對(duì)霍爾效應(yīng)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)誤差的探究

魏國(guó)榮 薄永紅

摘要：內(nèi)燃機(jī)車(chē)電傳動(dòng)控制電路的檢測(cè)速度和有效性，直接影響到內(nèi)燃機(jī)運(yùn)行的可靠性。本文介紹的霍爾效應(yīng)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)誤差研究，從理論上講測(cè)量霍爾電壓系統(tǒng)誤差主要是由于愛(ài)廷豪森效應(yīng)、能斯脫效應(yīng)、里紀(jì)-勒杜克效應(yīng)和不等位電勢(shì)差四個(gè)副效引起的，本文在對(duì)稱(chēng)法和交流法兩種測(cè)量方法的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出測(cè)量計(jì)算公式，并通過(guò)測(cè)量數(shù)據(jù)做了相對(duì)誤差計(jì)算和分析，說(shuō)明了它們的影響程度。

關(guān)鍵詞：霍爾效應(yīng);愛(ài)廷豪森效應(yīng);能斯脫效應(yīng);里紀(jì)-勒杜克效應(yīng)

中圖分類(lèi)號(hào)：O4-34? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號(hào)：1674-957X（2020）24-0001-04

0? 引言

內(nèi)燃機(jī)車(chē)電傳動(dòng)控制電路故障檢測(cè)及自動(dòng)處理，可以快速故障定位、自動(dòng)應(yīng)急處理，消除行車(chē)隱患，維持機(jī)車(chē)內(nèi)燃機(jī)正常運(yùn)行。在內(nèi)燃機(jī)車(chē)電氣系統(tǒng)的控制特點(diǎn)布線十分復(fù)雜，可靠性差，部分觸頭因裸露結(jié)構(gòu)，容易發(fā)生因落灰后接觸電阻過(guò)大，發(fā)生虛接、開(kāi)路等故障。機(jī)車(chē)運(yùn)用過(guò)程中發(fā)生電器聯(lián)鎖故障后查找判斷困難，給行車(chē)組織帶來(lái)較大影響。本文研究的霍爾效應(yīng)實(shí)驗(yàn)方法，是高校理工科基本實(shí)驗(yàn)之一，無(wú)論是作為普通物理實(shí)驗(yàn)[1]還是近代物理實(shí)驗(yàn)[2]測(cè)量霍爾片的霍爾電壓是實(shí)驗(yàn)的關(guān)鍵。

由于在霍爾效應(yīng)中，還伴隨著愛(ài)廷豪森效應(yīng)、能斯脫效應(yīng)、里紀(jì)-勒杜克效應(yīng)和不等位電勢(shì)差等副效應(yīng)，這些副效應(yīng)對(duì)霍爾電壓的測(cè)量帶來(lái)系統(tǒng)誤差。在實(shí)驗(yàn)室里，消除這些系統(tǒng)誤差常用的方法是用對(duì)稱(chēng)法，即通過(guò)換向器來(lái)改變通過(guò)霍爾片的工作電流方向和磁感應(yīng)強(qiáng)度方向?；魻栃?yīng)已在自動(dòng)化技術(shù)、測(cè)量技術(shù)、智慧城市建設(shè)和人工智能等領(lǐng)域里有十分重要的應(yīng)用。而在實(shí)際使用中，不可能像實(shí)驗(yàn)室里采用一些方法來(lái)消除這些副效應(yīng)的影響，要減小或消除它們的影響，可以從兩方面著手，一是在制造方面，應(yīng)提高制造工藝水平;二是在使用方面，應(yīng)設(shè)計(jì)附帶電路，加以修正。要做到這兩點(diǎn)，知道這四個(gè)副效應(yīng)產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差變的十分重要。本方擬對(duì)霍爾效應(yīng)中，各副效應(yīng)引起的電壓對(duì)霍爾電壓測(cè)量產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差進(jìn)行理論和實(shí)驗(yàn)方面的研究，推導(dǎo)出它們誤差的計(jì)算公式，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算出它們的誤差，說(shuō)明它們的影響程度。

1? 回顧理論

1.1 霍爾效應(yīng)公式[1]

式中VH為霍爾電壓，KH為霍爾片的靈敏度，它反映產(chǎn)生霍爾電壓的能力，單位為mV·mA-1·T-1，Is是通過(guò)霍爾片的工作電流，B是垂直穿過(guò)霍爾片磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。

從式（1）中看出，霍爾電壓的大小與工作電流和磁感應(yīng)強(qiáng)度的乘積成正比，其方向與工作電流和磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向均有關(guān)系，當(dāng)工作電流和磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向改變時(shí)，霍爾電壓的方向均要改變。

