解析高中數(shù)學(xué)教學(xué)中類比思想的應(yīng)用

高峰

摘 要：類比思想是數(shù)學(xué)思想的重要組成之一，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)、掌握新方法具有非常重要的作用.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)改革不斷深入的背景下，類比思想的應(yīng)用也成為師生共同的焦點(diǎn).文章就此展開了討論，先是結(jié)合高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際簡(jiǎn)單分析了類比思想，然后從數(shù)學(xué)定理的理解、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建、數(shù)學(xué)解題三個(gè)方面入手詳細(xì)闡述了類比思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);類比思想;應(yīng)用

所謂類比就是通過比較相似事物，將其中某個(gè)事物所具備的規(guī)律遷移到另一個(gè)事物中，進(jìn)而得出新的規(guī)律.將其應(yīng)用在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中不僅可以有效促進(jìn)學(xué)生聯(lián)想能力、推理能力、思維能力的提升，而且還有促進(jìn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效率的提升.隨著高中數(shù)學(xué)教學(xué)改革的深入，數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用不僅得到了教師的重視，而且也被應(yīng)用到課堂教學(xué)中，發(fā)揮出了顯著的應(yīng)用優(yōu)勢(shì).

一、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用類比思想的研究

高中數(shù)學(xué)知識(shí)的理論性、抽象性決定了高中數(shù)學(xué)教學(xué)方法不能過于單一.就目前來說，越來越多的高中數(shù)學(xué)教師開始改革教學(xué)方法，力求改變數(shù)學(xué)知識(shí)的特性，盡可能生動(dòng)化、趣味化地展示數(shù)學(xué)規(guī)律、公式等.經(jīng)過長(zhǎng)期的實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，通過引導(dǎo)學(xué)生分析、猜想、求證數(shù)學(xué)知識(shí)可以讓學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問題，掌握數(shù)學(xué)知識(shí).也就是對(duì)知識(shí)進(jìn)行再創(chuàng)造.而采用類比思想正可以促進(jìn)學(xué)生再創(chuàng)造，幫助學(xué)生充分掌握數(shù)學(xué)知識(shí).所以，教師要重視類比思想的應(yīng)用，改革數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式，促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí).

二、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中類比思想的應(yīng)用方法

1.運(yùn)用類比思想幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)定理

數(shù)學(xué)定理是數(shù)學(xué)家們經(jīng)過反復(fù)實(shí)驗(yàn)、論證，得出的數(shù)學(xué)知識(shí)規(guī)律，對(duì)學(xué)生理解能力的要求非常高.但高中生的綜合學(xué)習(xí)能力有限，只能粗淺地理解數(shù)學(xué)定理.一旦遇到需要應(yīng)用定理的數(shù)學(xué)難題時(shí)，就會(huì)毫無頭緒.顯然，表面理解定理，而不理解其發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)過程是無法提升學(xué)生解題能力的.所以，高中數(shù)學(xué)教師可嘗試采用類比思想，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)相似事物進(jìn)行深入對(duì)比、分析，以此推導(dǎo)出數(shù)學(xué)定理.

以“空間向量”的知識(shí)學(xué)習(xí)為例.由于學(xué)生之前已經(jīng)學(xué)習(xí)過平面向量，所以教師可引導(dǎo)學(xué)生類比平面向量，從而推導(dǎo)出空間向量的定理.在課堂教學(xué)中教師可提出問題，引導(dǎo)學(xué)生建立已有知識(shí)與新知識(shí)之間的聯(lián)系.比如設(shè)置問題：面對(duì)向量、平面向量、空間向量這三個(gè)概念，大部分學(xué)生都會(huì)產(chǎn)生疑問：向量與數(shù)量之間是否存在聯(lián)系？它們之間存在什么聯(lián)系？什么異同？接下來，由教師簡(jiǎn)單地提示，給學(xué)生明確思考方向：顯然，對(duì)于上述問題是不能單靠計(jì)算解決的.最關(guān)鍵的就是要從各自的定義下手，找出其中的聯(lián)系.單從字面上來說，平面向量、空間向量都屬于向量，而向量的“向”可解讀為方向.也就說，向量帶方向的量.那么若想分析平面向量、空間向量的異同，則要從二維平面、三維立體空間的特征入手，結(jié)合向量自身的定義，對(duì)其進(jìn)行對(duì)比、分析.最后，教師可創(chuàng)建小組合作探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生深入思考、分析這些問題.這樣就可以給學(xué)生提供更多的自主學(xué)習(xí)、思考空間，使學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、思維空間得到有效提升.最重要的是通過親身體驗(yàn)、探究可以使學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)定理.

