三十六個(gè)軍官問題與歐拉方陣

相傳18世紀(jì)時(shí)，普魯士國王腓特烈大帝要舉行一次盛大的閱兵典禮.當(dāng)時(shí)腓特烈的軍隊(duì)有6個(gè)兵種，每個(gè)兵種又有6個(gè)軍階.腓特烈大帝命令他的閱兵司令：在每一個(gè)兵種、每一個(gè)軍階中各挑選一名軍官組成一個(gè)6行6列的36人方陣，使每一行、每一列中都有各兵種、各軍階的代表，既不準(zhǔn)重復(fù)，也不能遺漏.這件事情看起來很好辦，不料命令傳達(dá)下去之后，根本無法執(zhí)行.閱兵司令接二連三地吹哨子，喊口令，排來排去，始終不能達(dá)到國王的要求.事后，國王對(duì)這件事情始終耿耿于懷，于是他就去請(qǐng)教當(dāng)時(shí)歐洲一流的大數(shù)學(xué)家歐拉，希望歐拉能幫忙找到一個(gè)解決方案。

歐拉先從最簡單問題人手，排出一個(gè)當(dāng)n=3（即有3個(gè)兵種、3個(gè)級(jí)別時(shí)的方陣，用A、B、C表示不同兵種，用a、b、c表示不同級(jí)別的軍官，如圖1所示.這個(gè)方陣的每行每列中A、B、c各有一個(gè)，a、b、c也各有—個(gè)，并且沒有遺漏和重復(fù)

然后，歐拉又排出了n=4、n=5的方陣，它們均滿足條件且都不重復(fù)，所以這樣的方陣就被稱為歐拉方陣。

可是對(duì)于n=6（即6個(gè)兵種，6個(gè)不同級(jí)別的軍官）的方陣，歐拉絞盡腦汁也沒有排出來.因?yàn)?是能被2整除而不能被4整除的數(shù)，歐拉稱它們?yōu)榘肱紨?shù).于是歐拉猜想，由半偶數(shù)組成的方陣不存在.1782年歐拉在談?wù)撨@個(gè)問題時(shí)說：“我已經(jīng)試驗(yàn)研究了很多次，我確信不可能作出兩個(gè)六階的，并且對(duì)于10、14，……以及奇數(shù)2倍的階數(shù)都是不可能的.”歐拉認(rèn)為：4n+2階的歐拉方陣是不存在的，這個(gè)結(jié)論被后人稱之為“歐拉方陣猜想”。

歐拉的關(guān)注引起了全世界數(shù)學(xué)家對(duì)這個(gè)難題的重視，為了研究方便，他們把上面的一個(gè)方陣拆分成兩個(gè)方陣來表示，這種由字母構(gòu)成的方陣稱為拉丁方陣（圖2）.若左右兩個(gè)拉丁方陣能疊合成一個(gè)歐拉方陣（如圖1），則稱這兩個(gè)拉丁方陣是互為正交的.若能證明n是半偶數(shù)時(shí)，不存在正交的拉丁方陣，就相當(dāng)于證明歐拉的猜想是正確的。

由于構(gòu)造正交拉丁方陣非常困難，數(shù)學(xué)家們對(duì)歐拉方陣猜想的研究進(jìn)展也很慢.直到1910年，法國數(shù)學(xué)家加斯頓·塔里在他的兄弟赫伯特.塔里的幫助下，列出了全部的六階拉丁方陣，驗(yàn)證了它們當(dāng)中任意兩個(gè)都是不正交的，從而證實(shí)了n=6時(shí)歐拉猜想是正確的.但塔里兄弟沒有從理論上加以證明，這是一個(gè)很大的缺陷，而且隨著階數(shù)增大，列出全部拉丁方陣的方法也不可取，即使列出全部拉丁方陣，要驗(yàn)證每兩個(gè)是否正交就更加困難。

1959年4月，印度數(shù)學(xué)家玻色和斯里克漢德構(gòu)造了兩個(gè)22階正交拉丁方陣，從而否定了“歐拉方陣猜想”.不久后，他們又證明：除n=2、6、14、26外，n階歐拉方陣都是存在的.接著，美國數(shù)學(xué)家帕克又構(gòu)造出了14階與26階的歐拉方陣，至此，歐拉方陣猜想只對(duì)n=2、6成立，其余都是錯(cuò)的.這個(gè)否定的結(jié)果是人們?cè)?80年的努力中未曾想到的。

類似這樣的方陣，在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科學(xué)實(shí)驗(yàn)領(lǐng)域都有極其廣泛的應(yīng)用，利用它能以較少的實(shí)驗(yàn)次數(shù)獲得較好的結(jié)果，還能節(jié)省原料、改進(jìn)配方等。