多角度思考 妙手段處理

陳永志

摘?要：多變元代數(shù)式的最值或取值范圍問題，特別是雙變元代數(shù)式的最值或取值范圍問題，是近年的模擬題、高考題、自主招生題或競賽題中的常見題型，難度較大，思維方式多變，求解方法多樣，有助于激發(fā)我們學習的主動性、積極性和趣味性，培養(yǎng)發(fā)散思維能力，從而全面提高我們的知識水平和思維能力.

關鍵詞：最大值;判別式;基本不等式;三角換元;柯西不等式

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2020）22-0059-02

在近年的模擬題、高考題、自主招生題或競賽題中，經常會碰到求解多變元代數(shù)式的最值或取值范圍問題，特別是雙變元代數(shù)式的最值或取值范圍問題.此類問題往往難度較大，思維方式多變，求解方法多樣

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一、問題呈現(xiàn)

問題?已知3=a2+c2-ac，則c+2a的最大值為.

本題是一道雙變元在已知條件下，相應的代數(shù)式的最值的求解問題.這類問題一直受備命題者的青睞.通過認真審視這道試卷，在不同視角下，得到了該題的不同解題思維與對應的精彩解法.

二、多解探究

思維角度1?（判別式法1）設出所要求解的代數(shù)式c+2a=t，通過參數(shù)的轉化代入已知的代數(shù)關系式建立關于某個字母的二次方程，結合二次方程的判別式法來確定參數(shù)t的取值范圍，達到求解的目的.

解法1?設c+2a=t，則有c=t-2a.

由a2+c2-ac=3，可得a2+（t-2a）2-a（t-2a）=3，整理可得7a2-5ta+t2-3=0.

由Δ=25t2-28（t2-3）≥0，解得-27≤t≤27，

則c+2a的最大值為27.故填答案：27.

思維角度2?（判別式法2）設出所要求解的代數(shù)式的平方t=（c+2a）2，根據(jù)條件化為齊次分式，結合c是否為0加以分類討論，并通過k=ac化為相應的二次方程，利用二次方程的判別式法來確定參數(shù)的取值范圍，進而通過求解來確定相應代數(shù)式的最值問題.

解法2?由a2+c2-ac=3，可設t=（c+2a）2=（c+2a）21=12a2+3c2+12aca2+c2-ac.

當c=0時，a2=3，可得a=±3，c+2a=±23.

當c≠0時，設k=ac，則有t=（c+2a）2=12a2+3c2+12aca2+c2-ac=12k2+12k+3k2-k+1，整理有（12-t）k2+（t+12）k+3-t =0.

當t=12時，此時c+2a=±23;

當t≠12時，Δ=（t+12）2-4（12-t）（3-t）≥0，解得0≤t≤28，即（c+2a）2≤28，解得-27≤c+2a≤27.

綜上分析可得-27≤c+2a≤27，則c+2a的最大值為27，故填答案：27.

思維角度3?（基本不等式法）結合條件，利用配方公式以及基本不等式加以轉化，進而確定代數(shù)式（c+2a）2的取值范圍，通過求解二次不等式來確定相應代數(shù)式的最值問題.

解法3?由a2+c2-ac=3，則有3=a2+c2-ac=（c+2a）2-3a2-5ac，

結合基本不等式有（c+2a）2=3+3a2+5ac =3+a（3a+5c）=3+ 17·（7a）·（3a+5c）≤3+ 17·（7a+3a+5c2）2=3+25（c+2a）228，

整理可得（c+2a）2≤28，解得-27≤c+2a≤27.

則c+2a的最大值為27，當且僅當7a=3a+5c，即a=54c=577時等號成立，

故填答案：27.

思維角度4?（三角換元法）根據(jù)已知關系式a2+c2-ac=3加以轉化，利用三角換元思維引入參數(shù)，得到a、c的三角表達式，進而代入所求代數(shù)式c+2a，利用三角恒等變換，結合三角函數(shù)的圖象與性質來確定其相應的最值問題.

解法4?由a2+c2-ac=3，整理可得（a-12c）2+（32c）2=3.

設a-12c=3cosα，32c=3sinα，則有a=sinα+3cosα，c=2sinα，

那么c+2a=2sinα+2sinα+23cosα=4sinα+23cosα=27sin（α+φ）∈[-27，27]，

則c+2a的最大值為27.故填答案：27.

思維角度5?（柯西不等式法）根據(jù)已知關系式a2+c2-ac=3加以轉化，結合所求代數(shù)式c+2a，配湊相應的系數(shù)，結合柯西不等式加以確定對應的關系式，再通過求解二次不等式來確定相應代數(shù)式的最值問題.

解法5?由a2+c2-ac=3，

結合柯西不等式可得3=（a-12c）2+（32c）2=[（a-12c）2+（32c）2][?22+（43）2]·328≥[2·（a-12c）+43·（32c）]2·328=328（c+2a）2，

整理可得（c+2a）2≤28，解得-27≤c+2a≤27，

則c+2a的最大值為27，當且僅當43·（a-12c）=2·（32c），即a=54c=577時等號成立.

故填答案：27.

當我們解完一道題以后，要不斷領悟反思，多角度切入進行深度挖掘，從而達到觸類旁通、一題多解的效果.而通過典型模擬題實例的一題多解，可以使得我們的解題思路更加開闊，數(shù)學知識的掌握更加熟練，同時思維拓展，妙法頓生，提高解題速度，培養(yǎng)發(fā)散思維能力，有助于激發(fā)我們學習的主動性、積極性和趣味性，從而全面提高我們的知識水平和思維能力.

參考文獻：

[1]孫小芳.雄關漫道真如鐵，而今邁步從頭越——2019年天津卷理科第13題最值的破解[J].中學數(shù)學，2019（21）：29-30.

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