1.2 愛(ài)廷豪森效應(yīng)

在霍爾效應(yīng)中，愛(ài)廷豪森效應(yīng)產(chǎn)生的電壓與工作電流和磁感應(yīng)強(qiáng)度之間的關(guān)系式為[2]：

式中VE是愛(ài)廷豪森效應(yīng)產(chǎn)生的電壓，其值與工作電流和磁感應(yīng)強(qiáng)度的乘積成正比，而方向和霍爾電壓一樣，與工作電流和磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向均有關(guān)系。

1.3 能斯脫效應(yīng)

在霍爾效應(yīng)中，能斯脫效應(yīng)產(chǎn)生電壓的關(guān)系式為[2]：

式中VN是能斯脫效應(yīng)產(chǎn)生電壓，Q是由于霍爾片兩端連接工作電流的電極觸點(diǎn)電阻有差異，當(dāng)電流通過(guò)霍爾片時(shí)，由于焦耳熱不同，使霍爾片兩端有溫度差，產(chǎn)生的熱流，其流向與觸點(diǎn)電阻值差異有關(guān)，而與工作電流方向無(wú)關(guān)?？梢?jiàn)，能斯脫效應(yīng)產(chǎn)生電壓的方向僅與磁感應(yīng)強(qiáng)度方向有關(guān)，而與工作電流方向無(wú)關(guān)。

1.4 里紀(jì)-勒杜克效應(yīng)

在霍爾效應(yīng)中，里紀(jì)-勒杜克效應(yīng)產(chǎn)生電壓的關(guān)系式為[2]：

由此可見(jiàn)，里紀(jì)-勒杜克效應(yīng)引起的電壓VRL的方向與能斯脫效應(yīng)一樣，僅與磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向有關(guān)，而與通過(guò)霍爾片的工作電流方向無(wú)關(guān)。

1.5 不等位電勢(shì)差

不等位電勢(shì)差是由于霍爾片將霍爾電壓輸出的電極非完全相對(duì)應(yīng)和霍爾片本身純度及形體不均勻等因素導(dǎo)致的，這與制作工藝有關(guān)，其大小還與工作電流Is的大小有關(guān)，若給霍爾電壓輸出的兩電極間的縱向一個(gè)電阻值Rd，則根據(jù)歐姆理論，不等位電勢(shì)差Vd為：

可見(jiàn)，不等位電勢(shì)差Vd僅與工作電流Is有關(guān)，而與磁場(chǎng)無(wú)關(guān)，其電壓方向隨工作電流方向的改變而改變。

2? 系統(tǒng)誤差計(jì)算公式

2.1 測(cè)量方法

2.1.1 對(duì)稱(chēng)法

從式（2）、式（3）、式（4）中看到，能斯脫效應(yīng)、里紀(jì)-勒杜克效應(yīng)和不等位電勢(shì)差產(chǎn)生電壓的方向或與工作電流方向有關(guān)，或與磁感應(yīng)強(qiáng)度方向有關(guān)，而霍爾電壓的方向與工作電流和磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向均有關(guān)系，故在實(shí)驗(yàn)室里，常采用改變工作電流和磁感應(yīng)強(qiáng)度方向（實(shí)驗(yàn)中用改變勵(lì)磁電流的方向來(lái)改變磁感應(yīng)強(qiáng)度方向的），來(lái)消除它們影響的（忽略愛(ài)廷豪森效應(yīng)的影響），這種方法把它稱(chēng)之為“對(duì)稱(chēng)法”，分析過(guò)程如下。

根據(jù)式（1）、式（3）、式（4）和式（5）得：

可見(jiàn)，采用對(duì)稱(chēng)法測(cè)量，霍爾電壓的測(cè)量值VH-m用下式：

來(lái)計(jì)算，這樣就消除了能斯脫效應(yīng)、里紀(jì)-勒杜克效應(yīng)和不等位電勢(shì)差對(duì)霍爾效應(yīng)的影響。

需要說(shuō)明的是，用式（6）計(jì)算結(jié)果若是正值，表明霍爾電壓的實(shí)際方向與假設(shè)方向相同，若是負(fù)值，表明霍爾電壓的實(shí)際方向與假設(shè)方向相反。

2.1.2 交流法

由式（1）和式（2）看到，愛(ài)廷豪森效應(yīng)產(chǎn)生的電壓VE與霍爾電壓VH一樣，均與通過(guò)霍爾片的工作電流和垂直穿過(guò)霍爾片的磁感應(yīng)強(qiáng)度乘積成正比，當(dāng)工作電流和磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向改變時(shí)，愛(ài)廷豪森效應(yīng)產(chǎn)生的電壓和霍爾電壓的方向均要改變，若考慮到愛(ài)廷豪森效應(yīng)的影響，測(cè)量霍爾電壓的計(jì)算式（6），應(yīng)變更為：

