南宋數學家秦九韶

李紹嚴

秦九韶，字道古，普州安岳（今四川安岳）人，于南宋嘉泰二年（1202年）出生，景定二年（1261年）在梅州（今廣東梅縣）去世。

秦九韶自幼生活在家鄉(xiāng)，18歲時曾“在鄉(xiāng)里為義兵首”，后隨父親移居京部，秦九韶非常聰明，而且好學，其父任職工部郎中和秘書少監(jiān)期間，掌管營建、圖書，使得秦九韶有機會閱讀大量的典籍，并得以拜訪當時天文歷法和建筑等方面的專家，請教有關天文歷法和土木工程方面的問題，秦九韶學識淵博、多才多藝，當時有人評價他“性極機巧，星象、音律、算術，以至營造等事，無不精究”，“游戲、毬、馬、弓、劍，莫不能知，”

淳祐四年（1244年）八月，秦九韶以通直郎出任建康府（今江蘇南京）通判，十一月因母喪離任，回湖州守孝，在此期間，他專心致志地研究數學，于淳{;占七年（1247年）九月完成數學名著《數書九章》，由于在天文歷法方面頗有研究和成就，秦九韶曾受到皇帝召見，闡述自己的見解，并呈獻了“數學大略”（即《數書九章》）。

《數書九章》一書共18卷81題，是秦九韶從他收集的大量資料中精選出來的較有代表性的問題，按用途分為大衍、天時、田域、測望、賦役、錢谷、營建、軍旅、市易九類：

（1）大衍類，一次同余組的解法，大衍求一術;

（2）天時類，歷法推算，雨雪量的計算;

（3）田域類，土地面積;

（4）測望類，勾股、重差等測量問題;

（5）賦役類，田賦、戶稅;

（6）錢谷類，征購米糧及倉儲容積;

（7）營建類，建筑工程;

（8）軍旅類，兵營布置和軍需供應;

（9）市易類，商品交易和利息計算，

該書內容十分豐富，上至天文、星象、歷律、測候，下至河道、水利、建筑、運輸，以及各種幾何圖形和體積，還包括錢谷、賦役、市場、牙厘的計算和互易，許多計算方法和經驗常數直到現在仍有很高的參考價值和實踐意義，被譽為“算中寶典”，該書的著述方式大多由“問曰”“答曰”“術曰”“草曰”四部分組成，“問曰”是指從實際生活中提出問題;“答曰”是指給出答案;“術曰”表示闡述解題原理與步驟;“草曰”表示給出詳細的解題過程。

《數書九章》已是國內外公認的一部世界數學名著，此書不僅代表了當時中國數學的先進水平，也代表了中世紀世界數學的最高水平，我國數學史家梁宗巨評價道：“秦九韶的《數書九章》（1247年）是一部劃時代的巨著，內容豐富、精湛絕倫?！?/p>

秦九韶在數學上的主要成就是系統(tǒng)地總結和發(fā)展了高次方程數值解法和一次同余組解法，提出了相當完備的“正負開方術”和“大衍求一術”，達到了當時世界數學的最高水平。

一、大衍術

大衍術又稱大衍法，實際是一套求解一次同余式組的完整程序。

（7）把“方”向右移一位，“上廉”移二位，“下廉”移三位，“隅”移四位，以“負方”除“正實”，算得十位上的商為4.如圖5（7）。

（8）以十位上的商4乘“益隅”，并入“下廉”得-3240000.以4乘“下廉”，并入“上廉”得-320640000.以4乘“上廉”，并入“方”得955 1360000.以4乘“方”，與“正實”相互抵消，即得方程的一個正根840.如圖5（8）。

由以上運算，我們可以看出，秦九韶法的基本特點是隨乘隨加，具有很強的機械性，這套方法可以毫無困難地轉化為計算機程序，在上例中，若得出商的第二個數字后，實未除盡，便可用同樣的程序求出商的第三個數字，依此類推，若方程的根是無理數，可用此程序求出根的任意精度的近似值。

所以說，秦九韶完滿地解決了求高次方程正根的問題，不過，他沒有考慮一個方程的根是否會多于一個，1819年，英國數學家霍納（W，G，Homer，1786年一1837年）在不了解秦九韶法的情況下，獨立提出相同的方法，后被稱為“霍納法”，在西方廣泛流傳。

縱觀《數書九章》中的例子，可以看出，該書明顯受到《九章算術》的影響，仍然采用問題集的形式，但在談解題方法之前，多附有“草”，即表明演算步驟的算草圖式。

在《數書九章》中，除了前面提到的大衍求一術和正負開方術兩項重要成就外，秦九韶還記載了不少其他方面的知識和結論，例如，他改進了線性方程組的解法，普遍應用互乘相消法代替?zhèn)鹘y(tǒng)的直除法，已同今天所用的方法完全一致;在開方問題上，他發(fā)展了劉徽開方不盡求微數的思想，最早使用十進小數來表示無理根的近似值;對于《九章算術》和《海島算經》中的勾股測量術，他也作了很多研究;在幾何方面，他還取得了另一項杰出成果：“三斜求積術”，即已知三角形三邊之長求其面積的公式，秦九韶的公式相當于古希臘著名的海倫公式。

在《數書九章》中，秦九韶通過大量例題，如“古歷會積”“治歷演紀”“積尺尋源”“推計土功”“程行計地”等，展示了大衍求一術在解決歷法、工程、賦役和軍旅等實際問題中的廣泛應用，由于在許多問題中，模數并非兩兩互素，而中國傳統(tǒng)數學沒有素數概念，所以將模數化為兩兩互素是相當困難的問題，秦九韶所設計的將模數比為兩兩互素的算法，盡管還不完善，但仍比較成功地解決了這一難題，有人稱之為“沒有素數的素數論”。

秦九韶的哲學思想和數學思想顯然與宋代儒學中的道學學派一致，他明確指出“數與道非二本也”，秦九韶在數學實踐上的切身體會，使他對于數學的重要性有較為深刻的認識，他說，數學研究“大則可以通神明，順性命;小則可以經世務，類萬物，詎容以淺近窺哉！”他認識到“所謂通神明，順性命，固膚末于見”，于是他將自己的才智專注于研究天文歷法、生產、生活、商業(yè)貿易以及軍事活動中的數學問題，“設為問答，以擬于用”，盡力滿足社會實踐的需要，并告誡人們要學好數學，精于計算，以避免由于計算錯誤而引起“財蠹力傷”等不良后果。

秦九韶是一位既重視理論又重視實踐，既善于繼承又勇于創(chuàng)新的數學家，他所提出的大衍求一術和正負開方術及其名著《數書九章》，是中國數學史上光彩奪目的一頁，對后世數學的發(fā)展產生了廣泛的影響。