2.運(yùn)用類比幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

數(shù)學(xué)知識(shí)之間是存在聯(lián)系的.教師若是能引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比思想找到這些聯(lián)系點(diǎn)，并將數(shù)學(xué)知識(shí)貫通起來，構(gòu)建出條理清晰的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，不僅有利于強(qiáng)化學(xué)生的邏輯思維能力，而且還有利于加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.

就高中生學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)知識(shí)來說，存在明顯聯(lián)系的知識(shí)點(diǎn)有向量、平面向量、空間向量，平面幾何與立體幾何，三角形、四面體、多面體，等差數(shù)列與等比數(shù)列，橢圓與雙曲線等.在這些知識(shí)的講解中，教師都可以運(yùn)用類比思想，羅列出知識(shí)點(diǎn)之間的相同、不同點(diǎn)，方便學(xué)生記憶.以等差數(shù)列、等比數(shù)列為例.在復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師可以用表格的形式將兩者的通項(xiàng)公式、求和公式、主要性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)納入到其中，并利用多媒體展示出來.這樣既能方便學(xué)生理解、記憶，也能方便學(xué)生通過類比理解自身學(xué)習(xí)的薄弱點(diǎn)，加以優(yōu)化、鞏固.但是教師應(yīng)當(dāng)注意在實(shí)踐這一教學(xué)方法時(shí)，應(yīng)采取有效的教學(xué)方法，盡可能地發(fā)揮出類比思想的作用，幫助學(xué)生構(gòu)建出完善、詳細(xì)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò).如可按照以下步驟進(jìn)行：第一，創(chuàng)設(shè)情境：巴依老爺?shù)劫I買提家收房租時(shí)，重新規(guī)劃了收租方法，要買買提第一個(gè)月交一千元，第二個(gè)月兩千元，第三月交三千元，即每個(gè)月交的房租比前一個(gè)月多一千元，直至30個(gè)月后，就不再收租了.買買提答應(yīng)了，但提出了一個(gè)要求，要求巴依老爺在這30個(gè)月內(nèi)，第一個(gè)月返給買買提1分錢，第二個(gè)月返給買買提2分錢，第三個(gè)月返給買買提4分錢，也就是每個(gè)月返的錢數(shù)是前一個(gè)月的兩倍.巴依老爺覺得自己賺了，毫不猶豫地就答應(yīng)了.那么你認(rèn)為他們倆誰賺的更多呢？通過這個(gè)趣味性故事的導(dǎo)入，就可以引出等差數(shù)列、等比數(shù)列，并促成了教學(xué)的趣味性.第二，引導(dǎo)學(xué)生回顧等差數(shù)列、等比數(shù)列的知識(shí)，并構(gòu)建出知識(shí)網(wǎng)絡(luò).這樣做的目的是為了引導(dǎo)學(xué)生找出知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，使其更好地理解、內(nèi)化知識(shí).第三，結(jié)合動(dòng)畫情景所提出的問題，引導(dǎo)學(xué)生探究等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及最終的計(jì)算結(jié)果，回答教師提出的問題.第四，進(jìn)行知識(shí)整合、總結(jié)，重點(diǎn)回顧知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，進(jìn)一步鞏固學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的掌握.總的來說，通過運(yùn)用類比思想，可以幫助構(gòu)建更加完善的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí).