所以不能采用對(duì)稱(chēng)法來(lái)消除愛(ài)廷豪森效應(yīng)對(duì)霍爾效應(yīng)的影響。

由于霍爾效應(yīng)的建立所用時(shí)間很短（大約在10-14～10-12秒內(nèi)[3]），而穩(wěn)定的溫度差的建立需要時(shí)間較長(zhǎng)（約幾秒[2]），所以只要通過(guò)霍爾片的工作電流用交流電即可，例用0.02秒的工頻電流，在0.01秒內(nèi)，霍爾效應(yīng)已十分穩(wěn)定，而溫度差還沒(méi)有建立，電流方向就開(kāi)始反向了，這樣就基本保證了霍爾片上下兩側(cè)溫度的均勻，消除了愛(ài)廷豪森效應(yīng)對(duì)霍爾電壓的影響，當(dāng)然此時(shí)的霍爾電壓也是交變的，應(yīng)用交流電壓表來(lái)測(cè)量。

從式（3）看到，能斯脫效應(yīng)由熱流引起，而熱流與工作電流方向無(wú)關(guān)，所以雖然工作電流是交流電，能斯脫效應(yīng)產(chǎn)生的電壓仍是直流電壓，它的方向僅隨磁場(chǎng)方向的改變而改變，用交流電壓表測(cè)量時(shí)，它對(duì)交流電壓表的示數(shù)沒(méi)有貢獻(xiàn)。

同樣，里紀(jì)-勒杜克效應(yīng)也是由熱流引起，所以里紀(jì)-勒杜克效應(yīng)引起的電壓同樣是的直流電壓，用交流電壓表測(cè)量時(shí)，它對(duì)交流電壓表的示數(shù)同樣沒(méi)有貢獻(xiàn)。

但是，當(dāng)工作電流用交流電時(shí)，根據(jù)式（5）看出，不等位電位差也是交流電壓，所以，它已不能用改變磁場(chǎng)方向的方法來(lái)消除它的影響，由于不等位電位差的大小與磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小無(wú)關(guān)，所以實(shí)驗(yàn)中可以使磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度取零（斷開(kāi)勵(lì)磁電流的開(kāi)關(guān)）時(shí)，霍爾電壓已經(jīng)變?yōu)榱?，所以測(cè)得的電壓值就是不等位電位差。

綜上所述，當(dāng)工作電流用交流電時(shí)，并不需要換方向，測(cè)二次就行了，比用直流電來(lái)測(cè)量簡(jiǎn)單，具體方法如下：

①當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B≠0時(shí)，有：

式中，不等位電位差Ud取向有正負(fù)之分，若Ud和UH是同相位，應(yīng)取正;若Ud和UH是反相位，應(yīng)取負(fù)。實(shí)驗(yàn)中要知道它們是同相位還是反相位，要等在對(duì)稱(chēng)法測(cè)量中，計(jì)算出的不等位電位差Vd-m與霍爾電壓VH-m是同向還是反向才能確定。

②當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0時(shí)，有：

顯然，霍爾電壓的測(cè)量值為：

式中正負(fù)號(hào)的選取和上面的道理是一樣的，它們?nèi)敉辔?，?yīng)取負(fù)，反之取正。

2.2? 誤差計(jì)算公式

2.2.1 能斯脫效應(yīng)、里紀(jì)-勒杜克效應(yīng)的誤差計(jì)算

根據(jù)對(duì)稱(chēng)法測(cè)量，因?yàn)椋?/p>

可見(jiàn)在對(duì)稱(chēng)法測(cè)量中，計(jì)算能斯脫效應(yīng)與里紀(jì)-勒杜克效應(yīng)產(chǎn)生的電壓值之和計(jì)算式為：

式中，若計(jì)算結(jié)果是正值，表明能斯脫效應(yīng)與里紀(jì)-勒杜克效應(yīng)電壓之和的實(shí)際方向與假設(shè)方向相同，若是負(fù)值，表明電壓的實(shí)際方向與假設(shè)方向相反。

與霍爾電壓相比，產(chǎn)生的相對(duì)誤差為

2.2.2 不等位電勢(shì)差的誤差計(jì)算

根據(jù)對(duì)稱(chēng)法測(cè)量，因?yàn)椋?/p>

可見(jiàn)在對(duì)稱(chēng)法測(cè)量中，計(jì)算不等位電勢(shì)差的計(jì)算式為：

同樣，計(jì)算結(jié)果若是正值，表明不等位電勢(shì)差的實(shí)際方向與假設(shè)方向相同，若是負(fù)值，表明不等位電勢(shì)差的實(shí)際方向與假設(shè)方向相反。

