淺析韋達(dá)定理在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用實(shí)踐

馮帆

在新世紀(jì)中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中，越來(lái)越多的人關(guān)注利用創(chuàng)新思維來(lái)解決問(wèn)題，其中化歸思想方法在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中起到了不可替代的作用。其中韋達(dá)定理就是其數(shù)學(xué)思想方法中一個(gè)重要的定理，韋達(dá)定理貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程，韋達(dá)定理能夠描述根與系數(shù)之間的關(guān)系，韋達(dá)定理能夠在代數(shù)，幾何等方面應(yīng)用廣泛，韋達(dá)定理能夠提高學(xué)生的邏輯思維能力以及巧妙解決問(wèn)題的能力，韋達(dá)定理在解決方程，函數(shù)，數(shù)列以及幾何圖形方面起到了不可或缺的地位。

1韋達(dá)定理在方程中的應(yīng)用

韋達(dá)定理主要解決的是根與系數(shù)之間的關(guān)系，例如，在一元二次方程中，我們可以利用韋達(dá)定理來(lái)快速解決根的問(wèn)題，在一元二次方程的方程中首先考慮的是根是否存在的問(wèn)題，此時(shí)，我們需要重新考慮，即利用大于或等于0來(lái)判斷一元二次方程是否存在兩個(gè)實(shí)數(shù)根，利用韋達(dá)定理的前提條件是需要，此時(shí)我們?cè)倮庙f達(dá)定理，根據(jù)給定的條件來(lái)完成根的求解。

2韋達(dá)定理在函數(shù)中的應(yīng)用

2.1韋達(dá)定理能夠巧妙地解決函數(shù)交點(diǎn)的問(wèn)題

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，有不少學(xué)生會(huì)因?yàn)閮珊瘮?shù)相交求交點(diǎn)等的問(wèn)題而困惑，我們可以通過(guò)韋達(dá)定理來(lái)巧妙解決兩函數(shù)相交的交點(diǎn)問(wèn)題，例如，我們采用二次函數(shù)與一次函數(shù)相交這一類問(wèn)題來(lái)巧妙說(shuō)明說(shuō)明利用韋達(dá)定理的簡(jiǎn)便性。

我們以二次函數(shù)與一次函數(shù)相交為例，例如，與兩個(gè)函數(shù)相交，求這兩個(gè)函數(shù)的相交的兩坐標(biāo)的中點(diǎn)坐標(biāo)。

在中學(xué)代數(shù)研究中，將函數(shù)歸納為多項(xiàng)式、方程整合起來(lái)的形式，在某種意義上說(shuō)，函數(shù)是一種特殊的方程，通過(guò)將兩個(gè)特定函數(shù)的相交轉(zhuǎn)為為一元二次方程，此時(shí)利用韋達(dá)定理能夠快速解出函數(shù)相交中點(diǎn)的準(zhǔn)確坐標(biāo)，能夠簡(jiǎn)便運(yùn)算，韋達(dá)定理在函數(shù)相交等一系列問(wèn)題上做出了不可或缺的貢獻(xiàn)。

2.2韋達(dá)定理與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用

韋達(dá)定理能夠巧妙的處理三角函數(shù)之間與代數(shù)之間的變量關(guān)系，通過(guò)三角函數(shù)之間正弦與余弦變換建立等式，再通過(guò)合適的條件下，然后利用韋達(dá)定理進(jìn)行求解。

通過(guò)上述例題與具體的解析，我們可以看出來(lái)，此類題目需要利用韋達(dá)定理的熟練應(yīng)用與正弦余弦之間的相互轉(zhuǎn)換，需要學(xué)生具有較強(qiáng)的發(fā)散思維與邏輯思維能力。

3韋達(dá)定理在某些特定數(shù)列中的應(yīng)用

利用韋達(dá)定理可以解決某些特定數(shù)列的通項(xiàng)和證明等一系列的問(wèn)題，韋達(dá)定理在一定條件下使某些特定的數(shù)列化繁為簡(jiǎn)，使問(wèn)題變得更加簡(jiǎn)單明了。對(duì)于遞推數(shù)列，要巧妙利用韋達(dá)定理，將其轉(zhuǎn)化為必須符合一元二次方程的結(jié)構(gòu)，這就要求遞推式的結(jié)構(gòu)必須滿足連續(xù)兩項(xiàng)的對(duì)稱二次項(xiàng)結(jié)構(gòu)。

通過(guò)觀察遞推式有二次和對(duì)稱的特點(diǎn)，根據(jù)這些特點(diǎn)進(jìn)行對(duì)遞推式進(jìn)行不同的變形與整理。再通過(guò)改變數(shù)列腳標(biāo)的數(shù)值使結(jié)構(gòu)符合一元二次方程的結(jié)構(gòu)，然后再利用韋達(dá)定理進(jìn)行簡(jiǎn)便的運(yùn)算。

4韋達(dá)定理能夠簡(jiǎn)便幾何中的數(shù)值運(yùn)算

韋達(dá)定理在幾何中廣泛應(yīng)用，在求解直線與幾何圖形所截得的弦長(zhǎng)公式中廣泛應(yīng)用，在橢圓（雙曲線或者拋物線）與直線交點(diǎn)為。則或者

在解決圓錐曲線問(wèn)題中的中點(diǎn)弦問(wèn)題，一般采用根與系數(shù)的關(guān)系法：首先將直線方程代入到圓錐曲線的方程中，經(jīng)過(guò)整理消元可以得到方程，此時(shí)方程若為一元二次方程，則可以利用韋達(dá)定理進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算，通過(guò)根與系數(shù)之間的關(guān)系與中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立等式進(jìn)行求解。再通過(guò)圓錐曲線方程與直線方程消元得到方程，此時(shí)要判斷聯(lián)立的方程是否符合利用韋達(dá)定理前提條件，首先要判斷是否為一元二次方程，在判斷二次項(xiàng)系數(shù)是否為0，之后在進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算。

總之，運(yùn)用韋達(dá)定理能夠可以快速求出兩個(gè)方程根之間的關(guān)系，能夠在方程，函數(shù)，數(shù)列，平面幾何等方面有著體現(xiàn)，運(yùn)用韋達(dá)定理可以提高學(xué)生的創(chuàng)新能力與創(chuàng)造能力以及綜合分析數(shù)學(xué)的能力。

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