怎樣用代換法解高中數(shù)學(xué)題

李小鵬

代換法是指利用知識間的關(guān)聯(lián)性把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡單化，從而轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)關(guān)系，提高解題效率的一種解題方法.常見的代換法有等量代換、變量代換、三角代換、比值代換等.教師要在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生熟練運用代換法，提升解題的效率.

一、運用等量代換，簡化解題過程

等量代換是指通過挖掘題目中暗含的信息，用一些量去代表另一些量，把題目中的已知數(shù)學(xué)關(guān)系轉(zhuǎn)變成簡潔明了的數(shù)學(xué)表達的方法.在解題教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生梳理題目中涉及的各種數(shù)量之間的關(guān)系，將各種繁瑣的關(guān)系用簡單的量表示出來，進行等量代換，再通過分析、組合等途徑，得出最終結(jié)果.

例1. 一個袋子里裝有6個大小、形狀完全相同的小球，其中一個編號為1，兩個編號為2，三個編號為3.現(xiàn)從中任取1個球，記下編號后放回，再任取1個球，則兩次取出的球的編號之和等于4的概率是多少？

解析：教師可以指導(dǎo)學(xué)生運用等量代換法，設(shè)第一次取出的球為x，第二次取出的球為y，則兩次取球的基本情況（x，y）有：

學(xué)生通過列樹狀圖發(fā)現(xiàn)（x，y）總共有36種可能性，而x+y=4 的情況有10種，所以得出概率為[p=1036=518].

有些概率問題要求求出一個事件所包含的所有可能性的情況，而這些結(jié)果如果用語言或者文字表示較為繁瑣，用合適的量代換，不僅能簡化解題的過程，還能加快解題的速度.

二、運用變量代換，轉(zhuǎn)換解題的思路

變量代換是一種引入變量、轉(zhuǎn)化關(guān)系的解題方式.當(dāng)遇到運用常規(guī)方法求解比較困難的問題時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生嘗試找出一個可以替代的變量，建立新變量與已知條件間的關(guān)系式，靈活運用相關(guān)的性質(zhì)、公式等來轉(zhuǎn)換解題的思路.

例2. 求函數(shù)[y=log12（x2+6x+13）]的值域.

解析：本題中的變量過于復(fù)雜，運用常規(guī)方法求解較為困難.此時，教師可以指導(dǎo)學(xué)生運用變量代替某些量，來轉(zhuǎn)換解題的思路.令[u=x2+6x+13=（x+3）2+4≥4]，所以這個函數(shù)可以看作是由[y=log12u] 和[u=（x+3）2+4]兩個函數(shù)復(fù)合而成的，而內(nèi)函數(shù)的值域是[4，+∞），以（-3，4）為最低點，先遞減后遞增;而外函數(shù)[y=log12u]的底數(shù)小于1，所以外函數(shù)在[4，+∞）上遞減，故[y=log12u≤log124=-2]，因此函數(shù)[y=log12（x2+6x+13）]的值域是（-∞，-2].

學(xué)生利用變量代換拆分了原有函數(shù)，找到了兩個函數(shù)解析式之間的連接點，內(nèi)函數(shù)的值域就是外函數(shù)的定義域，然后一步一步掃除了思維障礙，順利解題.

三、運用三角代換，降低解題的難度

三角代換之所以會成為一種常用的解題方法，其原因在于三角函數(shù)的性質(zhì)、公式眾多，規(guī)律性極強，如果能將其它數(shù)學(xué)表達式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，就會增加許多可供利用的條件，大大降低解題的難度.教師要在平時的教學(xué)中多培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想能力，讓學(xué)生學(xué)會結(jié)合三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)、公式，將其它數(shù)學(xué)表達式進行代換，掌握三角代換的技巧.

例3.若實數(shù)x、y滿足[4x2-5xy+4y2=1]，設(shè)[S=x2+y2]，求[1Smax+1Smin]的值.

解析：教師可以先讓學(xué)生尋找一些與三角函數(shù)相關(guān)的信息，學(xué)生就會由[S=x2+y2]聯(lián)想到cos2a+sin2a=1，把x、y進行三角轉(zhuǎn)換，設(shè)[x=Scosa]，[y=Ssina]，將其代入[4x2-5xy+4y2=1]中，得[4S-5S·sinacosa=1]，[解得S=28-5sin2a;]又因為-1≤sin2a≤1，所以[213≤]

[28-5sin2a≤23]，[1Smax+1Smin=32+132=8].

該解法正是根據(jù)[S=x2+y2]與[cos2a+sin2a=1]的相似性，實現(xiàn)三角代換的.

總而言之，運用代換法能使復(fù)雜的數(shù)學(xué)關(guān)系明朗化.教師要重視鍛煉學(xué)生的分析、聯(lián)想能力，讓學(xué)生學(xué)會自主運用代換法來提升解題的效率.

（作者單位：寧夏回族自治區(qū)青銅峽市高級中學(xué)）