與霍爾電壓相比，產(chǎn)生的相對(duì)誤差為：

在交流法中，不等位電勢(shì)差的相對(duì)誤差計(jì)算要簡(jiǎn)單得多，計(jì)算式為：

2.2.3 愛(ài)廷豪森效應(yīng)的誤差計(jì)算

對(duì)愛(ài)廷豪森效應(yīng)引起的誤差只能做粗略的估算，在工作電流用交流電時(shí)，若在交流電流的有效值與對(duì)稱(chēng)法的直流電流相等，且磁場(chǎng)的感應(yīng)強(qiáng)度也相等的情況下，根據(jù)式（7）和（8）可得：

其相對(duì)誤差為：

3? 樣品系統(tǒng)誤差計(jì)算及分析

在實(shí)驗(yàn)室里，筆者用了TH-S型螺線管磁場(chǎng)實(shí)驗(yàn)儀和TH-S型螺線管磁場(chǎng)測(cè)試儀（浙江天煌科技實(shí)業(yè)有限公司研制），對(duì)兩個(gè)樣品進(jìn)行測(cè)量，限于篇幅，僅用一例。

3.1 測(cè)量數(shù)據(jù)及誤差計(jì)算

測(cè)試樣品：靈敏度為2.54mV·mA-1GS-1的硅晶片，螺線管匝數(shù)密度為111.70×102·m-1。

測(cè)量數(shù)據(jù)為表1和表2。

表1中，VH-m表示霍爾電壓的測(cè)量值，正值表示實(shí)際值方向與假定方向相同，若是負(fù)值表示實(shí)際值方向與假定方向相反（下同），VNRL-m表示能斯脫效應(yīng)與里紀(jì)-勒杜克效應(yīng)。

表2中，UH-m表示用交流法測(cè)得的霍爾電壓有效值，VE-m表示愛(ài)廷豪森效應(yīng)引起電壓的測(cè)量值，EE表示其引起的相對(duì)誤差。

3.2分析圖表（圖1）

里紀(jì)-勒杜克效應(yīng)產(chǎn)生的電壓值之和的測(cè)量值，ENRL表示其相對(duì)誤差，Vdm表示不等位電勢(shì)差的測(cè)量值，Ed表示其相對(duì)誤差。

筆者對(duì)兩個(gè)樣品用Origin工具繪制了霍爾電壓與工作電流間的擬合圖線，線性關(guān)系都比較理想，并發(fā)現(xiàn)它們均與霍爾電壓坐標(biāo)軸有一很小的負(fù)向截距，該截距就是愛(ài)廷豪森效應(yīng)引起電壓值，同時(shí)也表明測(cè)量數(shù)據(jù)是比較理想的。（圖2、圖3）

圖表中，不等位電勢(shì)差的測(cè)量值用了絕對(duì)值。

3.3 系統(tǒng)誤差分析

3.3.1 不等位電勢(shì)差及誤差

根據(jù)表1和表2的比較看到，在這四個(gè)副效應(yīng)中，不等位電勢(shì)差最大，其量級(jí)與霍爾電壓基本是同級(jí)別的，所以測(cè)量?jī)x器能較好的分辨出來(lái)，圖3表明，它較好的反映了與工作電流正比關(guān)系的理論值，也就驗(yàn)證了關(guān)系式（5）是成立的。

不等位電勢(shì)差產(chǎn)生的相對(duì)誤差也最大，該樣品的平均相對(duì)誤差值達(dá)17.61%，另一樣品的平均相對(duì)誤差值也達(dá)8.77%。

3.3.2 愛(ài)廷豪森效應(yīng)及誤差

愛(ài)廷豪森效應(yīng)產(chǎn)生的電壓與不等位電勢(shì)差相比要小些，但其量級(jí)與不等位電勢(shì)差的量級(jí)相比差得不大，所以測(cè)量?jī)x器也能較好的分辨出來(lái)，圖2表明，它也較好的反映了與工作電流正比關(guān)系的理論值，基本驗(yàn)證了關(guān)系式（2）是成立的。

