傳染病背后的數(shù)學模型

張成

由新冠病毒COVID-19引起的肺炎疫情在全球不斷蔓延，所有的媒體都在持續(xù)報道，我們的生活也因為各種防疫政策和措施受到了很大的影響。人們都在談論與疫情相關的內(nèi)容，如預防新冠病毒的方法、有關新冠病毒研究的最新消息、每天確診病人及死亡病人的數(shù)量等，而科學家們則在嘗試預測疫情的演變趨勢。

在對人類歷史上出現(xiàn)的傳染病進行分析和研究的基礎上，許多學者已經(jīng)研究出一些可以描述和預測這種病毒的傳播趨勢與動向的數(shù)學模型。這些模型又是如何建立的呢？主要的方法是通過計算大規(guī)模收集來的相關數(shù)據(jù)，對相應機制作出假設，然后再通過觀察，對其進行修改、完善，從而得出最終的數(shù)學模型。尤其值得說明的是，一個好的模型須最大程度地減小模型估計值與實際值之間的差距，這樣才能重現(xiàn)一個地區(qū)疾病病例的時間序列。

歷史上，法國數(shù)學家丹尼爾·伯努利（DanielBer-noull，1700年-1782年）是最早嘗試進行這項數(shù)學研究的人，他曾嘗試對天花的傳播作出定量描述。大約在十八世紀中葉，天花是一種具極強傳染性的疾病，其主要通過空氣傳播。當時，它幾乎是全世界最嚴重的區(qū)域傳染病。在歐洲，它曾是主要的致死原因，每年約有40萬人因染此病而死去。在1760年的論文《天花死亡率新分析以及對預防性接種疫苗的優(yōu)勢研究》里，伯努利提出了一個關于感染人數(shù)呈指數(shù)增長的數(shù)學模型，并在此基礎上證明了采用接種疫苗的方式來預防這種疾病是非常有效的。伯努利的研究非常具有前瞻陛，其發(fā)表的時間比愛德華·詹納（EdwardJenner）發(fā)明預防天花病的方法——接種疫苗法，還要早四十年。1927年，蘇格蘭科學家馬克（Kermack，1898年-1970年）和麥肯德里克（McKendrick，1876年-1943年）合寫了一篇文章“對流行病數(shù)學理論的貢獻”，并提出了SIR模型。在該文中，兩位科學家將感染人群分成了三種類型：

1.易感染人群（susceptible，用S表示）：指那些尚未感染但很有可能被感染的人群;

2.感染人群（infectious，用I表示）：指那些已經(jīng)感染且具有傳染性的人群;

3.治愈人群（recovered，用R表示）：指那些已感染但不再具有傳染性的人群。不再具有傳染性是因為被治愈或者已去世，或者被隔離。

馬克和麥肯德里克意識到，在大多數(shù)流行病中，一個人只能從類型1過渡到類型2，或者從類型2過渡到類型3，而不可能從類型3返回至類型2（假設被治愈的人具有了對該疾病的免疫力）。這兩位科學家建立的這個特定模型是微分方程組，該微分方程組能夠表示出上述三種流行病學類型的數(shù)量S（t）、I（t）、R（t）隨時間的變化趨勢。

阿爾弗雷德·洛特卡（AlfredLotka）和維托·沃爾泰拉（vitoVolterra）曾利用微分方程組來描述一個生態(tài)系統(tǒng)的動態(tài)變換情況。在他們提出了這個著名的模型之后不久，馬克和麥肯德里克也利用微分方程組，建立了一個關于三類流行病感染人群S、I和R的數(shù)學模型，被稱為SIR模型。如果該疾病不涉及免疫接種（譬如感冒），就沒有R類型的人群，那么探討的就是SI模型。利用SIR模型，我們能預測流行病的演變趨勢，并估計出s、I、R三類人群的人口比例。sIR模型是一種理想型的數(shù)學模型，所以它要求所有的數(shù)據(jù)必須是在理想的情況下得出的，具體如下：

1.在流行病期間，沒有新增人口;

2.在流行病期間，死亡的主要原因是該流行病本身;

3.人口是被隔離的，即對于外部來說沒有入流量與出流量;

4.該疾病沒有潛伏期;

5.治愈康復后立即獲得免疫力;

6.無論感染后經(jīng)過多長時間，疾病的傳染強度相同。

顯然，這些假設與現(xiàn)實實際情況相比太過簡單。比方說，新冠病毒的潛伏期有14天，而且，治愈后的免疫力也并沒有被證實，所以第一種假設與第二種假設是不成立的。從另一方面講，在建模的過程中，人們會很自然地著眼于現(xiàn)實現(xiàn)象中的關鍵要素，而忽略了一些被認為是次要的細節(jié)，比如在確定彈道軌跡的時候忽略與空氣間的摩擦阻力，因為這對計算來說不是很重要。

在該模型下，這三類人群的數(shù)量是如何隨時間變化的呢？怎樣用數(shù)學語言去描述S（t），I（t）和R（t）這三個函數(shù)的變化趨勢呢？為此，我們需要先分析前面提到的類型轉(zhuǎn)變過程背后的機制。比如，個體從s類型變?yōu)镮類型意味著什么？很簡單，這個人被感染了，從而具有傳染性。這個過程是感染者與易感染者之間產(chǎn)生了接觸，把病毒傳染給了后者。

在疫情開始時，易感染人群（即尚未感染的人群）的數(shù)量將會逐漸減少，而感染人群的數(shù)量將會因被傳染而增長。隨著感染人數(shù)的增加，一個易感染個體被感染的可能性將會更大，因此，感染人群的增長率將會從一開始就趨于加速（盡管伯努利從不同的假設著手分析，卻也預估到了指數(shù)變化的趨勢）。但是，在某些時候，一些個體將會開始從I類型轉(zhuǎn)變到R類型，因為，他們有可能治愈康復了，或者死亡了，也或者被隔離了。從疫情爆發(fā)開始，只要感染者的數(shù)量多于移出者的數(shù)量（移出者數(shù)量=治愈數(shù)+死亡數(shù)+被隔離數(shù)），該流行病的走勢將會處于上升階段，但是，當移出者數(shù)量開始占上風之后，就又會處于下降階段。有一個事實是確定的：易感染人群的數(shù)量總是在減少，而移出者數(shù)量總是在增加。

圖1是一個用SIR呈現(xiàn)的一種流行病可能出現(xiàn)的趨勢圖。通過觀察該圖，你會發(fā)現(xiàn)，當感染者的數(shù)量達到一個峰值之后就會逐漸下降。這是因為，易感染者的數(shù)量總是在減少，而治愈者的數(shù)量總是在增加。

很顯然，出現(xiàn)峰值時是疾病全面流行的時刻，也是最令人擔憂的時刻。相反，另一條曲線沒有隨時間的增加而上升，而是從一開始就顯示出下降的趨勢，它表明這個感染病毒在悄然而去，很快就會消失殆盡。

通過研究SIR模型，我們能夠了解疫情的動態(tài)變化，卻無法知曉感染所將導致的罹患者的人數(shù)。其實，馬克和麥肯德里克的SIR模型并沒有對治愈、死亡、隔離作區(qū)分。如果我們要預測死亡人數(shù)，則必須分割參數(shù)y（即對應于每天轉(zhuǎn)變?yōu)镽移出類型人群的百分比）。

由SIR模型可以知曉，感染人群的數(shù)量遲早會下降到0，從中我們可以獲得一個令人欣慰的信息：任何傳染病必定會被控制。