綜合與實踐類問題例析

閔家軍

綜合與實踐類問題是依據(jù)新課程標準以及中考改革方向進行命制的一類特殊試題，此類問題能夠考查同學們對所學知識的應(yīng)用意識和應(yīng)用能力，越來越受中考命題人的青睞. 下面舉例介紹其解題思路.

一、實際情境類

例1 【生活觀察】? 甲習慣于買一定質(zhì)量的菜，乙習慣于買一定金額的菜，兩人每次買菜的單價相同，例如：

第一次買菜? ? ? ? ? ? ? ? ? 第二次買菜

[ 菜價3元/千克 質(zhì)量 金額 甲 1千克 3元 乙 1千克 3元 ] [ 菜價2元/千克 質(zhì)量 金額 甲 1千克 元 乙 千克 3元 ]

（1）完成上表;

（2）計算甲兩次買菜的均價和乙兩次買菜的均價. （均價 = 總金額 ÷ 總質(zhì)量）

【數(shù)學思考】設(shè)甲每次買質(zhì)量為m千克的菜，乙每次買金額為n元的菜，兩次的單價分別是a元/千克、b元/千克，請用含有m，n，a，b的式子分別表示出甲、乙兩次買菜的均價[x甲]，[x乙]，比較[x甲]，[x乙]的大小，并說明理由.

【知識遷移】某船在相距為s的甲、乙兩碼頭間往返航行一次，在沒有水流時，船的速度為v，所需時間為t1;當水流速度為p時（p < v），船順水航行速度為（v + p），逆水航行速度為（v - p），所需時間為t2.請借鑒上面的研究經(jīng)驗，比較t1，t2的大小，并說明理由.

解析：【生活觀察】（1）第二次買菜甲填2，乙填1.5.

（2）[x甲] = [3+21+1] = 2.5（元/千克），[x乙] = [3+31+1.5] = 2.4（元/千克）.

答：兩次買菜，甲的均價是2.5元/千克，乙的均價是2.4元/千克.

【數(shù)學思考】∵[x甲] = [ma+mbm+m] = [a+b2]，[x乙] = [n+nna+nb] = [2aba+b]，∴ [x甲] - [x乙] = [a+b2] - [2aba+b] = [（a-b）22（a+b）].

當a = 0且b = 0時，雖然算式無意義，但對應(yīng)的是甲、乙二人均未買菜，故[x甲] = [x乙];當a > 0且b > 0時，①若a = b，則[x甲] - [x乙] = 0，即[x甲] = [x乙];②若a ≠ b，則∵（a - b）2 >; 0，2（a + b） > 0，∴[（a-b）22（a+b）] > 0，即[x甲] > [x乙].

【知識遷移】t1 = [s+sv] = [2sv]，t2 = [sv+p+sv-p] = [2vsv2-p2]，t1 - t2 = [2sv] - [2vsv2-p2] = 2vs[1v2-1v2-p2].

∵0

∵s > 0，∴2vs > 0，∴2vs[1v2-1v2-p2] < 0，即t1 < t2.

點評：此題取材于生活實際，問題情境十分容易理解，要注意提取其中的數(shù)學元素，準確選用相應(yīng)公式進行計算. 作差法比較大小是本題的核心技巧，而比較分式的大小需要綜合運用分式的基本性質(zhì)和不等式的基本性質(zhì)，尤其要注意分類討論思想的運用.

二、數(shù)學問題情境類

例2 【探索發(fā)現(xiàn)】如圖1，有一張直角三角形紙片. 小亮想從中剪出一個以直角∠B為內(nèi)角，且另外三個頂點也在直角三角形邊上的矩形（本題稱其為內(nèi)接矩形）. 經(jīng)過多次操作發(fā)現(xiàn)，當沿著中位線DE和EF剪下時，所得的內(nèi)接矩形面積最大. 隨后，小亮通過證明驗證了其正確性，并得出結(jié)論：以直角三角形直角為內(nèi)角的內(nèi)接矩形最大面積是原直角三角形面積的 .

【拓展遷移】如圖2，在△ABC中，BC = a，BC邊上的高AD = h，則內(nèi)接矩形PQMN面積的最大值為 . （用含a，h的代數(shù)式表示）

【實際應(yīng)用】如圖3，有一塊“缺角矩形”木板余料ABCDE，AB = 32 cm，BC = 40 cm，AE = 20 cm，CD = 16 cm. 小亮從中剪出了一個以∠B為內(nèi)角的內(nèi)接矩形面板，請嘗試直接應(yīng)用【探索發(fā)現(xiàn)】中的結(jié)論求該面板的最大面積.

解析：【探索發(fā)現(xiàn)】[12]（或一半）;【拓展遷移】[14ah];【實際應(yīng)用】（篇幅所限，只簡單介紹一下思路）如圖4，令直線DE與直線AB和直線BC分別交于點F和G，取△FBG的中位線HI和IJ，易得點I在線段DE上，則四邊形BHIJ就是Rt△FBG的最大內(nèi)接矩形，其面積為[12]SRt△FBG = 720 cm2.

答：該面板的最大面積為720 cm2.

點評：此題取材于數(shù)學問題情境，其算理內(nèi)核是借助三角形相似（含三角函數(shù)）運用二次函數(shù)解決矩形面積問題，采用了“直接應(yīng)用本題結(jié)論”的方式考查了知識遷移能力——學以致用，而不是讓同學們“從頭來過”.

總結(jié)：中考試題的挑戰(zhàn)性往往來自于兩個方面，一方面是題目難度大，另一方面是題目比較陌生. 綜合與實踐類問題屬于后者——陌生的情境帶來了理解上的困難. 因此，要在中考備考階段主動涉獵這類題目，模擬考場的狀態(tài)計時認真作答，然后對照答案細心揣摩思路與方法，從而積累解題經(jīng)驗.