近代數(shù)學(xué)的興起

藝術(shù)家是文藝復(fù)興時期數(shù)學(xué)發(fā)展的“先鋒”，他們基于藝術(shù)創(chuàng)作的實(shí)踐需要，對數(shù)學(xué)也有些獨(dú)到的見解，但這還不能算是數(shù)學(xué)的復(fù)興.直到16世紀(jì)，數(shù)學(xué)才開始在歐洲復(fù)興，近代數(shù)學(xué)從此開始了空前的蓬勃發(fā)展.此時的歐洲人就像古希臘人一樣，充滿了對理性的崇尚和對大自然的好奇，并再次將數(shù)學(xué)和哲學(xué)緊密聯(lián)系起來.不同的是，古希臘的數(shù)學(xué)成就都集中在幾何學(xué)上，而近代數(shù)學(xué)的復(fù)興和崛起則始于代數(shù)學(xué).同時，歐幾里得幾何公理化的思想被延續(xù)了下來.

代數(shù)學(xué)的發(fā)展，開始于解一元二次方程，印度的婆羅摩笈多最早給出了一元二次方程[x2+px+q=0]的一個根的求根公式;花拉子密最先意識到二次方程有兩個根的問題，他第一次給出了一元二次方程的一般解法，承認(rèn)方程有兩個根以及有無理根的存在，只是他舍棄了負(fù)根和零根，并把方程的未知數(shù)叫作“根”.古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖把二次方程分為以下6種不同的形式：令[a、b、c]為正數(shù)，[ax2=bx、ax2=c，ax2+c=bx，ax2+bx=c、ax2=bx+c、ax2+bx+c=0]，并分別討論它們的根的情況.花拉子密是阿拉伯帝國時期偉大的數(shù)學(xué)家，他的著作《代數(shù)學(xué)》被譯成了拉丁文，在歐洲廣為流傳，并長時間用作教材. 在這之前，歐洲在代數(shù)學(xué)方面并沒有多少成果.但在文藝復(fù)興時期，有了翻譯和傳播的途徑，以及以斐波那契為代表的東西方數(shù)學(xué)文化的交流，代數(shù)學(xué)走進(jìn)了歐洲人的視野.

16世紀(jì)代數(shù)學(xué)的主要成就是三次和四次代數(shù)方程的求解以及代數(shù)的符號化.當(dāng)時關(guān)于三次和四次代數(shù)方程的求解問題，是數(shù)學(xué)研究者們在那個時代面臨的最大挑戰(zhàn).而意大利數(shù)學(xué)家塔爾塔利亞和數(shù)學(xué)愛好者卡爾達(dá)諾（本職是醫(yī)生）對這類問題的解答，拉開了近代數(shù)學(xué)興起的大幕.

塔爾塔利亞給出了沒有一次項或二次項的兩類三次方程的解.塔爾塔利亞所解的方程是[x3+mx2=n ，x3+mx=n ，m ，n>0 ，]他給出的解法是，首先化簡恒等式[（a-b）3+3ab（a-b）=a3-b3]，選擇恰當(dāng)?shù)腫a、b]，使得[3ab=m ，a3-b3=n ，]求出上述方程中的[a、b]后，[a-b]就是方程[x3+mx=n]的解.而方程組的解為 [±n2+（n2）2+（m3）33].該式被命名為卡爾達(dá)諾公式.

塔爾塔利亞與卡爾達(dá)諾通過研究、討論，得出了三次方程的解法.幾年后，卡爾達(dá)諾出版了《大術(shù)》，他在書中說明了該解法來自塔爾塔利亞.卡爾達(dá)諾在《大術(shù)》中，補(bǔ)充了[m<0]的情形，并給出了完整的解答過程.對于缺少一次項的情況，他給出了變換方法，使方程轉(zhuǎn)化為上述情形.《大術(shù)》還收錄了四次代數(shù)方程的一般解法：把四次方程轉(zhuǎn)化為三次方程，然后再解三次方程.只是該解法同樣不是由卡爾達(dá)諾給出的，而是由他的仆人費(fèi)勞里給出的，費(fèi)勞里是首位破解四次方程的數(shù)學(xué)家.

在三次和四次代數(shù)方程問題的求解取得一定的進(jìn)展后，在此后大約250多年的時間里，人們都在努力解決更高次方程解的問題.直至挪威的年輕數(shù)學(xué)家阿貝爾發(fā)表《一元五次方程沒有代數(shù)一般解》一文，人們才停止了尋求高于四次方程的解析解或根式解的嘗試和努力.這個思路也被用到了微分方程上.1841年，法國數(shù)學(xué)家劉維爾證明了里卡迪方程[dxdy=p（x）y2+q（x）y+r（x）（p（x）≠0）] [，]一般無法通過初等積分法求得通解. 劉維爾的工作促使人們逐漸放棄了求微分方程的通解，轉(zhuǎn)而求微分方程的數(shù)值解.

1615年，法國數(shù)學(xué)家弗朗索瓦·韋達(dá)在著作《論方程的識別與訂正》中改進(jìn)了三、四次方程的解法，并建立了一元二次方程[ax2+bx+c=0]根與系數(shù)的關(guān)系，也就是韋達(dá)定理[x1+x2=-ba，x1x2=ca]和方程根的判別定理.更為重要的是，韋達(dá)從丟番圖的著作中獲得靈感，首次引進(jìn)了系統(tǒng)的代數(shù)符號，數(shù)學(xué)符號的引入，帶來了代數(shù)理論研究的重大進(jìn)步，韋達(dá)也因此被稱為“現(xiàn)代代數(shù)符號之父”.