比根號(hào)2更“無(wú)理”的數(shù)

不是代數(shù)數(shù)的實(shí)數(shù)統(tǒng)統(tǒng)被稱為“超越數(shù)”（tran-scendentM number），它不滿足于任何一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式方程。超越數(shù)無(wú)疑是更“無(wú)理”的數(shù)，但是否存在這樣的數(shù)？這個(gè)問(wèn)題在數(shù)學(xué)史上早有爭(zhēng)論。1844年，法國(guó)數(shù)學(xué)家柳維爾（Joseph Liouville）構(gòu)造了第一個(gè)超越數(shù)——柳維爾數(shù)（Liouville number）。這個(gè)數(shù)是0.110001000000000000000001…，其中小數(shù)點(diǎn)后面第1，2，6，24，120，…位是1，其余位都是0.柳維爾證明了這個(gè)數(shù)是一個(gè)超越數(shù)，它不滿足于任何整系數(shù)多項(xiàng)式方程。

1873年，法國(guó)數(shù)學(xué)家夏爾·埃爾米特（Charles Her。mite）證明了自然底數(shù)e是一個(gè)超越數(shù)。1882年，德國(guó)數(shù)學(xué)家林德曼（Ferdinand yon Lindemann）證明了圓周率π是一個(gè)超越數(shù)。

但是，人們對(duì)超越數(shù)的了解還是太少。數(shù)學(xué)家們

胛至今仍然不知道，π+e、π-e、π·e、π/e是否也是超越數(shù)。雖然如此，大家還是普遍相信它們都是超越數(shù)，畢竟它們不大可能恰好滿足一個(gè)各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)的多項(xiàng)式方程。

可計(jì)算數(shù)與不可計(jì)算數(shù)

我們把圓周率的小數(shù)展開(kāi)，看上去似乎是完全隨機(jī)的，但還是有辦法算出來(lái)的。如果你想知道1T的小數(shù)點(diǎn)后第一億位是多少，我們總能在有限的時(shí)間里算出答案來(lái)。

1975年，計(jì)算機(jī)科學(xué)家格里高里·蔡廷（GregoryChaitin）研究了一個(gè)很有趣的問(wèn)題：在任意指定的一種編程語(yǔ)言中，隨機(jī)輸入一段代碼，這段代碼能成功運(yùn)行并且會(huì)在有限時(shí)間里終止（不會(huì)無(wú)限運(yùn)行下去）的概率是多大。他把這個(gè)概率值命名為“蔡廷常數(shù)”（Chaitin's constant）。

這個(gè)問(wèn)題聽(tīng)起來(lái)有點(diǎn)不可思議，但事實(shí)上確實(shí)如此——蔡廷常數(shù)是一個(gè)不可計(jì)算數(shù)（uncomputablenumber）。也就是說(shuō)，雖然蔡廷常數(shù)是一個(gè)確定的數(shù)字，但現(xiàn)已在理論上證明了，你是永遠(yuǎn)無(wú)法求出它來(lái)的。

可定義數(shù)與不可定義數(shù)

盡管蔡廷常數(shù)算不出來(lái)，不過(guò)我們卻知道蔡廷常數(shù)是什么。它有一個(gè)明確的定義。但是，并不是所有的數(shù)都能夠用有限的文字描述出來(lái)。原因很簡(jiǎn)單，因?yàn)殚L(zhǎng)度有限的文字段落是可以逐一枚舉的（雖然有無(wú)窮多），而全體實(shí)數(shù)是不能枚舉的，因此，總存在一些不可能用語(yǔ)言描述出來(lái)的數(shù)。這種數(shù)就叫做不可定義數(shù)（undefinable number）。

自然數(shù)也好，有理數(shù)也好，根號(hào)2也好，圓周率也好，蔡廷常數(shù)也好，它們都有明確的定義，都屬于可定義數(shù)的范疇。事實(shí)上，整個(gè)人類歷史上所有文獻(xiàn)提到過(guò)的所有實(shí)數(shù)都是可定義的，因?yàn)樗鼈兌家呀?jīng)被我們描述出來(lái)了。但是，由于可定義數(shù)與全體實(shí)數(shù)的數(shù)量根本不在一個(gè)級(jí)別上，不可定義的數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于可定義的數(shù)。

那么，誰(shuí)發(fā)現(xiàn)了第一個(gè)不可定義數(shù)呢？答案是，從沒(méi)有人發(fā)現(xiàn)過(guò)不可定義的數(shù)，以后也不會(huì)有人找到不可定義的數(shù)。因?yàn)椴豢啥x數(shù)是無(wú)法用語(yǔ)言描述的，我們只能用非構(gòu)造的方式證明不可定義數(shù)的存在性，但卻永遠(yuǎn)沒(méi)法找出一個(gè)具體的例子來(lái)。

雖然有那么多數(shù)是沒(méi)有辦法描述的，但數(shù)學(xué)家們也不會(huì)損失什么。因?yàn)槊恳粋€(gè)值得研究的數(shù)，一定都有著優(yōu)雅漂亮的性質(zhì)，這些性質(zhì)就已經(jīng)讓它成為了能夠被定義出來(lái)的數(shù)。