解密一次函數(shù)圖象分布

崔秀玲 左效平

一次函數(shù)是中考的重要考點(diǎn)，題型頗多，其中包括一次函數(shù)圖象分布問題. 解這類問題的基本策略主要有兩種：性質(zhì)分類判斷法（如表1，按k和b的正負(fù)性分類判斷即可）和平移判斷法（如表2，b為正數(shù)時(shí)沿y軸向上平移;b為負(fù)數(shù)時(shí)，沿y軸向下平移. 一次函數(shù)的一次項(xiàng)系數(shù)相同即直線y = kx + b與y = kx是平行線;兩條直線的性質(zhì)是相同的） . 下面舉例對(duì)該類問題進(jìn)行剖析.

表1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?表2

一、根據(jù)圖象分布，確定待定字母的取值范圍

例1（2019·山東·濰坊）若直線y = （2 - 2k）x + k - 3經(jīng)過第二、三、四象限，則k的取值范圍是 .

解析：因?yàn)閥 = （2 - 2k）x + k - 3經(jīng)過第二、三、四象限，所以2 - 2k<0，k - 3<0，

所以1

二、根據(jù)圖象分布，分類確定k，b的條件

例2（2019·湖北·荊門）如果函數(shù)y = kx + b（k，b是常數(shù)）的圖象不經(jīng)過第二象限，那么k，b應(yīng)滿足的條件是（ ）.

A. k ≥ 0且b ≤ 0 B. k>0且b ≤ 0 C. k ≥ 0且b<0 D. k>0且b<0

解析：因?yàn)閥 = kx + b的圖象不經(jīng)過第二象限，y = kx + b不一定是一次函數(shù)，所以分情形討論如下：

當(dāng)k = 0時(shí)，函數(shù)變?yōu)閥 = b，因?yàn)閳D象不過第二象限，所以b ≤ 0.

當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)是一次函數(shù)，因?yàn)閳D象不經(jīng)過第二象限，所以圖象可以經(jīng)過一、三象限，此時(shí)b = 0;可以經(jīng)過一、三、四象限，此時(shí)b<0. 綜上所述，b ≤ 0.

當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)是一次函數(shù)，且圖象一定經(jīng)過第二象限，與已知圖象不經(jīng)過第二象限矛盾，所以此種情形不可能.

綜上所述，k ≥ 0且b ≤ 0. 故應(yīng)選A.

三、根據(jù)圖象分布，判斷結(jié)論的正誤

例3（2019·貴州·畢節(jié)）已知一次函數(shù)y = kx + b（k，b為常數(shù)，k ≠ 0）的圖象經(jīng)過一、三、四象限，則下列結(jié)論正確的是（ ）.

A. kb>0 B. kb<0 C. k + b>0 D. k + b<0

解析：因?yàn)橐淮魏瘮?shù)y = kx + b（k，b為常數(shù)，k ≠ 0）的圖象經(jīng)過一、三、四象限，所以k >0，b<0，所以kb<0. 故應(yīng)選B.

四、根據(jù)k，b的正負(fù)性，綜合推理判斷

例4（2019·山東·臨沂）下列關(guān)于一次函數(shù)y = kx + b（k<0，b>0）的說法，錯(cuò)誤的是（ ）.

A. 圖象經(jīng)過第一、二、四象限 B. y隨x的增大而減小

C. 圖象與y軸交于點(diǎn)（0，b） D. 當(dāng)x>-[bk]時(shí)，y>0

解析：因?yàn)閥 = kx + b中k<0，b>0，所以圖象經(jīng)過第一、二、四象限，所以A正確;因?yàn)閗<0，所以y隨x的增大而減小，所以B正確;當(dāng)x = 0時(shí)，y = b，所以圖象與y軸的交點(diǎn)為（0，b），所以C正確;當(dāng)y = 0時(shí)，x = -[bk]，根據(jù)y隨x的增大而減小，所以當(dāng)x>-[ bk]時(shí)，y<0，所以D不正確. 故應(yīng)選D.

五、變換待定字母的位置，判斷函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的大致圖象

例5（2019·浙江·杭州）已知一次函數(shù)[y1] = ax + b和[y2] = bx + a（a ≠ b），函數(shù)[y1]和[y2]的圖象可能是（ ）.

[O] [y][y1][y2][1][x] [y][y1][y2][1][x] [y][y1][y2][1][x] [y][y1][y2][1][x] [A][B][C][D][O][O]

解析：在選項(xiàng)A中，由直線[y1] = ax + b可知a>0，b>0，所以直線[y2] = bx + a經(jīng)過一、二、三象限，所以A正確;在選項(xiàng)B中，由直線[y1] = ax + b可知a<0，b>0，所以直線[y2] = bx + a經(jīng)過一、四、三象限，所以B錯(cuò)誤;在選項(xiàng)C中，由直線[y1] = ax + b可知a<0，b>0，所以直線[y2] = bx + a經(jīng)過一、四、三象限，所以C錯(cuò)誤;在選項(xiàng)D中，由[y1] = ax + b可知a>0，b<0，所以直線[y2] = bx + a經(jīng)過一、二、四象限，所以D錯(cuò)誤. 故應(yīng)選A.

六、根據(jù)圖象平移，綜合求解

例6（2019·湖南·邵陽）一次函數(shù)[y1=k1x+b1]的圖象[l1]如下圖所示，將直線[l1]向下平移若干個(gè)單位長度后得直線[l2]，[l2]的函數(shù)表達(dá)式為[y2=k2x+b2]. 下列說法中錯(cuò)誤的是（ ）.

A. [k1] = [k2]? ? B. [b1]<[b2]

C. [b1]>[b2] D. 當(dāng)x = 5時(shí)，[y1]>[y2]

解析：根據(jù)平移性質(zhì)“直線平行，k值相等”，得[k1] = [k2];根據(jù)圖象分布“位于y軸正半軸的b值較大”，可得[b1]>[b2];根據(jù)“橫坐標(biāo)相同時(shí)，直線x = a與直線的交點(diǎn)位置靠上的，其函數(shù)值較大”，可知當(dāng)x = 5時(shí)，[y1]>[y2] . 故應(yīng)選B.