3.運(yùn)用類比思想培養(yǎng)學(xué)生解題能力

類比思想的應(yīng)用不僅僅體現(xiàn)在數(shù)學(xué)定理講解、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建中，在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中它也有著非常重要的應(yīng)用.類比思想與數(shù)形結(jié)合、換元、配方、歸納等一樣，都屬于高中數(shù)學(xué)解題思想.但是學(xué)生在應(yīng)用類比思想時(shí)應(yīng)靈活選擇應(yīng)用方式、途徑，確保能迅速找出解題思路，提升解題效率.

就實(shí)際來看，在代數(shù)、三角函數(shù)、立體幾何等類型的題目求解中都可以應(yīng)用類比思想.以這樣一道題目為例：已知函數(shù)f（x）=x2-x+7，求f（2x-1）.就這道題目來說，求解的是復(fù)合函數(shù).從已知函數(shù)到復(fù)合函數(shù)，其解題的難度并不大.經(jīng)過學(xué)生的思考、分析之后，就能找到解題思路：f（2x-1）=（2x-1）2-（2x-1）+7=4x2-6x+9.完成這道題目的解題之后，教師就可以提高題目的難度，設(shè)置相似的題目：已知f（x+1）=x2+3x+4，求f（x）.仔細(xì)觀察這道題目不難發(fā)現(xiàn)，給出的函數(shù)是復(fù)合函數(shù)，與上一道題目相反.這時(shí)學(xué)生就可嘗試對(duì)x2+3x+4進(jìn)行配方，使其具有（x+1）.這樣就能求解出函數(shù)f（x）.即f（x+1）=x2+3x+4=x2+2x+1+（x+1）+2=（x+1）2+（x+1）+2.這樣就能得到f（x）=x2+x+2.從上述解題過程中能夠看出，若是直接出示后一道題目，學(xué)生不一定能找到解題思路，而且很有可能會(huì)陷入思維困境.而先出示第一道題目，再展示第二道題目，就可以促使學(xué)生自主運(yùn)用第一個(gè)題目的解題思維解決第二道題目.由此可見，運(yùn)用類比思想可以有效提升學(xué)生的解題能力.

又如這樣一道題：以原點(diǎn)為圓心，有一半徑為r的圓，圓上有一點(diǎn)P，經(jīng)過該處的圓的切線方程為x0x+y0y=r2.而在橢圓x2a2+y2b2=1中，其離心率逐漸趨向于零時(shí)，它就會(huì)無限接近于圓.那么類比圓的面積公式，橢圓的面積公式應(yīng)當(dāng)是.類比P點(diǎn)的切線方程，經(jīng)過該橢圓的點(diǎn)Q（x1，y1）的切線方程是.顯然，接近這道題目的關(guān)鍵就是能夠靈活類比圓與橢圓.那么作為教師，則應(yīng)加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的引導(dǎo)，使其能合作分析、思考.首先，圓的面積公式是πr2，而橢圓包括長(zhǎng)半徑、短半徑.當(dāng)其離心率無線接近于零時(shí)，長(zhǎng)短半徑就會(huì)相等.也就是說，橢圓的面積公式可表示為：π·a·b. 經(jīng)過圓上P點(diǎn)的切線方程為x0x+y0y=r2，其實(shí)可將其看做x0·x1+y0·y1=r2，長(zhǎng)半徑、短半徑是相等.那么就能推測(cè)出Q點(diǎn)的切線方程應(yīng)為x1xa2+y1yb2=1.總的來說，在數(shù)學(xué)解題中，類比思想的應(yīng)用非常廣泛.

綜上所述，類比思想的應(yīng)用是多方面的.在大力推進(jìn)高中數(shù)學(xué)教學(xué)改革之時(shí)，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)積極引入類比思想，以此提升高中數(shù)學(xué)教學(xué)的成效，促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí).所以，在抽象、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)定理教學(xué)、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系構(gòu)建之中，教師可積極應(yīng)用靈活類比思想，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的記憶和理解，并有效提升學(xué)生的類比思維能力.若長(zhǎng)期堅(jiān)持下去，學(xué)生就能熟練掌握類比思維，并將其靈活應(yīng)用到解題中.

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[責(zé)任編輯：李 璟]