīng)發(fā)表在arXiv，org上的論文，所以避免了大量的發(fā)行成本，“蒂莫西·高爾的期刊是對論文完全開源出版的一次前景大好的實驗，”陶哲軒說。

埃爾德什經(jīng)常對自己提出的猜想提供現(xiàn)金獎勵，他為解決埃爾德什差異問題設(shè)立的獎金是500美元，在他去世后，別人接管了這些獎金的頒發(fā)事宜，埃爾德什在陶哲軒申請普林斯頓大學的博士項目時，曾為他寫過推薦信，陶哲軒也被問到，如果別人決定把獎金授予他，會不會真的去領(lǐng)獎，他的回答是：“在埃爾德什還在世的時候，傳統(tǒng)做法是不兌現(xiàn)獎金支票，人們一般會把它裱起來?！?/p>