運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解答函數(shù)問(wèn)題的技巧

王漢奎

數(shù)學(xué)思想有很多，將其運(yùn)用于解答函數(shù)題，有助于拓寬解題的思路，提升解題的效率.在解題教學(xué)中，教師要重視講解各種數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用條件和技巧，開(kāi)展有針對(duì)性的訓(xùn)練，讓學(xué)生學(xué)會(huì)靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想來(lái)解題.

一、分類(lèi)討論思想

當(dāng)遇到題目條件較復(fù)雜的函數(shù)問(wèn)題時(shí)，教師首先要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題目的條件，針對(duì)題目的各種情況進(jìn)行分類(lèi)，逐類(lèi)進(jìn)行討論，再綜合求出結(jié)果.利用分類(lèi)討論思想將問(wèn)題分情況進(jìn)行討論，思路會(huì)更加清晰.

例1.求函數(shù)[f（x）=lg（ax-k2x）]（a>0且a≠1，k∈R）的定義域.

解析：在解答此題時(shí)，教師可以指導(dǎo)學(xué)生假設(shè)函數(shù)[f（x）]為有意義，學(xué)生結(jié)合已學(xué)的對(duì)數(shù)知識(shí)可以得到[ax-k2x>0]，從而得到[a2x>k].此時(shí)，教師可以指導(dǎo)學(xué)生對(duì)[k]進(jìn)行分情況討論，當(dāng)[k≥0]時(shí)，x∈（0，+∞）;當(dāng)[k<0]時(shí)，對(duì)不等式兩邊取對(duì)數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)若[k<1]，則x∈R;若[k≥1]，則[x]∈?.綜上，當(dāng)[0≤k≤1]時(shí)，x∈（0，+∞）;當(dāng)k≥1時(shí)，x∈?.

在運(yùn)用分類(lèi)討論思想解題時(shí)，教師要提醒學(xué)生確保分類(lèi)討論的完整性，防止因?yàn)榉诸?lèi)的遺漏或重復(fù)而出現(xiàn)的問(wèn)題.

二、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是在解答函數(shù)題中運(yùn)用較多的一種解題方式. 運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題的關(guān)鍵是，根據(jù)題目的要求靈活地進(jìn)行“數(shù)”與“形”之間的互化，建立“數(shù)”與“形”之間的關(guān)系，使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化.在解題時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生將函數(shù)題目中抽象的數(shù)量關(guān)系，通過(guò)圖形以直觀化的形式展現(xiàn)出來(lái)，簡(jiǎn)化解題的過(guò)程，優(yōu)化解題的方案.

例2.設(shè)函數(shù)[f（x）=x-[x] ，x≥0，f（x+1） ，x<0，]其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如[-1.5]=-2，[2.5]=2，若直線(xiàn)y=? k（x-1）（k<0）與函數(shù)[y=f（x）]的圖象只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍為（ ）.

解析：教師可以首先引導(dǎo)學(xué)生作出函數(shù)[f（x）=x-[x] ，x≥0，f（x+1） ，x<0，]的圖象，如圖所示.

然后，學(xué)生由直線(xiàn)[y=k（x-1）（k<0）]與函數(shù)[y=f（x）]的圖象只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，可以得到[-1<k≤-12].

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題，能夠?qū)㈩}目中所有的信息展示在圖形上，做到一目了然，學(xué)生可以用最簡(jiǎn)單的方法得到最準(zhǔn)確的結(jié)果.

三、方程思想

函數(shù)與方程之間的關(guān)系較為密切.在解題時(shí)，令函數(shù)[y=f（x）=0]，就將函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題.在函數(shù)中，方程思想主要應(yīng)用于求函數(shù)的零點(diǎn)及其取值范圍、討論二次函數(shù)的根的分布情況、函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題等.

例3.已知函數(shù)[f（x）=x2-2x+a（ex-1+e-x+1）]有唯一零點(diǎn)，則a=（ ）.

A.- [12] B.[13] C.[12] D.1

解析：由[f（x）=0，a（ex-1+e-x+1）=-x2+2x].

[ex-1+e-x+1≥2ex-1·e-x+1=2]，當(dāng)且僅當(dāng)[x=1]時(shí)取“=”.

[-x2+2x=-（x-1）2+1≤1]，當(dāng)且僅當(dāng)[x=1]時(shí)取“=”.

若a>0，則[a（ex-1+e-x+1）≥2a]，

要使[f（x）]有唯一零點(diǎn)，則必有[2a=1]，即[a=12].

若[a≤0]，則[f（x）]的零點(diǎn)不唯一.

綜上所述，[a=12].

該題主要考查了方程思想的應(yīng)用.在解題時(shí)，教師首先要引導(dǎo)學(xué)生將函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程的根的問(wèn)題，然后利用基本不等式確定a的取值.方程思想在解函數(shù)題中應(yīng)用較廣泛，教師要組織學(xué)生開(kāi)展有針對(duì)性的訓(xùn)練，幫助他們提升運(yùn)用方程思想解題的能力.

在解答函數(shù)題時(shí)靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想，對(duì)解題有很大的幫助.因此，在解題教學(xué)中，教師不僅要講解解答函數(shù)題的基本方法，還要指導(dǎo)學(xué)生靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，提升解題的技能.

（作者單位：浙江省紹興市新昌縣鼓山中學(xué)）