愛(ài)廷豪森效應(yīng)平均相對(duì)誤差值該樣品為3.35%，另一樣品為2.78%，與其它文獻(xiàn)在5%以下的結(jié)論相符。

3.3.3 能斯脫效應(yīng)與里紀(jì)-勒杜克效應(yīng)及誤差

能斯脫效應(yīng)與里紀(jì)-勒杜克效應(yīng)產(chǎn)生電壓之和極小，是微伏量級(jí)，大約是不等位電勢(shì)差的千分之幾。若把前兩次測(cè)量誤差剔除后（由于電壓很小，測(cè)量?jī)x器精度較低，儀器誤差影響較大），其平均相對(duì)誤差值該樣品為0.08%，另一樣品為0.05%。可見(jiàn)能斯脫效應(yīng)和里紀(jì)-勒杜克效應(yīng)對(duì)霍爾效應(yīng)的影響極小，可以忽略不計(jì)。究其原因，是由于連接硅晶片兩端電極的接觸電阻極?。娼Y(jié)合），其差異更小，因而產(chǎn)生的焦耳熱極小，溫度差更小，且溫度差的建立要幾秒時(shí)間，它又不斷向周?chē)l(fā)熱量，故在晶片里的熱流極小，其擴(kuò)散電流極其微弱，大約是微安量級(jí)，它所產(chǎn)生的霍爾電壓（即能斯脫效應(yīng)）是微伏量級(jí)，而里紀(jì)-勒杜克效應(yīng)實(shí)際上是擴(kuò)散電流產(chǎn)生的愛(ài)廷豪森效應(yīng)，它的量級(jí)更小，是能斯脫效應(yīng)的百分之幾，且通過(guò)分析，其極性與能斯脫效應(yīng)的極性相反，因而這兩種效應(yīng)之和對(duì)霍爾效應(yīng)產(chǎn)生的影響極其微弱.在實(shí)驗(yàn)測(cè)量中，由于能斯脫效應(yīng)和里紀(jì)-勒杜克效應(yīng)產(chǎn)生的電壓極其微弱，比測(cè)量?jī)x表（讀到0.01毫伏）要小很多，故儀表顯示讀數(shù)的隨機(jī)性和外部環(huán)境的偶然性等因素反而起了主要作用，所以其測(cè)量值有時(shí)為正、有時(shí)為負(fù)就感到不奇怪了。

4? 結(jié)語(yǔ)

上面定量討論了在實(shí)驗(yàn)室里用對(duì)稱(chēng)法求能斯脫效應(yīng)與里紀(jì)-勒杜克效應(yīng)產(chǎn)生電壓之和和不等位電勢(shì)差產(chǎn)生電壓的測(cè)量計(jì)算式，結(jié)合交流法求愛(ài)廷豪森效應(yīng)產(chǎn)生電壓的測(cè)量計(jì)算式，其測(cè)量計(jì)算式（9）、式（11）和式（14）是本文最重要的理論成果。

測(cè)量分析圖線表明，不等位電勢(shì)差的測(cè)量值與理論值相符性非常好，愛(ài)廷豪森效應(yīng)產(chǎn)生電壓的測(cè)量值與理論值相符性也較好。

通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量表明，在霍爾效應(yīng)中，不等位電勢(shì)差最大，其量級(jí)與霍爾電壓幾乎相當(dāng)，產(chǎn)生的相對(duì)誤差較大，達(dá)百分之幾到幾十，其次是愛(ài)廷豪森效應(yīng)，其相對(duì)誤差也達(dá)百分之幾，能斯脫效應(yīng)和里紀(jì)-勒杜克效應(yīng)產(chǎn)生的電壓極其微弱，只有霍爾電壓的萬(wàn)分之幾，一般儀器無(wú)法分辨，所以其值在零點(diǎn)上下隨機(jī)波動(dòng)，可以忽略不計(jì)。上面兩點(diǎn)是本文最重要的實(shí)驗(yàn)成果。

由于霍爾晶片在實(shí)際使用中，不能像實(shí)驗(yàn)室里那樣用對(duì)稱(chēng)法或交流法來(lái)消除副效應(yīng)的部分影響。根據(jù)在霍爾效應(yīng)中，不等位電勢(shì)差的影響最大，其次是愛(ài)廷豪森效應(yīng)，造成的原因主要是霍爾晶片的制造工藝水平，所以在制造時(shí)應(yīng)注意晶體雜質(zhì)分布的均勻性、材料密度的一致性、體形的規(guī)則性和引出電極的對(duì)稱(chēng)性;在實(shí)際使用時(shí)，主要對(duì)已存在的影響用附加電路加以修正，以消除它們的影響，例可以用集成運(yùn)算電路作為修正電路。這是本文在研究結(jié)論基礎(chǔ)上對(duì)制造工藝和實(shí)際使用中的兩點(diǎn)建議。

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