一個被猜成無理數(shù)的有理數(shù)

蔣迅

歷史上曾有許多特殊的數(shù)字，之前被人們認定是有理數(shù)，但最后被發(fā)現(xiàn)是無理數(shù).但似乎還沒有哪個特殊的數(shù)字之前被認定是無理數(shù)，后來卻被人們證明是有理數(shù)的.今天我們就來討論這樣一個常數(shù)，它曾經(jīng)被猜測是無理數(shù)，最后人們發(fā)現(xiàn)它其實是有理數(shù).這個數(shù)就是勒讓德常數(shù)（Legendre′s constant）.

1808 年，勒讓德在研究素數(shù)的分布情況時，發(fā)現(xiàn) [π（x）]滿足以下等式：[limn→∞ln（n）-nπ（n）=B].在這個等式里，[π（x）] 是素數(shù)計數(shù)函數(shù)， B是一個常數(shù)，被稱為勒讓德常數(shù).勒讓德估計B大約為1.08366，雖然沒有找到能說明B是無理數(shù)的證據(jù)，但是他覺得B就是一個無理數(shù).其實，這樣的猜測在當時是很合理的.

從上面的圖片中我們可以看到，當n從 1 增加到10萬時，極限值確實是非常接近于 1.08366的.因此，當時的數(shù)學家們普遍認為π（x）符合某種規(guī)律.勒讓德也參加了有關π（x）的研究.由于大家的研究都集中在π （x）上，所以B具體是多少就顯得沒有那么重要了.重要的是這個常數(shù)的存在性，因為它說明了這個素數(shù)定理是正確的.勒讓德的研究讓大家看到了希望，但他本人沒能等到研究的結果. 1833年，勒讓德因病去世.

到了1849 年，有關勒讓德發(fā)現(xiàn)的這個極限等式的研究有了新的進展.俄國大數(shù)學家切比雪夫證明，如果這個極限存在的話，那么這個極限B=1 .切比雪夫的證明給數(shù)學界罩上了一層烏云.大家猜測：這個極限大概不存在吧，因為1是如此的普通，它怎么可能是B呢？可惜切比雪夫也沒能等到最后的結果，于1894年去世.

1899年，比利時數(shù)學家查理斯·拉瓦萊·普桑（Charles Jean de la Vallee Poussin）終于解決了這個問題.他證明了極限存在并且等于1 .這是他在數(shù)學領域里作出的主要貢獻，并因此獲得了比利時國王授予的男爵稱號.

現(xiàn)在我們知道了B是一個有理數(shù)，它的值是1 .它雖不像 π、e和φ那樣與眾不同，但人們更愿意把勒讓德原來給出的1.08366稱為勒讓德常數(shù)，盡管它已經(jīng)失去了原來的意義.