二次根式易錯(cuò)點(diǎn)剖析

劉興龍

一、忽視對(duì)字母的分類討論，導(dǎo)致出錯(cuò)

例1（2019·陜西·寶雞）化簡(jiǎn)[2a-a23a].

解：[2a-a23a] [=2a-a3a].當(dāng)[a>0]時(shí)，原式[=13];當(dāng)[a<0]時(shí)，原式[=-1].

易錯(cuò)點(diǎn)：不討論[a]的正、負(fù)性，未對(duì)字母[a]進(jìn)行分類求解.

例2（2019·貴州·遵義）化簡(jiǎn)[5xy5xy+x5y+5yx-y5x].

解：當(dāng)[x>0，y>0]時(shí)，原式 = [5xy+x+5y-y=5xy+x+4y];

當(dāng)[x<0，y<0]時(shí)，原式 = [5xy-x-5y-（-y）=5xy-x-4y].

易錯(cuò)點(diǎn)：把所有字母都當(dāng)作正數(shù)，未分類討論求解.

例3（2019·安徽·蕪湖）化簡(jiǎn)[（a2-b2）（a4-b4）][（a>b）].

解：原式 = [（a2-b2）（a2-b2）（a2+b2）=a2-b2a2+b2].

= [（a2-b2）a2+b2，（當(dāng)a > b時(shí)），0，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （當(dāng)a=b時(shí)），（b2-a2）a2+b2，（當(dāng)a < b時(shí)）.]

易錯(cuò)點(diǎn)：雖然題中給出了[a>b]，但[a2]與[b2]的大小還沒(méi)有確定，故需進(jìn)行分類討論.

例4（2019·湖南·衡陽(yáng)） 化簡(jiǎn)[a2-4a+4-a2+4a+4].

解：原式 = [（a-2）2-（a+2）2=a-2-a+2].

當(dāng)[a≤-2]時(shí)，原式 = [2-a+a+2=4];

當(dāng)[-2<a<2]時(shí)，原式 = [ 2-a-（a+2）=-2a];

當(dāng)[a≥2]時(shí)，原式 = [a-2-（a+2）=-4].

易錯(cuò)點(diǎn)：[（a-2）2與（a+2）2]都有意義，由于未明確[a]的取值范圍，故化簡(jiǎn)時(shí)應(yīng)先找零點(diǎn). 此題有兩個(gè)零點(diǎn)[-2]和2，故應(yīng)分[a≤-2]，[-2<a<2]，[a≥2]三個(gè)區(qū)間討論.

二、忽視特殊情況，導(dǎo)致出錯(cuò)

例5（2019·福建·泉州）化簡(jiǎn)[x-yx+y].

解法1：原式 = [（x）2-（y）2x+y=（x+y）（x-y）x+y=x-y].

解法2：當(dāng)[x≠y]時(shí)，原式 = [（x-y）（x-y）（x+y）（x-y）=x-y].

當(dāng)[x=y]時(shí)，原式 = 0.

易錯(cuò)點(diǎn)：分母有理化的實(shí)質(zhì)是利用分式的基本性質(zhì)[ab=acbc]，應(yīng)用時(shí)應(yīng)注意[c≠0]，如果原式的分子和分母同乘以[x-y]，其結(jié)果雖然正確，但[x-y]為0時(shí)，該式是無(wú)意義的.

三、忽視運(yùn)算法則，導(dǎo)致出錯(cuò)

例6（2019·河南·商丘）計(jì)算[3÷（6+5）·16+5].

解：原式[=36+5·16+5=3（6-5）2=3（11-230）=113-610].

易錯(cuò)點(diǎn)：乘、除是同級(jí)運(yùn)算，應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)行，而不能先算后面的乘法.

例7（2019·云南·楚雄）計(jì)算[6÷（3-2）].

解：原式[=63-2 = 6（3+2）（3-2）（3+2） =18+12=32+23].

易錯(cuò)點(diǎn)：乘法對(duì)加法有分配律，而除法對(duì)加法沒(méi)有分配律.

例8（2019·河北·邢臺(tái)）能使等式[xx-2=xx-2]成立的[x]的取值范圍是（ ）.

A. [x≠2]? B. [x≥0]? C. [x>2]? D. [x≥2]

解：由題意得[x≥0 ，x-2>0，]所以[x>2]. 故選C.

易錯(cuò)點(diǎn)：使[a]有意義，則[a≥0]，但[ab=ab]中[b]在分母上，還必須注意分母不為零.

例9（2019·四川·樂(lè)山）已知[α+β=-53 ]，[αβ=13]，求代數(shù)式[βα+αβ]的值.

解：因?yàn)棣?+ β = -[ 53]，αβ = [13]，所以α < 0，β < 0，

原式=[αβα2+αββ2=1α+1βαβ= -1α-1βαβ=-α+βαβαβ=533].

易錯(cuò)點(diǎn)：使[ab=ab]成立的條件是[a≥0]，[b>0].

例10（2019·江蘇·蘇州）化簡(jiǎn)[（a-1）-1a-1].

解：原式 =[ -（1-a）-1a-1=- -（1-a）2a-1=-1-a].

易錯(cuò)點(diǎn)：根據(jù)被開方數(shù)的非負(fù)性可知[a-1<0]，因此[a-1]不能直接移到根號(hào)內(nèi).

（作者單位：江蘇省泰州中學(xué)附屬初級(jí)中學(xué)）