一類彈性碰撞問(wèn)題的簡(jiǎn)單解法

摘 要：本文在課本中一類彈性碰撞問(wèn)題兩種解法的基礎(chǔ)上，利用對(duì)稱思想，深入探討了一種簡(jiǎn)單的求解過(guò)程，激發(fā)對(duì)復(fù)雜問(wèn)題的思考，培養(yǎng)分析解決問(wèn)題的能力。

關(guān)鍵詞：彈性碰撞;對(duì)稱;動(dòng)量定理

在人教版高中物理選修3-5中，有一節(jié)專門討論碰撞問(wèn)題的內(nèi)容。課本以“思考與討論”的形式，讓學(xué)生通過(guò)建模和計(jì)算，探究碰撞后兩物體的速度。

如圖，光滑水平面上的兩個(gè)剛性小球，質(zhì)量為m1的小球1以速度v1和質(zhì)量為m2的靜止小球2發(fā)生彈性碰撞后，求各自的速度v1’和v2’？

課本通過(guò)提示，建立動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律，列出兩個(gè)方程，

對(duì)于上述的二元二次方程組，教師有必要在課堂上給學(xué)生演示或講解求解過(guò)程?，F(xiàn)成的解法無(wú)非是將①式中的v1’用v2’表達(dá)出來(lái)，代入②式，再解一元二次方程。但其中一組答案是v1'=v1，v2'=0，可以舍掉。

再聯(lián)立①④，很容易就可以得到答案。

盡管如此，以上兩種方法，無(wú)論是求解過(guò)程，還是最終答案的識(shí)記，對(duì)高中生來(lái)說(shuō)都有一定的難度。但對(duì)于碰撞后兩球速度的討論，以及遇到的更復(fù)雜的彈性碰撞問(wèn)題（如兩球都有初速度），這個(gè)過(guò)程又是必不可少的。怎樣才能讓學(xué)生更容易求解及識(shí)記這個(gè)碰撞后的結(jié)果呢？

在多次繁瑣的求解中，我意識(shí)到，兩小球的這種彈性碰撞，是經(jīng)歷了從開始形變，到形變量最大，再到完全恢復(fù)形變的過(guò)程，好像有對(duì)稱的思想，那么如果能根據(jù)以形變量最大的時(shí)刻為對(duì)稱點(diǎn)，找到碰撞前后速度關(guān)于形變量最大時(shí)刻的共同速度的對(duì)稱關(guān)系，是否就能化簡(jiǎn)求解過(guò)程呢？

帶著這樣的疑問(wèn)，我把求解兩小球系統(tǒng)動(dòng)量守恒的四個(gè)動(dòng)量定理的方程寫出來(lái)進(jìn)行比較。設(shè)從開始形變到形變量最大的時(shí)間為t1，這段時(shí)間內(nèi)兩球間的平均作用力大小為F1;從形變量最大到完全恢復(fù)形變的時(shí)間為t2，這段時(shí)間內(nèi)兩球間的平均作用力大小為F2;在形變量最大時(shí)，兩球的共同速度為v共。考慮矢量性，則

思考F、t的含義，我們能夠想到，對(duì)于接觸的兩個(gè)彈性形變的物體，它們的形變是對(duì)方引起的。當(dāng)考慮小球1時(shí)，它關(guān)于形變最大時(shí)刻對(duì)稱的兩個(gè)時(shí)刻，形變應(yīng)該是相同的，不過(guò)一個(gè)是向最大形變發(fā)生的狀態(tài)，一個(gè)是由最大形變恢復(fù)的狀態(tài)。這樣，在碰撞過(guò)程中，每時(shí)每刻都有關(guān)于形變最大時(shí)刻對(duì)稱的兩個(gè)狀態(tài)，所以每一組彈力F大小應(yīng)該也是相同的。雖然每時(shí)每刻的彈力不同，但畫出的F-t圖像一定是軸對(duì)稱的，對(duì)稱軸就是形變最大的時(shí)刻。因此，F(xiàn)關(guān)于t的圖像相對(duì)于對(duì)稱軸兩邊所圍成的面積也是相等的，即F1t1=F2t2。

對(duì)稱的思考，讓我們找到了比前面兩種更為簡(jiǎn)潔的解法：根據(jù)動(dòng)量的矢量性，先求解兩彈性碰撞小球能達(dá)到的共同速度v共，再乘以2后，減去各自的初始速度，即可得到每個(gè)小球碰撞后的末速度。這樣的求解和結(jié)果的識(shí)記，都非常簡(jiǎn)便。

以更復(fù)雜的情況作為檢驗(yàn)，如圖，光滑水平面上的兩個(gè)剛性小球，當(dāng)質(zhì)量為m1的小球1以速度v1去和質(zhì)量為m2、速度為v2的小球2發(fā)生彈性碰撞后，求各自的速度v1’和v2’？

用我們探索出來(lái)的方法計(jì)算，和常規(guī)方法得到的結(jié)果是一致的：

參考文獻(xiàn)

[1]人民教育出版社，課程教材研究所等.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書物理（選修3-5）[M].人民教育出版社，2010：17-19.

[2]王平水.一類常見彈性碰撞的求解及規(guī)律探討[J].中學(xué)生數(shù)理化（高二版），2010，04：24-25.

作者簡(jiǎn)介：陳博（1983.6），男，漢族，河南鄭州人，本科，中級(jí)教師